等差、等比数列的判断和证明

1、等差、等比数列的判断和证明1、等差数列的定义：如果数列 an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的 公差。即 an an 1 d(n N*,且n 2).(或 an 1 an d(n N*)2、等差数列的判断方法：定义法：an 1 an d(常数)an为等差数列。 中项法：等差中项：若a,代b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2an 1 an an 2an为等差数列。 通项公式法：等差数列的通项：a a1 (n 1)d或an am (n m)d。公式变形为：an an b. 其中 a=d, b= d.an an b (a,b为常数)a

2、n为等差数列。 前n项和公式法：等差数列的前n和：Sn n(a1 an)，Sn na. 血卫d。2 2 d公式变形为Sn=An2+Bn其中A=2， B=a1 d .2Sn An2 Bn (A,B为常数)an为等差数列。3. 等差数列的性质：(1) 当公差d 0时，等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d是关于n的 一次函数，且斜率为公差d ;前n项和Snna 血dn2)n是关于n的二次函数且常数项为0.222(2) 若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列，若 公差d 0，则为常数列。(3) 对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首

3、末 两项之和.当m n p q时，则有am an ap aq，特别地，当m n 2p时,则有 aman2ap 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak，ak m,ak 2m，.(k,m n*)成等差，公差为 md若an是等差数列，则 kan+p I （ k、p是非零常数）为等差数列，公差为kd.若an、5是等差数列，则kan pbn （ k、p是非零常数）为等差数列，公差为kdi+pd2 （ di、d2分别为an、bn的公差）Sn,S2n Sn,S3n 5n也成等差数列2和成等比数列；若%是等比数列，且 an 0，则lg an是等差数列.S偶 n 1s奇 -a5构成（5）在等差数列an中，当

4、项数为偶数2n时，sn n（an an / ； S偶S奇nd ；偶 .当项数为奇数2n 1时，S2n i （2n i） a n ； s 偶 s 奇 a i ； s奇 an（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg： ai, as，等差数列，a计a2+a3，a4+a5+a6，a7+&+a9也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列 an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即anq(nn 2)Snai(1 qn)i qai1却=Aqn-A qSn=Aq n-Aan为等差数列an 12、等比数列的判断方法:定义法：q

5、（q为常数），其中q 0,an 0an为等比数列。an中项法：如果a、G b三个数成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项, 即G=、ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。an2=an-i2an+i2 （n N，n 2）an 为等比数列。通项公式法：等比数列的通项：anaiqn 1或a.amqn man=Aq nan为等差数列。当q 1时,前n项和法：等比数列的前n和：当q 1时，Sn na1特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 n项和 时，首先要判断公比q是否为1再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判 断公比q是否为1时，要对q分q 1和

6、q 1两种情形讨论求解。3、等比数列的性质： an 是公比为q的等比数列(1)对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末 两项之积.即当m n p q时，则有am.an ap.aq，特别地，当m n 2p时， 则有 am.an ap2.(2)单调性：若ai 0, q 1，或ai 0,0 q 1则an为递增数列；若ai 0,q 1 ,或a1 0,0 q 1则an为递减数列；若q0，则an为摆动数列；若q 1，则an为常数列.(3)an!( 不等于0) 公比=q；若 bn !公比为q1则殳anbn!公比为q q1/an!公比为1/qan公比为(q(4) 在数列an中，每隔k项

7、(k N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得 数列仍为等比数列，公比为 qk+1(5) 在数列an中，相邻k项的和或积构成公比为qk或qk2的等比数列方法1:定义法1Eg：已知数列an的前n项和为S，且满足an+ 2S S1 = 0 (n2)， a1 =(1)求证：1s为等差数列；求an的表达式.解析：(1)证明 Tanh Sn Sn 1 (n 2)， an+2Srr Sn 1 = 0 (n 2)， Sn Sn 1 + 2Sn Sn 1 = 0.1 1:S* ，Sn S2 (n 2).由等差数列的定义，可知1 1 1Sn是以舀=a1=2为首项，以2为公差的等差数列.1 1由(1)，知S = S + (n 1)d= 2+ (n 1) x2= 2n，当n2时,有 an = 2S Sn 1 =12n n 1；1=1, q=2,不满足上式,当 n= 1, ain= 1,故an =12n n 1n2方法2:等差、等比中项法Eg：已知数列cn,其中cn=2n+3n,且数