(完整版)解直角三角形超经典例题讲解

1、课题解直角三角形授课时间：备课时间：1. 了解勾股定理教学目标2.了解三角函数的概念3.学会解直角三角形重点、难点三角函数的应用及解直角三角形考点及考试要求各考点教学方法：讲授法教学内容（一）知识点（概念）梳理考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：/ C=90 / A+Z B=902、 在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。Z A=30 可表示如下:BCAB2/ C=903、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半/ ACB=90 、可表示如下:CD= 1 AB=BD=AD2为AB的中点D4、勾股定理直角三角形两直角边 a, b的平方和等于斜边 c的平方，即a

2、2 b25、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项Z ACB=9CCD2AD ?BDfJAC2AD ?ABCD! ABBC2BD ?AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB?CD=A(? BC7.图中角可以看作是点A的角也可看作是点B的角；每条(1)和水平长度(I)的比。i = I =tan a大，坡面就越陡考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a, b, c有关系a 考点三、锐

3、角三角函数的概念1、如图，在 ABC中，/ C=90锐角b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。sin A锐角cos A锐角tan AA的对边与斜边A的对边a斜边 c A的邻边与斜边A的邻边 b 斜边 c A的对边与邻边A的对边 aA的邻边 b的比叫做/的比叫做/的比叫做/的正弦,的余弦,的正切,记为记为记为sinA ,cosA,ta nA ,b的够迪的对边9、(1)坡度(或坡比)是坡面的铅直 高度(h)h记作i,即i = I ;(2) 坡角坡面与水平面的夹角。记作a,有(3 )坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角a就越A的邻边 bA的对边 acosA=si n(90 A) cotA=ta n(9

4、0 A)锐角A的邻边与对边的比叫做/A的余切，记为cotA，即cotA2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数0 30 45 60 90 sin a0丄2返2乜21cos a1也2旦2120tan a0也31不存在cot a不存在31304、各锐角三角函数之间的关系 (1 )互余关系sinA=cos(90 A),tanA=cot(90 A),(2 )平方关系sin A cos A(3 )倒数关系tan A ?ta n(90 -A)=1（4 ）弦切关系sin AtanA=cos A5、锐角三角函数的增减性当角度在090之间变化

5、时，（1 ）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2 ）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3 ）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4 ）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出 所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在Rt ABC中，/ C=90 ，/ A，/ B，/ C所对的边分别为 a, b, c（1） 三边之间的关系：a2 b2 c2 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：/ A+Z B

6、=90（3）边角之间的关系：“aab xsin A-, cos A, ta nA ,cot A ;si nB, cos B-,ta nB ,cotBccbacca（二）例题讲解（1 ）、三角函数的定义及性质1、在厶 ABC 中，C 900, AC 5, AB 13,则 cos B 的值为2、在 RtABC中，Z C= 90,BC= 10, AC= 4,贝U cosBRt ABC 中，若 C90,AC 4, BC 2,则 tan B在厶 ABC中 ,Z C= 902,b1，则 cosA已知Rt ABC 中，若900, cos A5 ,BC 24,则 AC13Rt ABC 中，C 900, BC

7、3, tan B5，那么AC38、9、A.已知已知：Z 当角度在0 正弦和正切sin2m 3，且a为锐角，则m是锐角，sin cos36，贝U 的度数是到90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 B .余弦和余切C .正弦和余切的取值范围是D .余弦和正切10、当锐角A的cosA 时，/ a的值为（2A 小于45 B 小于30 C 大于4511、在Rt ABC中,若各边的长度同时都扩大D2倍,大于60则锐角A的正弦址与余弦值的情况（A都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D不确定12、已知为锐角，若 sin cos30 , tan若 tan 70 tan 1，则13、在厶ABC

8、 中，C 90, sinA巴则cosB等于(2A、1(2 )、1、在特殊角的三角函数值 Rt ABC中，已知/2、已知:是锐角，cosC= 900,冷，tan/ a=45 则 sin A =3、已知/ A是锐角，且在平面直角坐标系内tanA民则吨cos30P点的坐标(,tan45 ),贝V P点关于x轴对称点 的坐标为()A.(谆)(Q5、A.C.下列不等式成立的是ta n45 sin 60cos45 cot 30)cos45tan45cot 45 cos45sin 60 sin 60tan45 cot306、若.3 tan(100)1，则锐角的度数为(A. 200B7、计算.300400D

9、. 500(1) sin30cos60,tan450 cot 60(2) COS60sin2 45San2 30 cos30 sin3040 0tan 30 tan 451 tan 300 tan4500 0sin 45 cos303 2 cos600sin 300(cos450 sin 600)(3) 、解直角三角形1、在厶ABC中，C 900,如果a 3,b4，求 A的四个三角函数值解：(1 ) a 2+b 2= c 2二 c =/ sin A =cosA =/ tan A =cot A = 2、在Rt ABC中，/ C= 90，由下列条件解直角三角形：(1) 已知 a= 4 3 , b=

10、 2 3，则 c=;(2) 已知 a= 10, c= 10 . 2，则/ B=；(3) 已知 c= 20,/ A= 60，贝U a=;(4) 已知 b= 35,/ A= 45，贝U a=;3、若/ A = 30 , c 10，则 a ,b 4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值.7、设Rt ABC中,/C=90,/A、/B、/ C的对边分别为a、b、c,根据下列所给条件求/B的四个三角函数值(1) a =3, b =4;(2) a =6, c =10.&在Rt ABC中,/ C= 90, BC: AG 3: 4,求/ A的四个三角函数值9、 ABC 中,已知 AC 2 2, B 60, C

11、450，求 AB 的长(4 )、实例分析1、斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角 .2、 一个斜坡的坡度为：，那么坡角的余切值为3、一个物体A点出发，在坡度为1:7的斜坡上直线向上运动到B ,当AB 30 m时，物体升高 ( )30A 30mB7m83 2mD 不同于以上的答案4、某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i 1:、3，坝外斜坡的坡度i 1:1，则两个坡角的和为（）A 90 B60 C75 D1055、电视塔高为350m, 个人站在地面，离塔底m.O一定的距离A处望塔顶B，测得仰角为600，若某人的身高忽略不计时，OA6、如图沿 AC方向修隧道，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时

12、进行 已知/ ABD=150,BD=520m,/ B=600,那 么开挖点E到D的距离DE=m时,才能使A,C,E成一直线.7、一船向东航行，上午 8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东600，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为（A 18海里/小时18,3海里/小时C 36海里/小时36、. 3海里/小时AB在&如图，河对岸有铁塔45C处测得塔顶 A的仰角为30。，向塔前进14米到达D,在D处测得A的仰角为9、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD，斜坡BC的坡度为2:3，路基高AE为3m底CD宽12m求路基顶AB的宽10、如图，已知两座高

13、度相等的建筑物AB CD的水平距离BC= 60米，在建筑物 CD上有一铁塔PD,在塔顶P处45,300,求建筑物AB的高。（计算过程和结果一律不取11、如图，A城气象台测得台风中心在 A城的正西方300千米处，以每小时10、. 7千米的速度向北偏东 60o的BF方向移动，距台风中心 200千米的范围内是受这次台风影响的区域。 问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长?（三）小结解直角三角形总复习答案二、巩固练习(1 )三角函数的定义和性质1、121310105.2929A 11(2)特殊角的三角函数值1、7、( 1)1、(3)(3)

14、解直角三角形1、c 5 sin A2、(1) 2 155 、5.234 .37、 (1) c 5(2) b 8&解:AB、1.5(2)cosA4 sin B 一54 sinB 一5设 BC=3k, AC=k90101012、入2(3)sin A5k3 A,cosA9、解：过A作ADADC5BC，ADB5401356、35一或12 12tan A10. 3cosB 3cosBtanB5 tanB34 ,cot A43垂足为D。tan AA 45 , AC 2 . 2cot A(4) 3510.3cotBd 10cotB 44590AD60 , AD 2AB(4 )实例分析1、3028、AB高x米解：设铁塔30C BC 14 BD 3 ABABD中cotAB在RTADB 4514 x 3解得：x=(7 37)m答：铁塔AB高(7 37)m。9、解：过B作BF CD垂足为FAE BF在等腰梯形ABCD中AD=BC C DiBC 2:3AE=3mDE=4.5mAD=BC C D, CFB DEA 90BCF ADECF=DE=4.5mEF=3mBFE AEF 90BF/CD四边形ABFE为平行四边形AB=EF=3m10、解：45BPC在RTBPC中BC60mCP60m在矩形ABCD中AD=BC=60m30APD 6