第三章--光学成像系统的频率特性

1、第三章光学成像系统的频率特性习题3.1/ 一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过函数:1 1 cos r2 circ =2 l换因子e2f比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会式中，r . x2 y2，l为圆形衍射屏的半径。问:（1）（2）（3）解：这个屏的作用在什么方面像一个透镜？给出此屏的焦距的表达式。若用它做成像元件，有什么缺点？（1）此衍射屏的复振幅如附图3.1所示，也可把它表示为如下的直角坐标形式：丄11 ix2y21 i x2y2vx2y2tx,yexy_eixycirc2 44l式中，中括号内的第一项仅仅是使直接投射光的振幅衰减，其他两个指数项与透镜相位变聚球

2、面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因；2 2表明，该屏具有半径为l的圆形孔径。子 x y 子 circ -l把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子ei 上(x2fiy2)作比较，便得相应的焦距，即1 i x2 y2对于一 e项，令4k，则有f12f12 2i x y对于一 e项，令42f10,相当于会聚透镜。-0,相当于发散透镜。1对于丄这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为f3。2（3）由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。例 如对无穷远的点光源，将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像，而另一个像在无穷远

3、（直接透射光）。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若 用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物 体来说，严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长成反比。若用白光作光源,则在像面上可以看到严重的色散现象。3.2 试由式（3.1.10）直接导出式（3.1.11）。解：令P（x,y） = 1,将式（3.1.10）积分号内各指数因子展开，利用d2 f，消去.k /i (2fe22）后，有:gxy)1e2ddf(,2 2k )d(x y ),e2f dddd2fxd1并应用公式:(x2 y2)f()i2ed1i 2e(fx2f；及缩

4、放定理,g(x, y).k2 ed&2y2)f（,)e2)ex 2y 2d1 ()2 ()2d1 f d1 f d d1 却x2 y)ei ff(i d)ef2(x2y2) i2e1(1 )(X2f fei fy2)f(i2 (2 上,)e f f再令x/ f ,fyy/ f即得式（3.1.11）。透镜直径为5 cm，焦距为20 cm， 的地方，以透镜轴为中心放着一个物体，其振幅透过率为：3.3/用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。 在透镜后面10 cmt x,y1 x y-1 cos2 f0x rect ,-2 L L假定 L=1 cm, f0100线/cm,大致画出焦平面上沿 X轴

5、的强度分布，标出各个衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。解：/由附图3.2可知，物平面被照明光斑的直径为2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其复振幅分为:Uf Xf,yf最大线度（对角线方向）为2.5cm，故物体可以被完全照明。后焦面上的i d1i X2丄 e2d fi dFt d f L2 sincL d 2x,ysinsincL *2sincL* f。2强度分布为:fL2这里因f0Xf ,yf2 d2.2sine.2 LXf sine dLyf1 . 2 sine 4Ld Xfdf01 . 2 Lsine -4 dXfdf)2，故未考虑3个sinc函数间的重叠

6、。代入题设数据，得:I(Xf ,yf)21.2yfsin c1010的单位取为10】sinc2丄片10410sinc2 丄 Xf 10410cm 。 在x轴上两个级分量Xfdf0103cm ；零级分量第一个零点的位置为中心离原点距离为：d;两个一级分量与中LQ pl央亮斑的的宽度相同，都是 - 20 cm,而其幅值只为零级分量的1-4。如附图3.3所示。&牡 iri附图3.3归一化强度分布3.4将面积为10 mm 10 mm的透射物体置于一傅里叶变换透镜的前焦面上作频谱分析。用波长0.5 m的单色平面波垂直照明，要求在频谱面上测得的强度在频率140 线/mm以下能准确代表物体的功率谱。并要求频

7、率为140线/mm与20线/mm在频谱面上的间隔为30mm,问该透镜的焦距和口径各为多少？解：取面积为10mm 10mm的透射物体的对角线方向为 x轴。因要求在140线/mm以下 的空间频率成分不受到有限孔径的渐晕效应的影响，故透镜的口径D应满足条件：140p丄2 2fD 10 22 f按题意，要求：140 xf1f; 20xf2f; 30 Xf1 xf2综合式、求得：f 500mm;D84.2 mm3.5/一菲涅耳波带片的复振幅透过率为:t r 1 sgn(cos r2) circ j如附图3.4所示。证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜，并确定这些焦距的大小。tr)1附图3.4习题3.5

8、图示解：/由sgnx函数的定义可知：1 1 2 sgncos r2 21 cos r2 0 或 2m r2 2m 2 2、30 cos r2 0 或 2mr2 2m 一2 2式中m为整数。，显然上式是u的周期函数，周期为2，故可展成傅里叶级数:其中,Cn遂有:12sgncosun2 .einudu2Cneinusin n 22 sgncos r2sin n 2einr22上式表示一个方波函数，最后求得复振幅透过率为:r circ -lsin n 2iner2或以直角坐标表示成:tx,ycirdlsin n 2inex2上式中的指数因子类似于透镜的位相变换因子，遂有:fn2n1,3,5,换言之，

9、可以把该衍射屏看作一个具有多重焦点的透镜， 除外），sin n 20，故当用单色平面光波垂直照明时,焦距由式确定。透射光中不包含偶数时（零n为偶数的成n取负值时，fn为正，是分。对于n为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。会聚球面波，它可得到实焦点；当 n取正值时，fn为负，是发散球面波，它可得到虚焦点。3.6 一物体的振幅透过率为一方波，如附图 3.5所示，通过一光瞳为圆形的透镜成像。透 镜的焦距为10 cm,方波的基频是1000线/cm，物距为20 cm，波长为10 4cm。问在以下两种情况下：（1）物体用相干光照明时；（2）物体用非相干光照明时；透镜的直径最小应为多少，才会使像平面

10、上出现强度的任何变化？110匚J附图3.5习题3.6图示22221x0解:按题意，系统的截止频率应大于物函数的基频f。遂得:（1）相干照明时,九。由透镜定律算得di 20 cm。故由 fcI2 di求得l 2 dj4 cm。（2）非相干照明时,才f1,故求得Idi f12 cm。3.7长为解:一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是边长为-的正方形不透明屏，试画出2由OTF的几何解释，有：I的正方形，若在光瞳中心嵌入一个边H。fx，0的函数图像。式中0为光瞳面积,应分5个区间来考察,di f：He fx,0fx,0.fx,0为光瞳重叠面积。参阅附图3.6。-(见附图3.6(a)4fx,0I dj f

11、x II2芥，光瞳重叠面积则4Ho fx,0fx,0di fdjI fxdi fx2（见附图3轮）旦If Ifxl/ f。fx,0 ldi fx2Ho fx,02 di|fx|2 13 l 3fx|/2f。3di fx1(见附图 3.6(c)4fx，i difx 2 异1dfx1Ho fx,0-33一Idi | fx| l (见附图 3.6(d)4(fx,0)1(1 dilfxl) I2dil|fx|4Ho(fx，O)3 (1 |fx|/2 fo)3dfx I这时fx，00，从而 Ho fx，0 。综合上述5个区间的情况，画出Ho fx，0的函数图形如附图 3.6(e)所示。附图3-6 习题3

12、.7图示3.8 一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是直径为I的圆，在出瞳面上用不透明的半圆嵌入光瞳，求此系统的 H0 fx,0和H0 0, fy的表达式。解：Ho fx,0-arccosIdi fdi fx I其他22 di|fy|2 diarccos!IIfy儿2叫fy22di|fyH。 0,fyI0其他3.9 /改变一维理想透镜的光瞳函数，使它的振幅透过率从中心到边缘线性地从1减小到0,求这种透镜的光学传递函数。解：/设一维透镜的口径为2a，按题设其光瞳函数可写成1|x a0x a其他根据光学传递函数的计算式（3423）,得Pdj fx P dH 0 fxP P d其中0fx的计算，可以分区

13、间进行，如下所述（参看附图3.7）。附图3.7fx的计算当0 di fxa时difx P d0adi fx1 - a1diafxddif0x1 1 adifx daadi fx1-1i xddi fxaa232di fx1di fx-a23a2a233di f3di fH 0 fx12a4a当a di fx 2a时Pdi fx P da1difx adifxaa1 1 ddifx a a adi fxHo fx2difx22 difx23 dif2 adifx26a2difdif 3a4a3di fxa当di fx 2a时fx0，从而Ho fx0最后画出光学传递函数的曲线如附图3.8所示。附图

14、3.8 Ho fx曲线3.10 一个正弦物体的振幅透过率为:t x 1 cos2 f0x2用相干成像系统对它成像。设物的空间频率f0小于系统的截止频率，并且忽略放大和系统的总体衰减。（1）若系统无像差，求像平面上的强度分布；（2）证明同样的强度分布也出现在无穷多个未聚焦好的像平面上。解：（1）设用单位振幅单色平面波垂直照明，则透过物体的光场为U x, y t x，由于物的空间频率fo足够低，可以通过系统，且忽略放大和总体衰减，又不考虑像差，故得像平面上复振幅分布为:Us1 1 cos2 foxi2强度分布为:1 21 cos2 foxi2 0 i（2）如附图3.9所示，设在像面与离焦面之间应用

15、菲涅耳衍射公式，则有:.ki -2 zXi, yi e 2zUj Xj,yieikzi zikzecos4 f0xiXi2 Xjyi2yidxidyi.k 2 iXiUi Xi,yie2z2 yi应用卷积定理,F U(Xi,yJF12(1 cos(2 f0Xi)(fx,fy)1 (fx f,fy)4 (fx f。, fy)所以Ui x,yikze ikezXi y iikze1 ikz-e2X, fy ezf01 fx f0,fy再作逆傅里叶变换，便求得离焦面的光场分布为:Uixi,Yi1 ikze2zf02cos 2f0XiZf22nn 0,1, 2,时,zf 02XiVi1 ikz-e2c

16、osf0XiIiXi,y i由此可见，同样的强度分布也出现在Ui Xi, yiz 2n/cos4 f0xif。2 n 1, 2,处。3.11 / 一个余弦型振幅光栅的振幅透过率为:1t x01 cos2 f0X0放在一个直径为I的圆形会聚透镜（焦距为 f）之前，并且用平面单色光波倾斜照明。平面波的传播方向在 x0Oz平面内，与z轴夹角为，如附图3.10所示。（1）求通过物透射的光的振幅分布的频谱。（2） 假定d。 di 2f，问像平面上会出现强度变化的角最大值是多少？（3） 假定用的倾斜角就是这个最大值，求像平面上的强度分布。它与0时相应的强度分布比较，情况如何？附图3.10习题3.11图示i

17、kx0 sin解：/ （ 1）倾斜单色平面光波入射，在物平面上产生的入射光场为Ae，则物平面的透射光场为:ikx)sinikxosin1U0S0Aetxo，yoAe2 1 C0S2 foX0A2ikx0sin e1 i2 X。sin e2f01 i2 x0 f0 sin e2其频谱为：,Af sin1r r sin1 rr sinUo x),Y02fx,fy2fxfo，fy2 fxf0由此可见，当光波以角倾斜入射时，物频谱沿fx轴整体平移了 sin /距离。（2）物的空间频谱仅包含 3个频谱分量，其中每一频谱分量代表某一特定方向的平面波，如果只让一个频谱分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲

18、使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。选择最低的两个频谱分量使其在系统通频带内，角才能取尽量大的值（见附图 3.11）。于是要求：sinfc（用相干光照明）sinl2 dil2 di上列两式联解得:所以附图3.11习题3.11图示f0sin2dil2dimaxarcsin2diarcsi nl4 f（3）当max时，只有最高的那个频谱分量不能通过系统，因而相干传递函数可写成:当 fxf。sinsin故像的频谱为:Ui fX，fyf -f2 xfosin f,Ty像面复振幅分布为:U i Xi , yiUiA exp2i2 xii2f0Xi光强分布为:Ii Xi, yiUiXi,yiA

19、2cosfoXi0时，由题设条件可知像与物的光场分布一样，故强度分布为:Ii X,yiARi2cos 2 foXi2 2A2 32 cos 2 foXi4 21 上 cos 4 foXi2比较示，可知,max时条纹对比度较差，且没有倍频成分。I，透镜的焦距和成像倍3.12如附图3.12所示，衍射受限非相干成像系统，光阑缝宽为率分别为f和M 1，照明光波长为，如果物体是振幅透过率为t xonXo nd 的理想光栅，试求：（1）像的强度分布；1o 4cm，I 2cm， f 5cm，试定性画（2）设光栅常数d o.o1mm，出像强度分布图。fir附图3.12 习题3.12图示x解：（1 ）首先确定系统的光学传递函数。由式（3428）知 H0 fx，其中2fc p 27200周/mm。采用单位强度的平面波垂直照明光栅，几何光学理想像的强度分布I g就等于物的强度透过率输入的归一化强度频谱为:I g XoXondn因-100周/ mm，故归一化输出频谱为: d11 1Ii fxIgfx Hfxfxfxfx2dd略