全等三角形中辅助线的添加

1、全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1) 作线段：连接；(2) 作平行线：过点 作 Il ;(3) 作垂线(作高)：过点作丄，垂足为；(4) 作中线：取中点，连接；(5) 延长并截取线段：延长使等于；(6) 截取等长线段：在上截取，使等于；(7) 作角平分线：作平分；作角等于已知角；(8) 作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1) 倍长中线(或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段)，通常考虑倍长中线或 类中

2、线，构造全等三角形。(2) 截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在 较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证 明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题(“ K”字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三 角形的直角边。(4) 角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5) 角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法

3、：用旋转构造三角形全等。(6) 构造特殊三角形：主要是 30 、60 、90 、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等 边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC边中线方式1： 延长AD到E,使DE=AD连接BE方式2:间接倍长，作 CFAD于F,作BEAD的延长线于E,连接BE方式3： 延长 MD到N,使DN=MD连接 CD(2)由厶ABE BCD导岀由厶ABE BCD导岀由厶ABE BCD导岀BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3) 角分线，分两边，对称全等要记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现(三线合一)(4)旋转

4、：方法：延长其中一个补角的线段(延长CD到 E,使ED=BM)连AE或延长CB到 F,使FB=DN，连AF )结论： MN=BM+DNC CMN 2 AB AM AN分别平分 BMNn DNM翻折：思路：分别将 ABMm ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M P N三点共线.( B+ D=180且AB=AD(5)手拉手模型 厶ABEn ACF均为等边三角形结论：(ABF AEC; ( 2) B0E= BAE=60 (“八字型模型证明)；(3) OA平分 EOF拓展：条件： ABCm CDE均为等边三角形结论：(1)、AD=BE (2)、/ ACB=/ AOB ( 3)、 PCC为等边

5、三角形(4)、PQ/ AE ( 5)、AP=BQ (6)、CO平分 AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD ( 7),( 8)需构造等边三角形证明) 厶ABDrn ACE均为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD (2) BEL CDABEFrn ACHD为正方形当以AB AC为边构造正多边形时，总有:180 1 = 2=360n四、典型例题:考点一：倍长中线(或类中线)法:核心母题 已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3,贝忡线 AD的取值范围是 练习：1、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEI DF，D是中点，试比较2、 如图， ABC中，BD=DC=A

6、C E是DC的中点，求证： AD平分 BAE.3、 如图，CE、CB分别是 ABC与厶ADC的中线，且 ACBN ABC,求证:4、已知：如图，在正方形 ABCD中，E是BC的中点，点F在CD 上，Z FAE= Z BAE.求证：AF=BC+FC .5、如图，D是AB的中点，Z ACB=90 ,求证：2CD=AB.6、已知在厶ABC中,AB=AC D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F, 且 DF=EIF求证：BD=CE7、已知在厶ABC中,AD是BC边上的中线， E是AD上一点，且 BE=AC延长 BE交AC于F,求证：AF=EFO8、已知：如图，在ABC 中，AB AC ,D E

7、在 BC上，且 DE=EC 过 D作 DF / BA交 AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分 BAC第1题图结论：(1)、BDL CF (2)、BD=CF变形一：ABEFrn ACHD匀为正方形，AS丄BC交FD于T,求证：T为FD的中点.S ABCS ADF .方法一：方法二：方法三：变形二：ABEFrn ACHD匀为正方形，M为FD的中点，求证：ANLBC9、以ABG的两边AB AG为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt AGE , BAD GAE 90 ,连接DE M N分别是BG DEi勺中点探究：AM与 DEi勺位置关系及数量关系.,线段AM与 DEl勺数量关系(1)如图 当

8、 ABC为直角三角形时，AMDEi勺位置关系是(2)将图中的等腰 Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0 AC,求 证：BE-AC=AE练习1、 如图所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分线，P是AD上异于点 A的任意一点，试比较PB PC 与AB AC的大小，并说明理由.2、如图所示： ABC的平分线BF与 ABC中 ACB的相邻外角 ACG的平分线CF相交于点F , 过F作DF /I BC,交AB于D,交AC于E.问：3、( 1 )写岀图中的等腰三角形并说明理由.4、( 2)若 BD=8cm , DE=3cm,求 CE 的长.3、 在 ABC中，AB 2AC, AD平分 BAC ,

9、E是AD中点，连结 CE ,求证：BD 2CE4、 如图， ABC 中, ABC=2 C, BE 平分 ABC 交 AC 于 E、ADL BE 于 D,求证：(1) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如图，在 ABC中，AB AC, E为BC边的中点，AD为 BAC的平分线，过 E作AD的平行线， 交AB于F,交CA的延长线于G.6、求证：BF=CG.变式一：如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF / AD交CA的延长线于点 F ,交AB 于点G ,若BG CF ,求证：AD为 BAC的角平分线.变式二：已知： ABC中，AD是厶ABC的角平分线，M为BC的中

10、点，过点 M作MN/ AD,交AC于点N ,求证： AN+AB=NC.变式三：在 ABC中, AD ABC的角平分线.(1)如图1 ,过C作CE/AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连结AF,求证：AFL AD(2)如图2 ,M为BC的中点，过M作MN/AD交AC于点N,若AB=4,AC=7,NC的长.如图，已知 ABC中，AB= AC, Z A= 100, B的平分线交 AC于D,J 求证：AD+ BD= BC如图，在 ABC中，AD丄BC于D, CD= AB+ BD, Z B的平分线交 AC于点E,平分线上。中， ACB= B, BAC的平分线2),证明：BN=CD)D MHBBO1

11、当M是BC中点时，写出 请直接写出8、如图1，直线I丄AO于H，分别交直线 AB AG BC于点N (1)当直线I经过点C时(OAD图2CA恰好在BC的垂直D上一动点，过点C H作E(2)(3)9、如图所示，在 变式：如图，已知在10、如图所示，在OCE和CD之间的等量关系，并加以证明； BN CE、CD之间的等量关系.ABC中，Z ABC=3Z C,ABC 中， ABCABC中，AD平分AD是Z BAC的平分线，3 C ,12, BEBAC , AD AB, CMBEAD于 F，AE 求证：AD于M ,求证求证:AC2BE=AC-AB变式一：如图 1 = 2 , B为AC中点，CML FB于

12、M, ANI FB于N,求证：EF=2BMAB 2BEAB AC 2AM 1 FB=- ( FM+FN2CE ,过点E作变式二：如图，在 ODC中 D 90, EC是DCO的角平分线，且OEEF OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.变式三：如图所示，在 ABC中，ACAB, M为BC的中点，AD是Z BAe的平分线，若 CF AD且交AD的延长1线于 F,求证：MF=- (AC AB)O2考点五：角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法 核心母题 如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是 Be CD边上的点，Z EAF=45,求证：EF=BE+DF.变式一：如图，E、F

13、分别是边长为1的正方形ABCD勺边Be CD上的点，若厶ECF的周长是2,求Z EAF的度变式二：如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是Be CD边上的点，Z EAQ=45 , AHX EF,求证：AH=AB.综合：在正方形 ABCDK 若 M N分别在边 BC CD上移动，且满足 MN=BM+ DN求证：.Z MAN=45 .C CMN 2AB .AM AN 分别平分 Z BMN和 Z DNM.练习1、如图，在四边形 ABCD中，AB=BC,Z A=Z C=90,Z B=135, K、N 分别是 AB BC上的点，若 BKN的周长是AB的2倍，求Z KDN的度数?2、已知：正方形ABCD中

14、， MAN=45, MAN绕点A顺时针旋转，它 的两边分别交CB、DC (或它 们的延长线)于点 M N.当 MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN 3、 ( 1 )当 MAN绕点A旋转到BM DN时(如图2 ),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关 系？写岀猜想，并加以证明；4、( 2 )当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN和MN之间又有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想.3、如图，在四边形 ABCD中, AB=AD， B+ D=180, E、F 分别是边 BC CD上的点，且 2 EAF= BAD(1) 求证：EF=BE+FD(2) 如果E、F分

15、别是边BC CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。5、 如图所示，在五边形 ABCDE中, AB=AE BC+DE=Cp ABC+ AED=180 求证：AD平分 CDE.6、女口图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2 , ABC= AED=90 , 求 五边形 ABCDE 的 面积.7、如图1 .在四边形 ABCD中.AB=AD, B+ D=180 o , E、F分别是边 BC、CD上的点，且 BAD=2 EAF.8、( 1 )求证：EF=BE+DF ;9、( 2)在(1 )问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上 时，如图2所示，

16、10、试探究EF、BE、DF之间的数量关系.8、如图，在 ABC 中， ACB=90 , AC=BC, P 是 ABC 内一点，且 PA=3 , PC=2 , PB=1 .求 BPC的度数考点六：构造特殊三角形核心母题如图，在厶ABC中，AD交边BC于点 D, BAD=15 , ADC=4 BAD, DC=2BD.(1) 求 B的度数；(2) 求证： CAD= B.练习1、 在平面直角坐标系中，点A(2 , 0)、B(0 , 4),以AB为斜边作等腰直角 ABC则点C的坐标为？2、 如图，在正方形网格图中，求1+ 2 + 3的度数和。3、 已知：平面直角坐标系中的三个点，A (1,0 )、B ( 2 ,1 )、C ( 0,3 ),求/ OCA OCB勺度数.6、已知AD 2 , BP 4 ,以AB为一边作等边三角形 ABC使C、D两点落在直线 AB的两侧.(1)如图，当 ADB=60时，求 AB及CP的长;(2)当 ADB变化，且其它条件不变时，求CP的 最大值，及相应 ADB勺大小.7、已知：PA 2 , PB 4 ,以 AB为一边作正方形 ABCP,使 P、P两点 的两侧.(1) 如图，当 APB=5时，求 AB及PP的长；(2) 当 APB变化，且其它条件不变时，求PP的 最大值，及相