(完整版)高数公式汇总

1、高数公式汇总经管学生会内部资料导数公式:(tgx) sec x(ctgx)csc x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax)axl na(log a x) 1xl na基本积分表：tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2a xdx 2x adx 2a xdx2a x高等数学公式In cosx CIn sinx CIn secx tgx CIn cscx ctgx C1x-arctg Caa1x aInC2ax a1a xInC2a a xarcs in仝 C aIn2sin xdxcosx22 a x22 a a2x2dxdxdxo三角函数的有

2、理式积分:2usin x 2, cosx1 u22u2，1 u(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2 cos xdx2-sin xxdxx2x22 ax2x22 ax21 a2 xn2otgi，111x211x2sec2 xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxaxdx CIn ashxdx chx Cchxdx shx C2 2 In( x 、x a ) C2 2 v 7 x aIn2 a In( x22 a . 一In x22a . x arcs inC2x2 a2)

3、C、x2 a2dx2du1 u2一些初等函数:x e ex2xxe e2shxx ex echxx ex ex2 1)双曲正弦：shx双曲余弦:chx 双曲正切:thxarshx In (x两个重要极限:sin x lim1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045xarchx In (xx2 1)arthxllnl三角函数公式:诱导公式：、函数角AsinCOStgCtg-a-sin aCOS a-tg a-Ctg a90 aCOs asin aCtg atg a90 aCOs a-sin a-Ctg a-tg a180 asin a-COS a-tg a-Ctg a

4、180 a-sin a-COS atg aCtg a270 a-COS a-sin aCtg atg a270 a-COS asin a-Ctg a-tg a360 a-sin aCOS a-tg a-Ctg a360 asin aCOS atg aCtg a-和差角公式:sin()sinCOSCOSsinCOS()COSCOSsinsintg()汽tg1 tgtgCtg()CtgCtg1CtgCtg-和差化积公式:sinsin2 si nCOS22sinsin2 cossin22COS COS 2 COSCOS2 2COSCOS2 si nsin22sin 22sin coscos22cos

5、21ctg2ctg212ctgtg22tg21 tg倍角公式:1 2si n2-半角公式:2 cos2 sinsin33sin4sin3cos34cos3costg33tg tg31 3tg2tg21cosY 21cossin 21 cos1 cossinsin1 coscos21cosX2ctg j2：1cos1 cossin1cossin1 cos-余弦定理:-正弦定理:a bsin A sinBcsi nC2Rc2 a2 b2 2ab cosC反三角函数性质：arcs inxarccosx2arctgxarcctgx高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式：2!k!中值定理与导数应

6、用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：丄型f (a)f ()F(b)F(a)F ()n(n)k (n k) (k)(uv)Cnu vk 0(n)(n 1) n(n 1) (n 2)n(n 1) (n k 1) (n k) (k)u v nu vu vu v当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:uv(n)M点的曲率：K叽1 s|ds直线：K 0;半径为a的圆：K1a定积分的近似计算：b b 矩形法：f(x)a(y。 y1anb b 梯形法：f(x)a 1(yoyn)an 2b抛物线法：f (x)b a(yoyn)a3n定积分应用相关公式:弧

7、微分公式：ds .1 y2dx,其中y tg平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。y 1)yi yn 12( y2y4yn 2) 伽 gyn i)功：W水压力:引力：F函数的平均值：y 1 f(x)dxb a ab2f (t)dta空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d M 1M 2 向量在轴上的投影：Pr ju ABPr ju(ai a2) Prjai PJa?(X2 X1)2 占2 yi)2 (Z2 Z1)2AB cos ,是AB与u轴的夹角。a b cosaxbxaybyazbz,是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbxaybyazbz22ax

8、ayyaz2.bx2bz2cabaxbxaybyazbza b sin例:线速度:w r.向量的混合积:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzc cos ,为锐角时,代表平行六面体的体积 。平面的方程:1、点法式：A(x x0) B(yy) C(z Zo) 0,其中 n A, B,C, M (x, y ,z)2、一 般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：x y -1abcAx By。Cz D空间直线的方程:xxmyy0z znP二次曲面：2221、椭球面：务y.2z21abc222、抛物面：y乙(；p,q同号)P2q3、双曲面：平面外任意一点到该平 面的距离：d2

9、2 2单叶双曲面：与占令1abc2 2 2双叶双曲面：务占务1(马鞍面)abcxx0mtt,其中s m, n, p;参数方程：yy0ntzzopt多元函数微分法及应用全微分： dz dx dyx y全微分的近似计算：z dz多元复合函数的求导法：du dx dy dz y zfy(x, y) yfx(x,y) xzfu(t),v(t)dz dtz uu tz vv tzzu zvzfu(x, y),v(x, y)XuXvX当uu(x, y), v v(x,y)时，dudx dydvvdxdyxyXy隐函数的求导公式：隐函数F(x, y) 0,dyFxd2y.2(dx卜ydxX隐函数 F(x,

10、y,z) 0,zFxzFyXFzy卜z隐函数方程组：F(x,y,u,v)0j(F,GG(x, y,u,v)0(u,v：u1(F,G)v1(F,G)XJ (x,v)XJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ (y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yFvGvFuGuFvGv(t)(t)在点M (xo, yo,zo)处的切线方程:(t)X Xo(to)yo(to)zZo(to)在点M处的法平面方程：(to)(x Xo)(to)(yyo)(to)(Z Zo)Fy FzGyG z GFz Fx FGx,G若空间曲线方程为：F(x,y,z) ,则切向量t G(x,y,z) o曲面 F

11、 (x, y, z) o上一点 M(Xo,yo,Zo),则:过此点的法向量：n Fx(Xo, yo,Zo),Fy(Xo, yo, Zo), Fz(x。, y。, Zo) 过此点的切平面方程：Fx(Xo, yo,Zo)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y。)1、2、3、过此点的法线方程:x XoyyoFyGyFz(xo, yo, Zo)(z Zo)0方向导数与梯度:zZoFx(Xo, yo, Zo)Fy(Xo,yo,Zo)Fz(Xo, yo,Zo)函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为： cosinl xy其中为x轴到方向I的转角。函数 z f (x,y)在一点

12、 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它与方向导数的关系是：-f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j，为I方向上的 单位向量。f 是gradf (x,y )在I上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(xo, yo)fy(xo,y)0,令：fxx(Xo,y)A,fxy(X0,y)B, fyy(X0,y)CAC B20时,则：AC B20时,AC B20 时,重积分及其应用：A 0,(x0,y0)为极大值A 0,(x0,y0)为极小值无极值 不确定f(x,y)dxdyf (r cos , rsin )rdrd22曲面z f (x,y)的面积A1I.

13、1dxdyDyxyx (x, y)dM平面薄片的重心：x MxD,yM(x,y)dDMDDy (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的转动惯量：对于X轴lxy2 (x, y)d ,D平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点 M(0,0,a),(a对于 y轴 I yx (x, y)dD0)的引力:F Fx,Fy,Fz,其中:(x,y)xd3，D(x2 y2 a2)2Fy(x, y)yd3，D(x2 y2 a2!Fzfa(x,y)xd3D (x2 y2 a2)2柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,z z其中：

14、F(r, ,z) f (rcos ,rsin ,z)xrsin cos球面坐标：yr sin sin ,dvrdr si nddr r2 sin drd dz r cos2r(,)f (x, y,z)dxdydzF (r,)r2sindrd dddF(r, , )r2sindr00 0重心：x1x dv,y1ydv,z1z dv,其中MxdvMMM转动惯量：Ix/ 2 2、(y z )dv,Iy(x22 z)dv,I z(x2y2) dv曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：X (t), ( t)，则:y (t)f (x, y)dsLf (

15、t), (t)、2(t)2(t)dt (特殊情况:x ty (t)第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为xy标的曲线积分)：7则：P(x,y)dx Q(x, y)dyL两类曲线积分之间的关P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dtQdy系：PdxLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x y l当P y,Q x,即：-丄2时， x y平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域；(Pcos QcosLQdy格林公式：(卫D X得到D的面积：A2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数)ds其中)dxdy ydxdyD1

16、O2l和分别为:Pdx QdyLxdy ydx,且-Q = -P。注意奇点，如(0,0)，应y减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积：Q P在 =一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x, y)的全微分，其中:x y(x,y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 0。曲面积分：对面积的曲面积分：2 2f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y) 1 Zx(x, y) Zy (x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyRx, y, z

17、(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz取曲面的前侧时取正 号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQ(Qxy-R)dv z二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos QcosRcos )ds咼斯公式的物理意义 通量与散度：散度：div-P Q,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失x yz通量： A ndsAnds(Pcos QcosRco

18、s)ds,因此，高斯公式又可写 成： divAdv AndsR人/ F()dydz (y zz-R)dzdx:xQ(上xdxdy)dxdyQ PdxcosQdycosRdzycosdydzdzdx上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：-RQPRQ Pyzzxx y斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:i旋度：rotA 一 xP向量场A沿有向闭曲线的环流量：: Pdx Qdy Rdz - A tds常数项级数：等比数列：1 q q2等差数列：2 3调和级数：-23级数审敛法:(n 1)n2丄是发散的n1正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛

19、设：lim n Un，则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设： ”m ，则 1时，级数发散Un1时，不确定3、定义法：sn u u2un;limsn存在，贝叫攵敛；否则发 散。n交错级数u1 u2 u3 u4（或u1 U2 U3,Un 0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un Un 1limUn0n那么级数收敛且其和sU1,其余项rn的绝对值rnUn 1。调和级数：级数：p级数绝对收敛与条件收敛:（1）u1 U2 Un ，其中Un为任意实数；（2）U1U2U3Un如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收

20、敛级数。1发散，而 收敛;nn丄收敛；n1 ：p 1时发散np p 1时收敛幕级数:1 x x2x3|x 1时，收敛于对于级数(3)aa-|Xa2x2数轴上都收敛，则必存在R，|x 1时，发散，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。nanXR时不定0时，R -求收敛半径的方法：设limnan 1an其中an， an 1是(3)的系数，则0时，R时，R 0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:f (x)f(X)(X X。)f4x(x X。)22!fx0)(x x0)nn!(n 1)余项：Rn(丄(x x0)n 1, f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：

21、lim Rn 0(n 1)!nXo0时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f (0)x x22!f (n) (0) nxn!些函数展开成幕级数:m(1 x)1 mx m(mJ)x22!m(m 1) (m n 1) nxn!1 x 1)sinx x3 x_ 3!5 x5!2n 1欧拉公式:ixe cosxi sinx三角级数:f(t)Ao1)n1x(2n 1)!cosx或si nxixe2ixixe e2ix et n)|An sin( nn 1aA0，anAn sin n，S其中，a。正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x 上的积分=0。傅立叶级数：(an cosnxn

22、 1An COs n， sin nx, cosnxbn sin nx)t X。任意两个不同项的乘积 在f(x)a02(an cos nx bn s inn x), 周期n 1anf (x)cos nxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n 1,2,311尹1 12242正弦级数:余弦级数:162anbn8 1240, bn0，an1尸1221歹132141f (x)sin nxdxf(x)cosnxdx0周期为2l的周期函数的傅立叶级数:2（相加）62一（相减）121,2,30,1,2f (x)f(x)bnsin nx是奇函数a02an cos nx是偶函数a0n xn x 用廿口f(X)Q ni(anC0ST 恥山丁)周期 21其中f (x)cos-dxlbnl1n x ,f (x)s in dx l(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f (x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为