一元二次方程根的分布情况归纳

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况设方程ax2 bx c 0 a 0的不等两根为X|,x2且论 x2，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0，方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）11分布情况两个负根即两根都小于0x10, x20两个正根即两根都大于0X 0, x20一正根一负根即一个根小于0,一个大于0捲 0 x2得出的结论b2ab2a0得出的结论b2af 0b2af 0综合结论不讨论ab2ab2a表二：（两根与k的大小比较）分

2、布情况两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即Xik, x2 kx1 k, x2kx1 k x2o大致图象a得出的结论o大致图象akk0000f k 0b2a kb2ak得出的结论b2akb2ak综合结论不讨论ab2ab2a表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在m, n内两根有且仅有一根在 m, n内（图象有两种情况，只画了一种）一根在m,n内，另一根在 p,q内，m n p qo大致图象a得出的结论o大致图象ampOnfmo得出的结论综合结论不讨论a根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧 x1 m, x2 n ,（图形分别如下）需满足的条件是f

3、 n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:f m 0(2) a 0时，f n 0(1)两根有且仅有一根在m, n内有以下特殊情况:若f m 0或f n 0，则此时f mg f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n内，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 2 x 20在区间2 2 2 21,3上有一根，因为f 10，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根为 ，由13得 m 2mm 3即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带2x 4mx 2m

4、 60 有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：由f 3 gf 00即14m15 m 30得出3 m & ；14由0 即 16m24 2m 60得出m 1或m -，当m 1时,223,0，即 m1满足题意;3,0，故 m-不满足题意；综上分析，得出2兰或m 114入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程根的分布练习题例1、已知二次方程2mx22mxm 10有一正根和一负根,求实数的取值范围。解：由 2m 1 gf2m1 m 10，从而得2 m 1即为所求的范围。例2、已知方程2x2m 0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由0m 102g2f

5、 008mm 3 2.2 或 m 3 2,2m 00 m 3 2.2或m 3 2.2即为所求的范围。2例3、已知二次函数 y m2x 2m 4 x 3m 3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1,求实数m的取值范围。1解：由 m 2 gf 10即 m 2 g2m 102 m即为所求的范围。2例4、已知二次方程 mx22m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。, .一 . . 一 一. 1解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f 0 gf 10 4g 3m 10 m即为所求范围。3(注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验

6、，均不复合题意，计算量稍大)例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：(1) 方程x2 ax a2 7 0的两个根一个大于 2，另一个小于2 ；(2) 方程7x (a 13)x a a 2 0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；(3) 方程x2 ax 2 0的两根都小于0；变题：方程x2 ax 20的两根都小于 1.(4) 方程x2 (a 4)x 2a2 5a 3 0的两根都在区间1,3上;(5) 方程x ax 40在区间(1, 1) 上有且只有一解；例2、已知方程x2 mx 4 0在区间1, 1上有解，求实数 m的取值范围.例3、已知函数f (x) mx2

7、 (m 3)x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围.检测反馈：2 11 .若二次函数f (x) x (a 1)x 5在区间(一,1)上是增函数，则f (2)的取值范围是 .22若 、 是关于x的方程x2 2kx k 6 0的两个实根,则(1)2 (1)2的最小值为.3若关于x的方程x2 (m 2)x 2m 1 0只有一根在(0,1)内，则m _.4. 对于关于x的方程x2+(2m 1)x+4 2m=0求满足下列条件的 m的取值范围：(1)有两个负根(2)两个根都小于 1(3) 一个根大于2，一个根小于2(4)两个根都在(0 , 2)内(5) 一个根在(2, 0)内，另

8、一个根在(1 , 3)内(6) 一个根小于2, 个根大于4(7) 在(0,2)内有根(8) 一个正根，一个负根且正根绝对值较大25. 已知函数f(x) mx x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨设f x ax2 bx c 0 a 0 ,则二次函数在闭区间 m, n上的最大、最小值有如下的分布情况：2ab n即b2a2am,nb m n 2a图象最大、最小值f x maxf x minf x max max f n , f mf X maxx minb2af x min对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上

9、还是向下，都只有以下两种结论:(1)若b2am,n，则fX maxmaxf m , fb2a,f n，f x minminf m, fb2a，f n(2)若b2am,n，则fx maxmaxfm , f n，fX minmin f m,f n另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 各代表一种情况。例1、函数f xax2 2ax 2 b a 0在2,3上有最

10、大值5和最小值2,求a, b的值。解：对称轴x0 1 2,3，故函数f x在区间2,3上单调。,fxf33ab2 5a1（1）当 a0时，函数1f x在区间2,3上是增函数，故maxfX minf22b2b0fxf2b25a1（2）当 a0时，函数1f x在区间2,3上是减函数，故maxfX minf33ab2 2b3例2、求函数f xx22ax 1, x 1,3的最小值。解：对称轴X。a（1）当 a1 时，ymin f 12 2a(2)当 1 a 3 时，yminf a12 a;(3)当 a3 时，yminf 310 6a改：1本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?解：(1)当a 2时，f xmax106a ；(2)当 a 2时，f xmax2a。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行?解：(1)当1 a1时，fxmaxf 3106a，f x minf122a ；(2)当当1a 2时，f xmaxf310 6afX minf a1 a2 ；(3)当当2a 3时,f xf12 2a ,fxfa1 a2 ；maxmin(4)当当a3时，f:xmaxf 122a , fxminf3106a。例3、求函数yx24x 3在区间t,t 1上的最小值。解：对称轴Xo(1)当 2t 即 t 2 时，ymint t24t3