第3章典型例题与综合练习

1、经济数学基础第2章导数与微分-x2的单调区间.f (x) =x33函数f5x1 X -13 x .可见,令 f (x)=0，即 xXo3 -3x312是(=，=),因为在X1 =0处f (x)不存在.，得X2二1 .以xi =0,X2二1为分点，将函数定义域分第三章典型例题与综合练习第一节典型例题f(X)= ? X、函数的单调性 例1求函数5成三个子区间：(二,0) , (0,1), (1，*)X 1f (x)30当xu(a,0)时，收 ,f (x)单调增加;x 1 fV0当(0,1)时，Px , f(X)单调减少;f x 1f (x)30当X匸(1,边)时，Ux, f (x)单调增所以，函数

2、f(x)的单调增加区间为(：，和1, ：)，单调减少区间为0,1.二、函数极值例1求函数f(x) =xln x的极值.解：函数 f(x) =xln2x 的定义域是(,二)，且 f (x) n x(ln x 2)令f(x)=0，得X1=e，, X2-1该函数没有不可导点.115经济数学基础第2章导数与微分驻点将函数定义域分成三个子区间：(0,e ),(e ,1),(1j二).f(X)在子区间内的符号变化及极值点情况如表3.1.x(0,e，)_2 e_2(e ,1)1(1,代)(x)+0-0+f(x)4_2e极大值AJ0极小值丿2表3.1 f(x)=xln x的极值情况由表3.1知，Xi 乂是f(

3、x)的极大值点，X2 =1是f(x)的极小值点.函数的极大值是f(eJ=4e，极小值是f(1)=0 .例2欲制作一体积为30 m的圆柱形无盖的容器，其底用钢板，侧面用铝板，若 已知每平方米钢板的价格为铝板的 3倍，试问如何设计圆柱的高和半径，才能使造 价最低？解：设容器的高为h,底半径为r，(见图3 1)，侧面每平方米的造价为a元,(0 r ： 二)图3-1无盖容器总造价为y兀，于是因为V=：h=30.30 h 2 解得 r115经济数学基础第2章导数与微分将h代入总造价函数，得60a y 二 r3a二r260ay = 6a二 r 一 rr；r ；令 y = 0，得:147且r = 147是总

4、121造价函数在定义域内唯一的驻点，所以 r =147是总造价函数y的极小值点，而且也 是y的最小值点当r =1.47时，h =马=4.42nr由此可知，当圆柱的底半径为1.47m，高为4.42m时，总造价最低.三、导数在经济分析中的应用 例1若A，B两种商品的需求函数分别为2 ppqA =3e ，qB =3e试比较两种商品的弹性.如果对两种商品以同样幅度提价，哪一种商品的需求量减少的幅度更大？解：(1)求A种商品的需求弹性.因为qA 6尹，所以EaPqAqA=3eP(-6e)=-2p(2)求B种商品的需求弹性.因为，所以E七心占J(3)当价格为p = P。时，A种商品的需求弹性为Ea(P0)

5、=-2po，b种商品的需求弹性为 E b( P0)= -p0 .因为 Ea(P0)= 2P0 A p0 = E B(p0)所以，对两种商品以同样幅度提价，A种商品的需求量减少的幅度更大.2例2生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)二200 .冈.求：(1)生产90个单位该产品时的平均成本；(2) 生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；(3) 生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本.C（q） 2000.05q解：（i）因为q q；所以，当q = 90时的平均成本为C（90）2000.0590 : 6.729090（2）因为生产90个到100个单位产品时，成本的改变量为

6、. ：C（q）二 C（100）_C（90）=200+0.05 1002-（200+0.05 902）=95产量的改变量为 3=100-90=10：C（q）所以，成本的平均变化率为q9510=9.5（3）因为边际成本为C（q）=1q所以，当q=90时，C （90019=9当q 00时，C（100）=01 100 =10，即生产90个单位产品与生产100个单位产品时的边际成本分别为9和10.概念都反映一定意义下的“平均”但是又有区别平均成本是生产一定C（q）数量产品时的q本题分别求平均成本，在一定范围内成本的平均变化率，在一些点处的边际成本这三个成本平均，它只与产量范围q有关平均变化率粤）是生产定

7、数量产品时再增产q时,成本增加值 C在g范围内的平均，这个比值既与产量q有关，又与增量q有关边际成本是极限意义下的平均，是当增量q 、0时，成本C（q）的瞬时变化率，这个值只与产量q有关.例3某工厂生产某种商品，年产量为q （单位：百台），成本C （单位：万元），其中固定成本为2万元，而每生产1百台，成本增加1万元.市场上每年可以销售1 2 4q 一 q此种商品4百台，其销售收入R是q的函数R（q）=2 ,q 0，4问年产量为多少时，其平均利润最大？解：因为固定成本为2万元，生产q单位商品的变动成本为1 q万元.12L(q) =3-三q -一2q , qE (0 , 4所以成本函数C(q)=q

8、+2, q 0,：=)1 2由此可得利润函数L(q)=3q 2-2, q 0 , 4;- 1 2L (q) =+2L?q) 0又因为2 q，令 L(q)=o，得 q1=2, q2=-2 (舍去).这里，q1=2是平均利润函数L(q)在定义域内的唯一驻点.所以，q1=2是平均利润函数L(q)的极大值点，而且也是L(q)的最大值点即当年产量为2百台时，其平均利润最大.第二节综合练习一、填空题1. 设 f(X)在(a, b)内有 f (x) - 0，在 X X2两点处(Xi,X2(a, b),且人=x2)，f (xj 二 f(x2)= 0，那么 f (x)在(a, b)内.2. 函数f(x)=x+

9、x在区间内是单调减少的.3.函数f (x) Jx33x在区间(0 , 2)内的驻点为X二4. 当x=4时，f (x) =x px q取得极值，贝U p =5. 设函数f (X)在点Xo的邻域(Xo，Xo，)内可导，且f (Xo)=.如果f (x)在点Xo的左、右邻域由正变负，贝U Xo是f(X)的值点.6. 若函数f (x)在a, b内恒有f (x) “，则f (x)在a, b上的最小值为.7. 若某种商品的需求量q是价格p的函数q=ioo2-P，则它的需求弹性Ep=_ .2q_8. 若某种产品的成本函数为 C(q) = 100 + 2，则边际成本为.9. 若某种商品的收入R是销售量q的函数R

10、(q) =200q -0.005q2,则当q=100时的边际收入R(100) =.10. 某厂每批生产某种产品q个单位的总成本为C(q) =7q + 200 (千元)，获得的收入为R (q) =12 q -0.01 q2 (千元).那么，生产这种产品的边际成本为，边际收入为，边际利润为，使边际利润为0的产量q =个单位.1 单调不减；2.卜1,0) 一(0,1 ； 3. 1; 4. -8; 5.极大；6. f(b); 7.一 pln 2 ； 8. C(q)= q ;9. 190； 10. C(q)=7 ； R (q) =12 -0.02q ； L (q) = 5 - 0.02q ； 250二、

11、单选题1. 下列函数在指定区间内单调增加的有().X2(A) sinx； (B) e ； (C) x ； (D)3- x2. 下列结论正确的有().(A) X0是f(x)的极值点，且f(X。)存在，则必有f (x。)；(B) x0是f(x)的极值点，贝U xd必是f (x)的驻点；(C) 若f(X。)，则xo必是f (x)的极值点；(D) 使f(X)不存在的点X0, 定是f (x)的极值点.3. 设函数f(X)=川 b cx d满足b2 _3ac : 0，则该函数在实数域中().(A) 有一个极大值和一个极小值；(B)仅有一个极大值；(C)无极值；(D)无法确定有无极值4. 设函数f(X)满足

12、以下条件：当XX0时，f(X)： 0，则X0 必是函数f(x)的().(A)驻点；(B)极大值点；(C)极小值点；(D)不确定点5. 需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2 p，则需求弹性为Ep=().P- x p3-2p _3-2p(A) 3 一2 , p ； (B) 3一2 p ； (C) p ； (D) p经济数学基础第2章导数与微分6. 某种商品的需求弹性为Ep=-bp(b0) 那么，当价格p提高1%寸，需求量将会().(A)增加 bp； (B)减少 bp； (C)减少 bp%； (D)增加 bp%1. B ；2. A ;3. C ;4. D ;5. B ;6. C三、多选题1. 下

13、列函数f(X)在指定区间内是单调函数的有().(一二,(-o,0) J (0,P)(A)f(x)=cosx,2 2 ; (B) f(x)= x(C) f(x)=x3+x,(一：);(D)f(x)=si nx,(,二);(E)f(x)= lnx, (0：)2. 若X0是可微函数f (x)的一个极值点，贝U()是正确的.(A)X0为f(x)的驻点；(B)x为f(x)的最大值点；(C)f(x)在X。处连续；(D) f (x)在点X0的左、右邻域同号；(E)(X)在点X0的左、右邻域异号3. 若连续函数f(x)在区间a, b上单调不增，则().(A)f(x)在区间(a, b)内没有驻点；(B)f(x)

14、在区间(a，b)内没有极值点；(C)f(x)在区间a, b上没有最值点；(D)f(x)在区间(a, b)内没有最值点(E) f(x)在端点x = a处取得最大值1q = 20 _ p4. 若某商品的需求量与价格之间的关系为20 ，贝9().(A) 价格关于需求量q的函数为p=400-20q ；1R(q)=(20_ q) q(B) 该商品的收入函数20(C) 该商品的边际收入R(q)=400 一仙；, 1q =-(D) 该商品的边际需求20#经济数学基础第2章导数与微分(E)该商品的需求弹性丘卩P400 - p1251. BCE ;2. ACE ;3. BDE ;4. ACD;四、配伍题1. 设

15、f(x)是单调可微函数，试确定满足条件的函数.(A) f(x)单调增加,f (x)不是单调的；f(x)=x2, x(=,0)(B) f(x)单调增加，f (x)单调减少； f(x)=2x+sinx, x (C)f(x)单调减少，f (x)单调增加； f(x)=lnx, x(,=)2. 讨论函数的极值2x -ln(1 x ), y(A)y=(x-1) 2 一 *1 x ;在y不存在点处取极大值4(x-2)5, y(B) y=1-2x -3x 22 ,y(C) y= (x 1)3.确定函数的极值45x-2 ;在驻点处取极小值5x -7(x 1)3 ;驻点不是极值点y=0； (B)y=x(1+ x)

16、；在 x=1 处有极大值 y=3;(A)y=(x-1) x；在x=1处有极小值23(C)y=(x)(2x+1):无极值4.求函数的最大值: 2 _(A)y=100-x , x -6,8: 1；x -1(B)y= x 1 , x 0,4: 10；经济数学基础第2章导数与微分1. A；B；C；2. A；B；C；3. A；B；C；4. A；B；C；五、是非题1. 若函数f(x)在区间(a, b)内恒有f(x)0,则f (x)在a, b内单调增加.()2. 若导数f (x)在(a, b)内单调减少，贝U函数f (x)在(a, b)内必是单调减少的.()3. 若xo是f (x)的极值点，则一定有f(xo

17、)=O.()4. 设函数在区间a,b上的单调，则在a,b的两个端点处取得最大值或最小值()._2 p5. 某商品的需求函数是q=ae (a为常数)，则该商品的需求弹性是价格p的线性函数.()C(q)6. 生产某种产品的成本函数为C(q)，则其平均成本为：q .()7. 生产某种产品的边际利润L (q。)= 0，则产量为q时将不获利.()8. 某种商品的收入函数为R = 104q-04q，则当销售量q =5时，边际收入R(5)=100().1 .V； 2. X； 3. X； 4. V； 5. V； 6 . X； 7 . X； 8 . V；六、计算题1. 求函数y=2x3x2 -2x+14的单调区

18、间.2. 确定函数f(x)=x3-12x的单调减少区间.3. 设 f(x)=ln(1+x2), x 0,)(1)确定f(x)在所给区间的单调增减性；求f(x)在给定区间上的最小值.4. 已知x1 -2,x2 -1都是函数y=aln x+bx2+x(a 一 0)的极值点，求a, b的值.5. 求函数f(x)=sinx+cosx在区间0,2上的最大值和最小值.1.单调增加区间为(-二，-1，2：)，单调减少区间为一,_q 求量将会减少 40% 2. (1) R(q)=pq =(10- 5 )q】；2 .单调减少区间为一2,2】;3 . (1) f(x)在【，F)上是单调增加的；(2) f(x)在x=0处取得最小值，即f(0)=l n( 1+0 2)=0 ；a _ 2 b _ 1值为5 二 f(J4.3 6 ； 5 .函数f(x)=sinx+cosx在区间0,2；T上的最大值为129七、应用题1. 某商品的需求量q关于价格p的函数q(p) = 1200e-2p,求：(1)需求弹性Ep； (2)当价格批=20元时，再涨价1%其需求量将会发生何变化？2. 某商品价格p (百元/百台)与需求量q (百台)之间的关系是5p+q-50=0.(1)求收入函数&q); (2) q为多少时，R(q)最大？ (3)求需求对价格的弹性Ep.3. 某厂每生产一