增分专题三导数的简单应用讲义理

1、重点增分专题三导数的简单应用全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T5利用导数讨论函数的单调性T21(1)利用导数的几何意义求切线方程T 13利用导数的几何意义求参数值T 142017利用导数讨论函数的单调性 T21(1)导数的运算、利用导数求函数极值T 1120167函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程T 15利用导数公式直接求导T 21(1)(1) 高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现 在解答题第一问.(2) 高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在 选择、填

2、空的后几题中出现，难度中等；有时也出现在解答题第一问.(3) 近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略.考点一导数的几何意义保分考点练后讲评大稳定一一常规角度考双基1. 已知切点求切线方程(2018 全国卷n )曲线y = 2ln x在点(1,0)处的切线方程为解析：因为y= 一，y I x=i = 2,所以切线方程为 y 0= 2( x 1)，即y= 2x 2.X答案：y = 2x 22. 由切线方程求切点坐标曲线f (x) = x3x + 3在点P处的切线平行于直线y= 2x 1, 则点P的坐标为.解析：f (x) = 3x2 1，令 f (x) = 2,

3、则 3x2 1 = 2，解得 x= 1 或 x= 1, a P(1,3) 或(1,3),经检验，点(1,3) , ( 1,3)均不在直线y= 2x 1 上,故点P的坐标为(1,3) 和(1,3).答案：(1,3)和(1,3)3. 求参数值或范围(2018 全国卷川)曲线y= (ax+ 1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，贝U a=.解析：t y= (ax+ a+ 1)ex，二当 x= 0 时，y= a+ 1, a+ 1 = 2，解得 a= 3.答案：31 54. 已知切线上一点 非切点 求切线方程曲线f (x) = x 2x + 2 2三x w 2过点R2,0)的切线方程为.解析：因为

4、f(2) = 23 2X2 2+ 2= 2工 0,所以点P(2,0)不在曲线f(x) = x3 2x2 + 2 上.一15设切点坐标为(X。, y)，则xw ，因为 f (X)= 3x 4x,32y= x 2x+ 2,所以0 y2=3xo 4xo,2 Xo2消去 y,整理得(X01)( X0 3x0 + 1) = 0,解得X0= 1或X0= 2 e设切点为(X。, y。)，则有X0+ a InX0+ a所以 b= ae 2.因为b,所以迸, (舍去)或 X0= 3 2，5(舍去),所以 y= 1, f (X0) = 1,所以所求的切线方程为y 1 = (x 1),即 y = X+ 2.答案：y

5、 = x + 25. 求含双参数代数式的取值范围若曲线y= ln( x+ a)的一条切线为y= ex + b,其中a,eb为正实数，则a+=；的取值范围是b+ 21解析：因为y= ln( x + a)，所以y= 二=ex+ b,x + aee1所以a+E=a+ -= a+ -2(当且仅当a= 1时取等号)， b 十 2aeae所以a+ b十2的取值范围是2，+m) 答案：2，十)解题方略1.求曲线y = f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(xo, yo)，求切线方程求出切线的斜率f (X。)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点Rx, y)，通过方程k = f

6、(X0)解得X0,再由点斜式与出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(X0, y)，利用导数求得切线斜率f (X0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得X0,再由点斜式或两点式写出方程2由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键类型解题关键已知曲线在某点处的切线求参数关键是用“方程思想”来破解， 先求出函数的导数，从而求出 在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件， 建立 关于参数的方程，通过解方程求出参数的值已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的代 数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方

7、程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基 本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围小创新一一变换角度考迁移1.与数列交汇已知函数f(x) = x2-ax的图象在点A(1 , f(1)处的切线I与直线x十13y- 1 = 0垂直，记数列的前n项和为S,贝U S2 018的值为()f n2 0162017A.B.-2 01720182 0152018C d 2 0162019解析：选D由题意知f(x) = x2-ax的图象在点A(1 ,f(1)处的切线斜率k = f (1)=42n, 1111c112-a= 3? a=- X 故 f(x)= X + X.则rn = n

8、n+ 1= n-市，$ 018= 1 2+ 2 1 1 1 1 2 018斗.斗一=1 一=3 2 0182 0192 0192 019 2. 与圆交汇曲线f(x) = x3 + 3x2在点(1 ,f(1)处的切线截圆X2+ (y+ 1)2= 4所得的弦长为()A. 4B . 2 2C. 2D. 2._ 2解析：选A因为f (x)= 3x + 6x,则f (x)在点(1 , f(1)处的切线的斜率 k = 3 + 6 = 3，又 f(1) = 2,故切线方程为y 2 = 3( x 1)，即 3x y 1= 0.因为圆心C(0, 1)到直线3x y 1 = 0的距离d= 0,所以直线3x y 1

9、 = 0截圆x2 + (y + 1)2= 4所得的弦长就是该圆的直径4，故选A.3. 与三角函数交汇已知函数f(x) = |x 4sin x -43cos x的图象在点A(Xo, yo)处的切线的斜率为1，则tan x=sin1 1解析： f (x) = 2X 4Sinx,. f (x)2 Jcos x + #sin x =1 +17t函数f (x)的图象在点A(X0, y)处的切线斜率为1,11n-2+ sin X0= 1 ,n n ,二 X0 = 2 + 2k n, k Z,2nX0 =+ 2k n, k Z,3.tan X0= tan2n3+ 2k n答案：3考点二利用导数研究函数的单调

10、性增分考点 深度精研析母题一一高考年年“神”相似典例已知函数f (x) = ex(e x a) a2x，讨论f (x)的单调性.解函数f (x)的定义域为(8,+ ),VXVXf ( x) = 2e ae a = (2e + a)(e a).若a= 0,则f(x) = e2*在(一8,+s )上单调递增. 若 a0,则由 f (x) = 0,得 x= In a.当 x ( g, In a)时，f(x) v0;当 x (In a,+g)时，f (x) 0.故f (x)在(g, In a)上单调递减，在(In a,+g)上单调递增.a 若av 0,则由f (x) = 0,得x= In 可.a当 x

11、 g, In 2 时，f(x) v 0;a当 x In 2 ,+g 时，f( x) 0.a故f (x)在g, In 2上单调递减，a在In 2 ,+g上单调递增.练子题一一高考年年“形”不同1 11. 若本例中f (x)变为f (x) = In x + , a R且a0,讨论函数f (x)的单调性.ax a解：函数f (x)的定义域为(0 ,+g),c ,11ax 1贝y f (x) = 2 =厂.x ax ax当a0恒成立，函数f (x)在(0 ,+g)上单调递增.1当 a0 时，由 f (x)0，得 xk;a1由 f (x)0 ，得 0x,a11函数f (x)在-,+g 上单调递增，在 0

12、，-上单调递减.aa综上所述，当a0时，函数f (x)在-，+g 上单调递增，a1 、在0,-上单调递减.a2. 若本例变为：已知函数f (x) = ex(ex a) a2x在1 ,+g)上单调递增，求实数 a的取值范围.解：由本例解析知f (X)= (2ex + a)(e x a),/ f(x)在1 ,+s )上单调递增，则f(x) 0在1 ,+8)上恒成立，xx(2e + a)(e - a) 0, 2ex w aw/在1 ,+s)上恒成立，- 2ew aw e,实数a的取值范围为2e, e.3.若本例变为：函数f (x) = ex(ex a) a2x在1 ,+)上存在单调递减区间，求实数

13、a的取值范围.解：由本例解析知f(x) = 2e2x aexa2,设 t = e ,v x 1 ,+s), t e ,+),即 g(t) = 2t2 at a2在e ,+)上有零点.2 2-g(e) = 2e ae a e或a0).由 xx 0 ,得0x0 ,调递减区间为(0,1).2.已知函数 f(x)在定义域 R内可导,f (x) = f (2 x),且当 x ( g , 1)时，(x 1)f (x)0.设 a= f(0) , b=f 2 , c = f(3)a , b , c的大小关系为()A. cabC. abcB . cbaD . bca解析：选A依题意得，当x0，函数f(x)为增函

14、数.又f(3) = f ( 1),1 1 11021,. f( 1)f(0) f 2，即 f(3)f(0)f 2，二 ca 0,得1w a3.实数a的取值范围为1, 3 .1=0，得 x= 2，贝Vd 1 d2a 10,1 1 1x2，令f (x)o,得0xa+ 1w 2-,即 a 3,函数f (x)在其定义域内的一个子区间(a 1, a+ 1)内不是单调函数，需满足31 a0)在1，十)上的最大值为 扁3，则a的值为()x十a31D 已知函数f(x) = 2ln x 2ax+ x有两个极值点xi,X2(xi 1时，若x a，则f (x) v 0, f(x)单调递减，若 1 vxv a，则 f

15、 (x)0 , f (x)单调递增，故当x=谄时，函数f(x)有最大值= ，得a= 40, 则 xi + X2= a0,解得 a2,XiX2= 10,实数a的取值范围为(2 ,+s).解题方略已知函数极值点或极值求参数的方法列式根据极值点处导数为 0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性逻辑推理一一分类与整合思想研究函数的单调性 2 2典例(2018 佛山月考)已知函数f(x) = In x ax + ax(a R).当a= 1时，求函数f (x)的单调区间； 若函数f(x)在区间(1 ,+)上是

16、减函数，求实数a的取值范围.2解(1)当 a= 1 时，f (x) = In x x + x，其定义域为(0 ,+),12x2 x 1 f (x) = 2x+ 1 =xx令f(x) = 0,则x= 1(负值舍去).当 0x0 ;当 x1 时，f (x)0,z. f(x)在区间(0,+)上为增函数，不合题意；1 当 a0 时，由 f (x)-. a f(x)的单调递减区间为1 +m a，十1w 1 ,依题意，得aa0,解得a 1; 当 a0 时，由 f (x)- f(x)的单调递减区间为12a，-pm1W 11依题意，得 2a ， 解得aw 2.a：或a4或a0 时，x2;f (x)0 时，一1

17、x0, x= Ina,代入曲线方程得y = 1 In a,所以切线方程为y (1In a) = 2(x + In3. (2019届高三广州高中综合测试a)，即 y= 2x+ ln a+ 1 = 2x + 1? a= 1.)已知函数f (x) = x3+ ax2 + bx+ a2在x= 1处的极A. ( 3,3)C. (4, 11)解析：选 C f (x) = 3xf + 2ax+ b,依题意可得 彳1 = 0,1 = 10,3+ 2a+ b = 0,即 1 + a+ b+ a2= 10,消去b可得a2 a 12 = 0,a = 一 3,解得a=- 3或a= 4,故b= 3a= 4,a = 3,

18、或b= 11.当b= 3时,值为10,则数对(a, b)为()B . ( 11,4)D . ( 3,3)或(4 , 11)f (x) = 3x2 6x + 3= 3( x 1)2 0,这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.4. 已知f(x) = x2+ ax+ 3ln x在(1 , +)上是增函数，则实数 a的取值范围为()A.(汽2 6B. 3 -2C. - 2 .;6 ,+s)D . 5,+)232x + ax+ 3解析：选C由题意得f (x) = 2x + a+ x = x 0在(1，+m)上恒成立？ g(x)z.z.=2x2 + ax + 30 在(1 ,+s)上恒成立A = a

19、2 24W0? 2 ,：6g 10? a 2 ：6,故选 C.5. (2018 全国卷I )设函数f (x) = x3 + (a 1)x2+ ax,若f (x)为奇函数，则曲线 y = f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A. y = 2xB . y= xC. y = 2xD . y= x解析：选 D 法一 ：t f(x) = x3+ ( a 1) x2 + ax,2 f (x) = 3x + 2(a 1)x+ a.又 f(x)为奇函数， f( x) = f(x)恒成立，即一x3 + (a 1)x2 ax= x3 (a 1)x2 ax 恒成立,2- a= 1 , f (x) = 3x +1

20、, f (0) = 1,曲线y = f (x)在点(0,0)处的切线方程为y= x.法二：易知 f (x) = x3+ ( a 1) x2+ ax=xx2+ (a 1)x+ a，因为 f (x)为奇函数，所以23函数g(x) = x + (a 1)x+ a为偶函数，所以a 1 = 0，解得a= 1,所以f(x) = x + x,所以2f( x) = 3x +1，所以f (0) = 1，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y= x.故选D.6. 函数 f(x)(x0)的导函数为f (x)，若 xf (x)+ f(x) =ex,且 f(1) = e,则()A. f(x)的最小值为eB

21、 . f(x)的最大值为e11C. f(x)的最小值为-D . f(x)的最大值为-ee解析：选 A 设 g( x) = xf (x) e ,所以 g(x) = f(x) + xf (x) ex= 0,所以g(x) = xf(x) ex为常数函数.因为 g(1) = 1x f (1) e= 0,所以 g(x) = xf (x) ex = g(1) = 0,xx.ee x 1所以 f(x) = -, f (X) =x2,当 0x1 时，f (x)1 时，f(x)0,所以 f(x) f(1) = e.二、填空题2 . .7. (2019届高三西安八校联考)曲线y = 2ln x在点(e处的切线与坐

22、标轴所围成的 三角形的面积为.2 2解析：因为y = -，所以曲线y= 2ln x在点(e2,4)处的切线斜率为r，所以切线方程为xe2 2 2 2 - y 4 = -2(x e )，即-2x- y + 2 = 0.令 x = 0,贝 U y = 2；令 y = 0,贝 U x=- e,所以切线与坐 ee1标轴所围成的三角形的面积S= 2 xex 2= e2.答案：e2&已知函数f (x) = x2 5x+ 2ln x，则函数f (x)的单调递增区间是 解析：函数 f(x) = x2 5x + 2ln x 的定义域是(0,+s)，令 f(x) = 2x 5 + -=x22x 5x + 2 =x

23、x 一 22x 一 1110,解得0x2,故函数f (x)的单调递增区间是 0,-x22和(2 ,+s).1答案：0, 2 和(2 ,+)9若函数f(x) = x + aln x不是单调函数，则实数a的取值范围是 a解析：由题意知f (x)的定义域为(0，+m), f(x) = 1 + -，要使函数f (x) = x+ aln xxa不是单调函数，则需方程1 + x= 0在(0,+)上有解，即x= a,. a0.x答案：(汽0)三、解答题10. 已知f (x) = ex ax2,曲线y = f (x)在点(1 , f(1)处的切线方程为y= bx+ 1.(1) 求a, b的值；(2) 求f(x

24、)在0,1上的最大值.解：(1) f (x) = ex 2ax,所以 f (1) = e 2a= b, f (1) = e a= b+1,解得 a= 1, b= e 2.由(1)得 f(x) = ex x2,则 f(x) = ex 2x, 令 g(x) = ex 2x, x 0,1,则 g(x) = ex 2,由 g(x)0 ,得 0x0 ,得 ln 2 x f (In 2) = 2 2ln 20 ,所以f(x)在0,1上单调递增，所以 f(X)max= f (1) = e 1.11. (2018 潍坊统一考试)已知函数 f (x) = ax In x, F(x) = ex + ax,其中 x

25、0, a0,x xa0,. f (x)0在(0,+)上恒成立，即f (x)在(0,+)上单调递减，当K a0，即F(x)在(0,+)上单调递增，不合题意，当 a0，得 xIn( a);由 F(x)0 ,得 0x1.In x(1) 若f(x)在(1 ,+a)上单调递减，求实数a的取值范围；(2) 若a= 2，求函数f (x)的极小值.”，In x 1解：(1) f(x) =2 + a,In x由题意可得f (x) W0在(1 ,+a)上恒成立，1 1 1 1 2 1-aw看x-木=木-2 -4. x (1 ,+a), In x (0，+a),1 1 111 1当 一;=0时，函数t =- 2的最

26、小值为一;,In x 2In x 2441 一 1 aw ：，即实数a的取值范围为 一a, ;.44,x(2)当 a= 2 时，f(x)=订一x+ 2x(x1),2一，In x 1 + 2ln xf ( x) =2, )In x ，令 f (X) = 0,得 2ln x+ In x 1= 0,1丄解得In x=或In x =- 1(舍去)，即x= e2 .1 1当 1xe2 时，f(x)e2 时，f( x)0 ,1e11f (x)的极小值为 f(e2) =+ 2e = 4e .2B组一一大题专攻补短练1. (2019届高三益阳、湘潭调研 )已知函数f(x) = In x-ax2 + x, a

27、R.(1)当a= 0时，求曲线y=f(x)在点(e , f(e)处的切线方程；讨论f (x)的单调性.11解：(1)当 a= 0 时，f (x) = In x + x, f (e) = e + 1, f ( x) = - + 1, f (e) = 1 + -, xe、 、 1 1 曲线 y= f (x)在点(e , f (e)处的切线方程为y (e + 1) = 1 + - (x-e)，即 y= -+ 1 x.ee2,1 2ax + x+1 f (x) = - 2ax+ 1 =, x0, 当a0,.f (x)在(0,+s)上单调递增；22ax p _l 1 当a0时，令f(x) =:= 0,则

28、一2ax2 + x 1= 0，易知其判别式为正,设方程的两根分别为 X1, X2(X1X2),1则 X1X2 =_ 亍0,二 X1 00.令 f (x)0，得 x (0 , X2)，令 f (x)0.X(1)求函数f(x)的单调区间；若直线x y 1 = 0是曲线y= f (x)的切线，求实数 a的值.2 设g(x) = xln x x f (x)，求g(x)在区间1 , e上的最小值.(其中e为自然对数的底数)解:a(1)因为函数f (x)=-X 12X所以 f (x) =-a x 1由 f (x)0，得 0x2;由 f (x)0，得 x2,故函数f (x)的单调递增区间为(0,2)，单调递

29、减区间为(一a, 0)和(2 ,+).(2)设切点为(xo, yo),a 2Xo3由切线斜率 k= 1 =3? xo= axo+ 2a,Xoa xo 1由xo yo1=xoxr1 = o? (x2 a)( xo 1) = o? xo= 1, xo= a.把xo= 1代入得a= 1,把Xo=、.Ja代入得a= 1,把xo= , a代入无解，故所求实数a的值为1.2(3) 因为 g( x) = xln x x f (x) = xln x a( x 1),所以 g(x) = In x + 1 a,由 g(x)0,得 xea 1;由g(x)0,得0xea 1,故g(x)在区间(ea 1 ,)上单调递增，在区间(0, ea 1)上单调递减， 当ea 1w 1,即oawi时，g(x)在区间1 , e上单调递增，其最小值为g(1) = o； 当 1ea 1e,即 1ae,即a2时，g(x)在区间1 , e上单调递减，其最小值为g(e) = e+ a a