(完整版)导数的概念、导数公式与应用

1、导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率(1概念：函数中，如果自变量尸在心处有增量-,那么函数值y也相应的有增量厶y=f(x 0+ x)-f(x 0)，其比值叫做函数?1从门到二+ x的平均变化率，即Av _若=二心，i I十，则平均变化率可表示为丄沃 一 -，称为函数-从匸 到心的平均变化率。注意： 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量 与体积增量的比值； 函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当二:取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 止是自变量T在；处的改变量，亠而是函数值的改变量，可以是 0。函数 的平均变化率是0,并不一定说明函数没有变化，应取

2、丄工更小考虑。(2) 平均变化率的几何意义3 二沁函数1的平均变化率丄 上二的几何意义是表示连接函数 图像上两点割线的斜率。AB的斜率如图所示，函数厂的平均变化率s i I的几何意义是：直线事实上,作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率知识点二：导数的概念：1 导数的定义：对函数,在点厂二处给自变量x以增量二；，函数y相应有增量H阳叟二向血主上/如、。若极限存在，则此极限称为亠 在点&处的导数，记作或厂，此时也称八在点巴处可导。广(硏=/ =曲张+心畑广(吗2曲沟火即：(或 h -)注意： 增量止工可以是正数，也可以是负数； 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬

3、时变化率。2导函数：如果函数 在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个1 1； ，都对 应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数 -,称这个函数-h 为函数 1- ：1在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数八=在二二 处的函数值，反映函数丄在：二门附近的变化情况。3 导数几何意义：(1) 曲线的切线曲线上一点P(xo, yo)及其附近一点Q(x+ x,y+Ay)，经过点P、Q作曲线的割线PQ 粒则有怙=sQ=A-其倾斜角为当点Q(xo+Ax,yo+Ay)沿曲线无限接近于点P(xo，yo)，即厶x-0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点

4、P处的切线。若切线的倾斜角为二，则当 x-0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。gg 4 hm =扫円x(2) 导数的几何意义：函数1 在点X。的导数 是曲线一)上点)处的切线的斜率。注意： 若曲线I 在点-处的导数不存在，但有切线，则切线与-轴垂直。 、，切线与工轴正向夹角为锐角；儿，切线与二轴正向夹角为钝角;yaj=o,切线与天轴平行。(3) 曲线的切线方程如果 J -：l在点厂可导，则曲线在点()处的切线方程为:p-yoj 二况）0-咼）4 瞬时速度：物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度

5、这一概念。如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物 体t至U t+ t这段时间内，当 t 0时平均速度的极限，即v= =如果把函数，看作是物体的位移公式)，导数 表示运动物体在时刻的瞬时速 度。规律方法指导1 .如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法： 作差：求出和 厂： 作商：对所求得的差作商，即八 I O注意：(1) 二 = =，式子中匕、 的值可正、可负，但丄：的值不能为零，J的值可以为零。若函数-为常数函数时，1- OAr(2) 在式子中，上与二：是相对应的“增量”，即在九厂【时，OAx中，当心取定值，二：取不同的数值时，函

6、数的平均Ay _ y(xr+Ax)-/M(3) 在式子-变化率不同；当k:取定值，6取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2. 如何求函数在一点处的导数（1） 利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。 计算函数的增量： 一 ：亠-；Ay _+ 求平均变化率：一；血叟=1口伽5）-应 取极限得导数：一（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3. 导数的几何意义 设函数 J在点厲的导数是-,则-表示曲线；1 1-在点（八i ）处的切线的斜率。 设是位移关于时间的函数，则 表示物体在时刻的瞬时速度； 设 是速度关于时间的函数，贝U ； 1：-表示物体在 时刻的加速度；4.

7、利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 求出-在工处的导数-二； 利用直线方程的点斜式得切线方程为 -/|： o类型一：求函数的平均变化率01、求|在到之间的平均变化率，并求】时平均变化率的值.Ay _ y（x0 +Ax）-/faj思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式 -进行操作.举一反三:【变式1】求函数y=5x2+6在区间2 , 2+-内的平均变化率。【变式2】已知函数，分别计算厂在下列区间上的平均变化率:（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.1一 一 = 【变式3】自由落体运动的运动方程为二，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平

8、均速度（位移s的单位为m o【变式4】过曲线一上两点小和1作曲线的割线，求出当-时割线的斜率.类型二：利用定义求导数2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。举一反三:【变式1】已知函数(1) 求函数在x=4处的导数.(2) 求曲线上一点处的切线方程。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数:(1) ；宀；/二丄(4)3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导 数的几何意义，得所求切线的斜率，将 x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:（1）平行于直

9、线y=4x5；（2）垂直于直线2x 6y+5=0;（3）与x轴成135的倾斜角。知识点三：常见基本函数的导数公式（1）-宀 -（C为常数），-（2） ，-（ n 为有理数），（3）/（耳二取n=（4）1 /- 1 -（5）八一（8）一J知识点四：函数四则运算求导法则设均可导（门和差的导数：，1. JL-1（2）积的导数:亠 厶；：1-L-： .ZW1 = 丁（血诣仗）一/0）000（3）商的导数：；.门（：）知识点五：复合函数的求导法则讥二几玖或八呛）3）卩匕）即复合函数对自变量工的导数 -，等于已知函数对中间变量“的导 数丄，乘以中间变量）对自变量卞的导数。注意：选择中间变量是复合函数求导的

10、关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不 遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1 求复合函数的导数的一般步骤 适当选定中间变量，正确分解复合关系； 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； 把中间变量代回原自变量（一般是 x ）的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复 合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数1、求下列函数的导数：(1)(2)尹二(3) 二厂 ；(4) y=2x3 3x2+5x+ 4(4)、=；、举一反三：【变式】求下列函数的导数:y = -2 sin(3) y=6x34x2+

11、9x 6G 2、求下列各函数的导函数(2)y=x2sinx;举一反三:【变式1】函数.在厂处的导数等于()D. 4A. 1B. 2C. 32 x3 3 x+& -1【变式2】下列函数的导数(门厂；，.：.；【变式3】求下列函数的导数类型四：复合函数的求导3、求下列函数导数1(1)(2)(1-期；7(4)y = cos(2r + 5举一反三：【变式1】求下列函数的导数:(2)（门!：；(3) y=l n (x+)；(4)j (龙)=e-r (cos x + sin x)类型五：求曲线的切线方程C、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.举一反三:【变式1】求曲线-在点匚处的切线的斜率，并写出切线方程【变式2】已知.是曲线一上的两点，则与直线平行的曲线1 一的 切线方程是.【变式3】已知曲线.（1）求曲线二上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线匚是否还有其他的公共点?【变式4】如果