集合的运算(交集、并集)

1、1.3 (1)集合的运算(交集、并集) 上海市松江一中潘勇 一、教学内容分析 本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住 概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。可以借助代 数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各 个方程的解集的交集，求方程一二-的解集，则是求方 程.和-的解集的并集。 本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联 系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简 单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形 结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来， 从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基 本

2、、最常见的方法，要注意灵活运用. 二、教学目标设计 理解交集与并集的概念；掌握有关集合运算的术语和符 号，能用图示法表示集合之间的关系，会求给定集合的交集与并 集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行 表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、 比较、分析、概括等能力 三、教学重点及难点 交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用; 交集与并集概念、符号之间的区别与联系 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、子集与真子集的区别。 2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。 3、空集的特殊意义。 二、讲授新课 关于交集

3、1概念引入 （1） 考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12） A=xx为10的正约数 B= xx为15的正约数 C= x x为10与15的正公约数 解答：A=1, 2, 5，10，B=1, 3，5，15，C=1，5 说明启发学生观察并发现如下结论：C中元素是A与B中公 共元素。 （2）用图示法表示上述集合之间的关系 2、概念形成 交集定义 一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合， 叫做A与B的交集。记作AA B （读作“A交B”，即: AA B=x|x A且x B（让学生用描述法表示）。 交集的图示法 请学生通过讨论并举例说明。 3、概念深化 交集的性质（补充） 由交集的定

4、义易知，对任何集合 A , B，有： A n A=A , A n U=A , A g = 0; A A B A , A A B B; a n b=b n a ；a n b n c=（a n b）n c= a n（ b n C）； A n B二A=A B。 4、例题解析 例 1：已知 A=x1cx 兰 2 , B二x 2WxcO,求 Ac b。（补充） 解：A B =x| 一1 ：x ：O 说明启发学生数形结合，利用数轴解题。求交集的实质 是找出两个集合的公共部分。 例2:设A=x|x是等腰三角形, B=x|x是直角三角形，求 a n b。（补充） 解：a n B=x|x是等腰三角形 n x|x

5、是直角三角形 =x|x是等腰直角三角形 说明：此题运用文氏图，其公共部分即为 anb 例3:设A、B两个集合分别为A承x,y）2x + y=1。, B=（x, y）3x-y =5，求A n B，并且说明它的意义。 （课本p11例1） 解：=賀= （3, 4） 3x _ y = 5 说明AB表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次 函数的图像的交点的坐标集合。 例 4 （补充）设 A=1，2, 3，B=2，5, 7，C=4，2，8, 求（a n b）n c, a n（ b n C）, a n b n c。 解：（a n b）n c=（1, 2, 3 n2 , 5, 7）n 4, 2, 8=2

6、n 4, 2, 8=2 ； a n（ b nc）=1, 2, 3 n（ 2, 5, 7 n 4, 2, 8）=1, 2, 3 n2=2 ； a n bn c=（a n b）n c= a n（ b n C）二2。 三、巩固练习 练习1.3 （1） 关于并集 1、概念引入 引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示 A=x x_2=0 , B=W x+3 = ,C二x（x_2）（x + 3） = 0 答: A= ；2：,B=-3, C=2 , -3 说明启发学生观察并发现如下结论：C中元素由A或B的元 素构成。 2、概念形成 并集的定义 一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A 与B的并

7、集，记作A U B （读作“ A并B”，即A U B=x|x A 或 x B。 并集的图示法 请学生通过讨论并举例说明。 3、概念深化 并集的性质（补） A U A=A , A U U=U , A U =A :山（A U B） , B 匸（A U B）; A U B=B U A : A A B：A U B，当且仅当 A=B 时，A A B=A U B : A U B二A = B A. 说明交集与并集的区别（由学生回答）（补） 交集是属于A且属于B的全体元素的集合。 并集是属于A或属于B的全体元素的集合。 x A或x B的“或”代表了三层含义：即下图所示。 4、例题解析 例 5:设 A=4 ,

8、5, 6, 8 , B=3 , 5, 7, 8，求 A U B。（补充） 解：二 A=4 , 5, 6, 8, B=3 , 5, 7, 8, 则 A U B=4 , 5, 6, 8 U 3 , 5, 7, 8=3 , 4, 5, 6, 7, 8。 说明运用文恩解答该题。用例举法求两个集合的并集， 只需把两个集合中的所有元素不重复的 找出写在大括号中 即可。 例 6:设 A二a,b,c,d , B=b , d, e, f，求 A A B ,A U B。 （课本p12例2） 解：A A B=b,d，贝S A U B=a,b,c,d,e,f 。 例7:设A=x|x是锐角三角形 , B=x|x是钝角三

9、角，求A U B。（补充） 解: A U B=x|x是锐角三角形 U x|x是钝角三角形=x|x是斜 三角形。 例 8:设 A=x|-2x1 或 x-1，求 A U B。（课本 P12 例 3） 解：A U B=R 说明本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解 题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。 例 9、已知 A=x|x=2k, k Z 或 x B, B=x|x=2k-1, k Z,求 A U B。（课本P12例4） 说明解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。 三、巩固练习：1.3 (2) 补充练习 1、设 A= x |-1 x 2, B= x |1 x 3，求 A

10、 U B. 解析:利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求 解：将A= x |-1 x 2及B= x |1 x 3在数轴上表示出来, A1. -2-10123x 如图阴影部分即为所求。 A U B= x |-1 x 2 U x |1 x 3= x |-1 x 3 2 2、A=1 , 3, x, B= x ,1,且 A U B=1 , 3, x。 求 x? 3、0 , 1 U A=0 , 1, 2，求 A 的个数？ 4、A =x|-2x4,B =x|xa,A U B =x|x2,P=x|x3,贝S “x M 或 x P 是“x M A P的什么条件？ （“ M 或x P是“x M n

11、p”的必要不充分条件） 3、思考题：设集合 A=-4 , 2m-1,m2, B=9 , m-5, 1-m，又 A A B=9,求实数m的值. 解：t A A B=9 , A=-4 , 2m-1,m2, B=9 , m-5, 1-m, 2m-1=9 或 m2=9,解得 m=5 或 m=3 或 m=-3. 若 m=5，贝S A=-4 , 9, 25, B=9 , 0, -4与 A A B=9 矛盾； 若m=3,则B中元素m-5=1-m=-2,与B中元素互异矛盾； 若 m=-3，则 A=-4 , -7, 9 , B=9 , -8, 4满足 A A B=9.二 m=-3。 六、教学设计说明 1、注重数

12、形结合，从集合 A和B的文氏图中引出交集、并集 的概念在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各 自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合B的 文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也 较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础。 2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言 表达能力。教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符 号语言表示,即：亦沪滋显且泛戲仏B =刈或;疋易 对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中 的关键词“且”、“或”。中的“且”字，它说明 ：的任一 元素都是A与B的公共元素。由此可知，LZ 必是A与B 的公共

13、子集，即： 厂；匸上匚。式中的“或”字的意 义，八汇一 ”这一条件，包括下列三种情况： y丄二，_，且二（很明显，适合第三 种情况的元素X构成的集合就是 AB）O还要注意，A与B 的公共元素在-中只出现一次。因此，亠是由所有至少 属于A， B两者之一的元素组成的集合。 由定义可知，A与B都是1匸的子集，联系到】门匚都 是A，B的子集，可得下面的关系式： AnBcAcAvB.AcyBcBcAvB 3、运用对比教学的方法，使学生区分交、并集的概念，能正确 对集合之间求交与求并。教师在讲解了交集、并集的概念后， 可以涉及一个表格，让学生填写内容。见下表： 名?称 交? 集 并?集 疋 由所有属于集合

14、A且属于集合B的 由所有属于集合 A或属于集合B的 元素所组成的集合，叫做A与B的 元素所组成的集合，叫做A与B的 义 交集。 并集。 记?号 门召（读作“ A交B”） AJB （读作“ A 并 B ”） 简?而 A与B的公共元素组成的集合即 A与B的所有元素组成的集合即 言?之 占门 =仗兀匕4且xe B JU5 = x|xe J 或 xe B 图？示 （阴影为虫n占） （阴影为 （一般情形）1 乂帖门乂， AUB = JA, AnAA, AuA = A, 性 A（BqA, 肚心, 质 Wc5, BqAB, jin0=0o j1U0=/o 4、可是当补充用图示法（即文氏图） 表示集合之间的关

15、系的问 题。用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一 个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示; 另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如 阴影部分）。作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系 及运算的理解，又可提高学生数形结合的能力，还可不断培养 正向思维和逆向思维的能力。 5、适当地运用集合关系进行简单推理。 运用集合关系进行简 单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一 种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力。 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu