八年级数学菱形的性质

1、20002000多年前多年前 一把埋藏在地下的古剑，出土时一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色破，剑身上整齐排列着黑色菱形菱形暗暗 花纹花纹越王勾践剑越王勾践剑 菱形菱形 忆一忆忆一忆 特特 征征 识识 别别 动手动手 将一张矩形的纸对折再对折，然后 沿着图中的虚线剪下，打开，你发 现这是一个什么样的图形呢？ 你发现 有何特征？ A B C D O 老师建议： 从菱形的 边 角 对角线 对称性 或其他 等方面思考 边：四条边都相等，两组对边分别平行 角：

2、两组对角分别相等，邻角互补 对角线：两条对角线互相垂直平分， 并且平分每一 组对角 对称性：是轴对称图形，又是中心对称图形 A B C D O 例例 如图，菱形ABCD中，AB=BD=2cm, 求求 ABC的度数， 菱形ABCD的周长。 A B C D 解： 菱形ABCD AB=AD（菱形的四条边都相等） 又 AB=BD（已知） 在ABD中， AB=AD=BD 即 ABD是等边三角形 ABD=60 ABC=2ABD=120（菱 形对角线平分对角） 菱形ABCD AB=BC=CD=DA 菱形ABCD的周长 = 2 4 = 8 cm 小镜 小嘉 小扬 四条边四条边都相 等的四边形 是菱形 一组邻边

3、相一组邻边相 等等的平行四 边形是菱形 同学们：我们学习 了菱形的特征， 根据菱形的主要特征， 你能猜想出菱形菱形的识别方法识别方法吗 ？ 对角线垂直对角线垂直 的平行四边 形是菱形 小明 对角线垂直对角线垂直 且互相平分且互相平分 的四边形是 菱形 老师， 我先说！ 老师， 我也有！ 老 师， 我！ 识别一 识别二 识别三 识别四 我 如图所示：矩形ABCD对角线相交于点O， DEAC，CEDB，DE和CE交于点E，请 说明四边形DOCE是菱形。 BA D C O E 解： 你采用识 别几来说 明？ 矩形ABCD OD=OC（矩形对角线相等且平分） DEAC，CEDB（已知） 四边形四边形D

4、OCE是平行四边形是平行四边形（两组对边分 别平行的四边形是平行四边形） 四边形四边形DOCE是菱形是菱形（一组邻边相等（一组邻边相等 的平行四边形是菱形）的平行四边形是菱形） 1.用你认为是最简洁的方法画一个菱形。 2.如图，在菱形ABCD中，AB5，OA4，OB3， 求这一菱形的周长与两条对角线的长度。 课堂反馈：课堂反馈： 解： 菱形的周长 = AB+BC+CD+DA = 4 AB = 4 5 = 20 对角线 AC = 2AO = 2 4 = 8 BD = 2BO = 2 3 = 6 3.一个菱形的周长为8cm,一条对角线长为2 cm.则这个菱形的 四个内角的度数为 。 4.菱形具有而

5、平行四边形不一定具有的特征是（ ） A、对角线互相平分 B、对边相等且平行 C、对角线平分一组对角 D、对角相等 5.如图：ABC中，AD平分BAC，DEAC交AB于点E， DFAB交AC于点F，试说明四边形AEDF是菱形。 60、120、60、120 C E D C B A F 一个菱形的两条对角线长各为6cm,8cm， 则这个菱形的面积为多少？ 菱形ABCD有一个内角为60 ， 其中较短一条对角线长为6cm， 则该菱形的周长为多少？ 11.如图，AD是ABC的角平分 线.DEAC交AB于E，DFAB交 AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说 明你的理由. 12.ABCD的对角线AC的 垂直平

6、分线与边AD、BC分 别交于E、F，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？ 13.菱形ABCD的周 长为20 cm，两条对 角线的比为3 4， 求菱形的面积. 菱形就在我们身边菱形就在我们身边 三菱汽车标志欣赏三菱汽车标志欣赏 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对 折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可. .你知道你知道 其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？ 如何利用折纸、剪切的方法，如何利用折纸、剪切的方法， 既快又准确地剪出一个菱形的纸片？既快又准确地剪出一个菱形的纸片？

7、 A D O C B 矩形是轴对称图形，对称轴有两条。矩形是轴对称图形，对称轴有两条。 菱形是轴对称图形，对称轴有两条。菱形是轴对称图形，对称轴有两条。 由于平行四边形的由于平行四边形的对边相等对边相等，而菱形的，而菱形的邻边相等邻边相等， 因此我们得到：因此我们得到： 菱形的性质菱形的性质1：菱形的：菱形的四条边都相等四条边都相等。 A B D C 菱形是特殊的平行四边形，具有菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形平行四边形 的所有性质的所有性质. 菱形的性质：菱形的性质： 菱形是轴对称图形菱形是轴对称图形, 对称轴有两条对称轴有两条,是菱形两条是菱形两条 对角线所在的直线对角线所在的直线.

8、 菱形的两条对角线互相垂直，菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一组对角。每一条对角线平分一组对角。 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 AD=AB,OD=OB ACBD 9=10 又又 AO = AO AOD AOB AOD AOB 1=2 AC平分平分DAB 同理：同理：5=6 ， 7=8 BD平分平分ADC和和ABC 9=10= 90 已知已知: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形 求证求证: :ACBD， ACAC平分平分DABDAB和和DCB DCB BD BD平分平分ADCADC和和ABCABC 证明：证明： 菱形的性质菱形的性质2： O 6 又又 9+10= 180

9、 C B D A 10 1 2 4 3 5 7 9 8 6 同理：同理：3=4 AC平分平分DCB O 已知已知:四边形四边形ABCD是菱形是菱形 求证求证:ACBD， AC平分平分DAB和和DCB BD平分平分ADC和和ABC 证明证明2： 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 AB=AD,（菱形的定义）（菱形的定义） ACBD ,AC平分平分DAB (为什么为什么?) 同理：同理：AC平分平分DCB OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分） BD平分平分ADC和和ABC D C B O A A D C B O 边边 角角 对角线对角线 对称性对称性 菱形的两组对

10、边平行且相等菱形的两组对边平行且相等 几何语言几何语言 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 = AD BC AB CD = 菱形的四条边相等菱形的四条边相等 AB=BC=CD=DA 菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等 DAB=DCB ADC=ABC 菱形的邻角互补菱形的邻角互补 DAB+ABC= 180 菱形的两条对角线互相平分菱形的两条对角线互相平分 OA=OC;OB=OD 菱形的两条对角线互相垂直，菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一组对角。每一条对角线平分一组对角。 ACBD 1=2 3=4 5=6 7=8 菱形是中心对称图形，对称菱形是中心对称图形，对称 中心是两条对

11、角线的交点。中心是两条对角线的交点。 菱形是轴对称图形，有菱形是轴对称图形，有2条对条对 称轴，称轴，是两条对角线是两条对角线所在的所在的 直线。直线。 1 24 3 5 7 6 8 A D C B O 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， 说说理由 2 1 ADBC，ABCD ( ) AB=BC=CD=DA ( ) OA=OC，OB=OD ( ) ACBD ( ) ADB=CDB=ABD=CBD = ADC= ABC ( ) 2 1 你 都 掌 握你 都 掌 握 了吗？了吗？ 【菱形的面积公式菱形的面积公式】 菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形那么能否利用

12、平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形的面积吗? 菱形 A B C D O E S菱形=BC AE 思考思考:计算菱形的面积除了上式方计算菱形的面积除了上式方 法外法外,利用对角线能计算菱形的面利用对角线能计算菱形的面 积公式吗积公式吗? 6、 如图，菱形花坛如图，菱形花坛ABCDABCD的边长为的边长为10m10m，BO=8m,BO=8m,沿着沿着 菱形的对角线修建了两条小路菱形的对角线修建了两条小路ACAC和和BDBD，求两条小路的，求两条小路的 长和花坛的面积。长和花坛的面积。 A B C D OO 解解: 【菱形的面积公式菱形的面积公式】 菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊

13、的平行四边形, 那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形的面积吗? 菱形 A B C D O E S菱形=BC AE 思考思考:计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利利 用对角线能计算菱形的面积公式吗用对角线能计算菱形的面积公式吗? 2 1 ABCD=SABD+SBCD= ACBD S菱形 菱形 菱形面积：菱形面积：S菱形菱形=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半 在任意四边形ABCD中，对角线ACBD ，且 AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？ ABCD=SABD+SBCDS = BDAO+ 1 2

14、BDCO = 1 2 BD (AO+CO) = 1 2 BDAC = 1 2 1018=90 解：解： D A O B C 1 2 你有什么你有什么 发现？发现？ 1.1.已知菱形的周长是已知菱形的周长是12cm12cm，那，那 么它的边长是么它的边长是_._. 2.2.菱形菱形ABCDABCD中中ABCABC6060度，度， 则则BACBAC_。 O D C B A 3cm3cm 6060度度 3 3、菱形的两条对角线长分别为、菱形的两条对角线长分别为6cm6cm和和8cm8cm， 则菱形的边长是（则菱形的边长是（ ） ） C A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm A B C

15、D O 3 4 4、已知如图，菱形已知如图，菱形ABCD中，中，E是是AB 的中点，且的中点，且DEAB，AE=2。 求求（1）ABC的度数；的度数； （2）对角线）对角线AC、BD的长；的长； （3）菱形）菱形ABCD的面积。的面积。 AB C D E O AB C D E O 2 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， AD=AB 解解： AD=AB=BD E是是AB的中点，且的中点，且DEAB DA=DB（DE为为AB 的中垂线）的中垂线） DAB= 60 ， ABC=120 （2） AE=2， AB=4 BD=AB=4 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ACDB DB=4 0B=2

16、在在RtAOB中中,由勾股定理得由勾股定理得 24 2222 BOAB 23AO= AC=43 （3） 在在RtDAE中中,由勾股定理得由勾股定理得 DE= 24 2222 AEAD =23 S菱形菱形ABCD=423 3=8 （1） 如图，我家正在装修一扇房门，想在菱形如图，我家正在装修一扇房门，想在菱形ABCDABCD处安处安 装一块玻璃，已知每平方分米的玻璃价格为装一块玻璃，已知每平方分米的玻璃价格为1 1元，请元，请 问要得到哪些数据问要得到哪些数据, ,便可知道这扇房门上的玻璃总共便可知道这扇房门上的玻璃总共 要花多少钱？要花多少钱？ B A C DO 1 1个定义个定义 2 2个公式个公式 3 3个特性个特性 ：有一组：有一组邻边相等