南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案教学提纲

1、南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案精品资料南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1 南京工业大学线性代数课程考试试卷（A ）(江浦、浦江2005-2006 学年第 1 学期 )2 南京工业大学线性代数课程考试试卷（B ）(江浦、浦江2005-2006 学年第 1 学期 )3 南京工业大学 线 性 代 数 试题（ B）卷 （闭）2007-2008 学年第 一 学期 使用班级江浦各专业本科生4 南京工业大学线 性 代 数 试题（ A）卷（闭）2008-2009 学年第 一 学期 使用班级 江浦各专业本科生5 南京工业大学 线 性 代 数 试题（ B）卷 （闭）2008-200

2、9 学年第 一 学期 使用班级江浦各专业本科生6 南京工业大学线 性 代 数 试题（ A）卷（闭）2008-2009学年第 二 学期 使用班级 计软 08013南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（ A ）(江浦、浦江 2005-2006 学年第 1 学期 )所在系 (院)班 级学号姓名题一二三四五六七八总分分一填空题 (每空 3 分，共 15 分)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 2精品资料1、 若 n 阶方阵 A 满足 A2AE0 ( E 为单位阵 )，则 A 的逆矩阵A 1_.2、设矩阵 B 是由矩阵 A 划去某一列所得 , 则秩 ( B )_秩( A ).xyzx 1y1z1

3、3、若 0231,则 134_.11122220114、若向量k 与正交，则 k_.k1015、已知三阶矩阵 A 的特征值为 1,1,2, 设 BA32A2 , 则 B 的三个特征值为 _.二单项选择题 (每题 3分，共 15分)1、齐次线性方程组Ax0 的一个基础解系为21213111,20,30，则A的秩为（）010001(A) R(A)5(B) R( A)4(C ) R(A)3(D) R(A)22、设有 m 个 n 维向量 (mn) ，则（）( A) 必线性相关(B) 必线性无关(C) 不一定( D ) 无法确定3、设 A 为 n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（）( A)AA( B

4、)CAC（ C 为任意 n 阶方阵）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 3精品资料(C )AA( D ) ( AA )B （ B 为任意 n 阶方阵）4、设 A 与 B 均为 n 阶方阵，若 A 与 B 相似，则下面论断错误的是（）(A)存在 M ，且 M0 ，并有 MBAM( B) A 与 B 有相同的特征值(C)E AEB(D) A与 B 均可对角化5、若向量组1, 2,3 线性无关，向量组1 ,2, 4线性相关,则（）( A)4 必不可由1 ,2 ,3 线性表示( B)4 必可由1 ,2 ,3 线性表示(C )2 必不可由1 ,3 ,4 线性表示( D )2 必可由1,3 ,4

5、线性表示123n1n11000三 . (12 分) 求 n 阶行列式 : 02200。000n1(n1)301四(12分) 设 A110 ，且有关系式 AX=A+2X ，求矩阵 X.014五 (12 分 )求向量组1(1,1,0,1), 2(2,0,1,3),3(0, 2, 1, 1),4(0,1, 1, 1),5(6,1,3,9)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 4精品资料的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。六 (16 分) 已知二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 4x123x223x322x2 x3 。（ 1）写出二次型 f 的

6、矩阵 A；（ 2）用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵；（ 3）判别二次型的正定性七 1.(江浦学生做)(12分 )问a为何值时，线性方程组x15x2x3x41x12x2x33x4a2x13x22x42x19x23x37 x47无解，有解？有解时求其通解。2 (浦江学生做)(12 分) 判别非齐次线性方程组x15x2x3x41x12x2x33x433x18x2x3x41x19x23x37x47是否有解，若有解，求其通解。八.1.(江浦学生做)(6 分) 设 A 是 3 阶矩阵，1,2 ,3 是 3 维向量，若向量组1 ,2,3 线性无关，且 AA221223，A321122

7、23 ，12 23 .（ 1） 求矩阵 A 的特征值；（2）设 B2A*E ，其中 E 是 3 阶单位矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，求B 的行列式 B的值。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 5精品资料2.(浦江学生做). (6 分) 假如 1 , 2 , 3 是某齐次线性方程组AX0 的一个基础解系 , 问21 ,2 32 , 13 是不是齐次线性方程组 AX0 基础解系 ? 为什么？南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（ A）解答( 江浦、浦江2005-2006 学年第 1 学期 )一、 1、 EA，2、， 3、2 ， 4、 k1， 5、-4,-6,-12二、 1、D，2、A，

8、 3、 C， 4、D， 5、B，三第 2,3, n 列加到第 1列：n(n1)3n 1n221000D04 分02200000n1 ( n 1)100n(n 1)2204 分=200(n1)= ( 1)n 1 (n21)!4 分四 (12分) 解： (A2E) XA3 分仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 6精品资料X ( A2E) 1A32113012211103分1110145224323223五 (12 分) 解：1200612006(1,2,3,4,5)10211011020111300016 分11311900000秩为 3；（8）分极大线性无关组为1 ,3 ,4 ；（ 10

9、）分22 13 ,56 1234 。（12）分六 .(16分)400解:（1） A0314 分013（2）|A E| (4) 2(2) ，得特征值 2， 4， 4。7 分001对于 ，得特征向量单位特征向量为;1 ,p1=22112仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 7精品资料000 x100 00011当 23 4时，解方程 011 x20011 000,011 x3001100010此方程组的基础解系为0, 1这是一组正交向量组.0110将特征向量单位化得p20, p3110分0212010y1取正交变换 X PY1201y2 。则 f2y124 y224y322101y32212

10、（ 3）因为特征值都大于0， 所以二次型是正定二次型16 分七 (江浦学生 )(12) 解：15111151110722a 10722a 1( A,b)7244000036分0a01448800000（ 1） 当 a3时，方程组无解；8 分（ 2） 当 a3时，有无穷多组解，10 分仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 8精品资料133137774k12k2412 分通解为 X7。77010001七 (浦江学生 )(12 分) 解：15111151110722407224分( A,b)7244000060001448800000r ( A)r ( A, b)= 2 4 ，方程组有无穷多解

11、。9 分133137774k12k2412 分通解为X7。77010001八(江浦学生 ) (6 分) （1） A( 1, 2, 3)122( 1 ,2 ,3 ) 212 2 分221E A (1)2 (5), A的特征值为1，；2分15（2） A5, A 的特征值为：，B 的特征值为：(11),( 11),1.,B(11)(11) 1 121.2 分八.(浦江学生 ). (6 分) 解. 是2 分(1) 由于1 , 2 , 3 是某齐次线性方程组AX 0 的解 . 则它们线性组合21,2 32 , 13是 AX0的解;1 分仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 9精品资料(2) 由于1

12、,2, 3 线性无关 ,可得21,2 32, 13线性无关 ; 2分(3) 由于 AX0基础解系中含 3个解向量 , 从而21,2 32, 13是组 AX 0基础解系 .南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006 学年第 1 学期 )所在系 (院)班 级学号姓名题一二三四五六七八总分分一填空题 (每空 3 分，共 15 分)11.设 P2,Q (2,1,2) ，则 QP， PQ。1三阶方阵A满足 A4，则 A*。2.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 10精品资料113.矩阵 A的特征值为，A 能否相似于对角11阵。二单项选择题 (每题 3分，共 15分)12

13、51若行列式13225x=0，则 x= （）（A）2（B）- 2 （C）3（D）- 32. 已知 AB AC ，则：（ A）若 A 0时，则 B C，（ C）无论 A 是否为 0，均有 B3. 矩阵 A 有特征值为 1，2，则（B）若 A 0时，则 B C ， C ， （D）B 可能不等于 C。A2AE 一定有特征值 ()(A) 1，2(B) 1，3(C) 2，3(D) 1, 2, 34. 若矩阵 A 的秩为 r，则（）。（ A ） A 中所有 r 阶子式均不为零；（B ） A 中所有 r+1 阶子式均等于零；（ C） A 中所有 r 1 阶子式均不为零；（D ）A 中只有一个 r 阶子式不为

14、零。5. 非齐次线性方程组 AXB 中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（）。（ A） rm 时，方程组AXB 有解；（ B） rn 时，方程组 AXB 有唯一解；（ C） mn 时，方程组AXB 有唯一解；（ D） rn 时，方程组 AXB 有无穷多解。x1 mx2xn三. (12 分)求 n 阶行列式 :x1x2 mxn。x1x2xnm仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 11精品资料423四 (12 分) 设 A=110 ，且有关系式AX=A+2X ，求矩阵 X.123五 (12 分 ) 求向量组1(1,3,0,5),2(1,2,1,4),3(1,1,2,3

15、),4(0,1,2,4),5 (1, 3,0, 7) 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。六 (16 分) 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x124x225x324x1x3 。（ 1）写出二次型 f 的矩阵 A；（ 2）用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵；（ 3）判别二次型的正定性七 1.(江浦学生做)(12分 )问a为何值时，线性方程组x15x2x3x41x17x2x33x433x117x2x3x4ax13x23x35x45无解，有解？有解时求其通解。2.(浦江学生做 )2.(12 分) 判别非齐次线性方程组x

16、15x2x3x41x17 x2x33x433x117 x2x3x41x13x23x35x45是否有解，若有解，求其通解。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 12精品资料八 .1.(江浦学生做 )(6 分)假如1, 2,3 是某齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系 ,问2 12, 253,43 3 1 是不是齐次线性方程组AX 0 基础解系 ? 为什么？2.(浦江学生做) (6 分 )试证：如果向量组1 ,2 , 3 线性无关，则向量组2 12,25 3,433 1也线性无关。南京工业大学 线性代数 课程考试试卷（ B）解答( 江浦、浦江2005-2006 学年第 1 学期 )212

17、一 1）2, 424； 2） 16； 3）0,能212二 1）C2）D， 3）B， 4）B5)A三第 2,3, n 行加到第 1行：1x2xnD1x2 mxn(x1 x2xn m)4 分1x2xn m仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 13精品资料1x2xn= ( x1x2xn0mxn4分m)00m= ( 1)n 1 mn 1 ( x1x2xnm)4 分四 (12分) 解： (A2E)X A3分X( A2E) 1A31434231531103分16412338629632129五 (12 分) 解：1110110103(1,2, 3, 43211301204, 5 )122000016

18、 分025434700000秩为 3；（8）极大线性无关组为1, 2, 4；（）分10312 2 ,53 14 22 4 。（12）分202六.(16 分) 解:（1） A0404 分205（2） |AE |(4)(1)(6) ，得特征值 1，4，6。7 分对于=1，得单位特征向量：1对于=4，得单位特征向量：23 (1,0,2 ,)55(2,0,1 ,)55(0,1,0)；对于=6，得单位特征向量：10 分仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 14精品资料20155y1222取正交变换 X PY010y2 。则 f y14 y26 y312102y355分（ 3）因为特征值都大于0，

19、所以二次型是正定二次型16 分七 . 1.(江浦学生 )(12) 解：1511110611110224401122( A,b)224 a 30 0006 分0a 10224400000（ 1） 当 a1时，方程组无解；8 分（ 2） 当 a1 时，有无穷多组解，10 分61111通解为 X1k22212 分k100。10102.(浦江学生 ).(12 分) 解：1511110611110224401122( A,b)224400006分000224400000r ( A) r ( A, b)= 24 ，方程组有无穷多解。9 分仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 15精品资料61111X

20、 k112212 分通解为k20。10010(江浦学生 )(6分)是2 分八. 1.(1)由于 1,2,3是某齐次线性方程组AX 0 的解 . 则它们线性组合2 12 ,253 , 43 3 1是AX0的解;1 分(2)由于 1,2,3线性无关 ,可得 2 12,253,433 1线性无关 ;2 分(3)由于 AX0 基础解系中含 3 个解向量 , 从而212 ,253 , 43 3 1是AX0 基础解系 .1 分2.(浦江学生 ). (6 分 ) 解 . 设有一组数 k1 ,k 2 , k3 ，使k1 (2 12 )k2 (25 3 )k3 (433 1 )02 分即(2 k13k3 ) 1

21、(k1k2 )2(5k24k3 ) 30因为1 ,2 , 3 线性无关，所以2k13k30k1k20分5k24k320所以 k1k2k30 ， 2 12 ,25 3 ,433 1 也线性无关。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 16精品资料南京工业大学 线 性 代 数 试题（ B）卷 （闭）2007-2008学年第 一 学期 使用班级江浦各专业本科生班级学号姓名题号一二三四五六七八总分得分仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 17精品资料一、填空题（每题3 分，共 15 分）1、若 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A2A2E ，则(A E)1。2、设 A、B 均为 n 阶矩阵， A

22、2, B2，则 2A* B 1。bc 0b2c 2abac3、设 a0 c 5 ，则 abc2a 2bc 。0a bcabca 2b 24、设 E 为 n 阶单位矩阵， u 为 n 维单位列向量。则 E2uu T 的 n 个特征值为。1k5、已知向量k，1正交，则 k。12一、单项选择题（每题3 分，共 15 分）a1 xb1 yc1 zd101、方程组a2 xb2 yc2 zd 20 表示空间三平面，若系数矩阵的秩为a3 xb3 yc3 zd 303，则三平面的位置关系是()(A) 三平面重合 (B)三平面无公共交点 (C) 三平面交于一点 (D) 无法确定它们的位置关系2、如向量组1 ,2

23、 ,r线性无关但可由向量组1 , 2 ,s 线性表出，则 r与s 的关系为 ()仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 18精品资料（ A） rs（B） rs( C ) rs(D) r s3、设 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则 EA一定（）(A) 小于 1(B) 等于 1(C)小于等于 1 (D) 大于 14、如果 n 阶矩阵A、 、C满足AB AC，则以下论述正确的是 ()B（A） BC (B) 当 A 可逆时一定有 BC(C) B C （D）当 A 可逆时未必有 BC5、设 1,2 , n 线性无关，112 ，223 ,n 1n 1n ,nn1 ，则关于向量组1,2, ,n 的论

24、述正确的是（）（ A）一定线性无关（B）一定线性相关(C)相关与否与 n 有关 （ D）以上均不正确x1 mx2xn三. (12 分)x1x2 mxn。求 n 阶行列式 :x1x2xn m300四、(12分) 设 A110，且有关系式 A2AX4E 2X ，求024矩阵X.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 19精品资料135210五、（ 12 分）设向量组 13， 25， 37，135214214 2 ，求该向量组的秩及其一个极大无关组并将其余的向量用该23极大无关组线性表示。六、（ 14 分）设二次型f (x1, x2 , x3 )2x122x223x322x1 x2 ，回答下列问

25、题：1）写出此二次型的矩阵A ；2）利用正交变换 XQY 将此二次型化为标准型，给出正交变换X QY 和标准型；3）讨论该二次型的正定性。x1x2x3x40七、（ 14 分）当 a 为何值时，线性方程组x22x32x41x22x32x4无a3x12x2x3x41解，有无穷多解？并求无穷多解时的通解。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 20精品资料八、（ 6 分）设 A 为 mn 阶矩阵，证明：方程组AX0 与方程组AT AX0 同解。南京工业大学线性代数试题（B）卷试题标准答案2008-2009 学年第一学期使用班级江浦各专业本科生一、填空题 ( 每题 3 分，共 15 分)(1) 1

26、 A(2)22n 2 (3) 25(4)1, 1(n-1 重)(5) 12二、选择题 ( 每题3分, 共15分)(1) C (2) B (3) D (4) B (5) C三、（ 12分）第 2,3, n 列加到第 1列：1x2xnD (x1 x21x2 mxnxn m)4 分1x2xn m仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 21精品资料1x2xn0mxn8= ( x1 x2xn m)00m= ( 1)n 1 mn 1 (x1 x2xn m)1212A2AX4E2XAX2 X4EA2( A2E) X(2EA)( 2E A)4(A 2E)X( A 2E)( A 2E)300A1 10A2E

27、0A2E024.8( A2E) 1500X(A2E)13012022仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 22精品资料五、 (12 分)解：以向量1 ,2 ,3 ,4 为列构成矩阵 A 并进行初等行变换：13522r113521210r2051055 r213r1A357r30484r34r 22r1135r40000r57r222r1214r5071473135201210000r13r200000000101101210000。 8 分00000000所以 R( 1,2 ,3, 4)2， 1,2 是1 , 2 , 3 , 4 的一个极大无关组，且312 2 ，412。 12 分六、（

28、 14 分）解：（ 1）该二次型的矩阵为210A 1 2 0 。0 0 3。 4 分（ 2）首先求出矩阵A 的特征值。由于矩阵A 的特征方程为仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 23精品资料210A E120(3 )2(1 ) 0003故矩阵 A 的特征值分别为1，3（二重）。11011当1时， AE1101 ；，得单位特征向量 p10022011011当3时， AE110，得单位正交特征向量 p21，200000p301取 Qp1 p2p3，做变换 XQY 则是变换正交，且将二次型化为标准型f ( y1 , y2 , y3 )y123y223y32。12 分（ 3）因为二次型矩阵的特征值都是正的，所以此二次型为正定二次型。 14 分。七、（ 14 分）解：对方程组的增广矩阵( A | b) 进行初等行变换：111101111001221r301221r3r2( A | b)122 a3r1122ar4r2003211101221仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 24精品资料1111001221B0000a100000由此可知当 a1 时，方程组无解，当a1时，方程组有无穷多解。-9 分当 a1时，继续对 B 进行初等行变换，化为行最简型得111101011101221r1r201221B00000000000000