第三章李雅普诺夫稳定性理论汇总

1、/r/r 弟二早李雅普诺夫稳定性理论3.1稳定性基本概念3.2李雅普诺夫意义下的稳定性3.3李雅普诺夫第一法3.4李雅普诺夫第二法3.5线性定常系统渐进稳定性判别法教学要求：1. 正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念2. 熟练掌握李氏第一法，李氏第二法3. 掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法重点内容：玉矗普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。:要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被

2、打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。:稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。:经典控制理论稳定性判别方法：代数判据, 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据:非线性系统：相平面法（适用于一，二阶非 线性系统） 1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定 性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。:应用：自适应，最优控制，非线性控制等。主要内容：李氏第一法(间接法):求解特征方程的特征值李氏第二法(直接法):利用经验和技巧 来构造李氏函数3.1稳定性基本概念1 自治系统

3、：输入为0的系统i =Ax+Bu(u=O) 2初态 x =f(x,t)的解为 x(f9xQ9t0) x(tQ9xQ9tQ)=兀。二 初态3 平衡状态：匕=/O = 0 x -系统的平衡状态 a线性系统 x = Ax xe RnA K n)* yp:A.x e = 0 n 乞=0A奇异：血严0=有无穷多个乙b.非线性系统丘=/（亿，J = o =可能有多个乙0i =00L-e31乙=001eg X.3=xt +- x2令 xl = 04. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。3.2李雅普诺夫

4、意义下的稳定1 李氏意义下的稳定如果对每个实数 0都对应存在另一个实数/（,） 0满足|卜0 -卩卜（”0）的任意初始态兀0山发的运动轨迹x（r；x0,z0） 在（8 都满足:|x（r;x0,r0）- xj| r0则称亠是李雅普诺夫意义下稳定的。 时变：5与/。有关 定常系统：5与。无关，兀是一致稳定的。 注意：II II -向量范数（表示空间距离） =欧几里得范数。2渐近稳定1）是李氏意义下的稳定2）lim|x（Z;x0,Z0）-xJ|- 05与心无关一致渐进稳定3.大范围内渐进稳定性对 Vx0 e s（5）5 - oo都有lim |x（r；x0,r0） 一 xj| t 0/-oO 1111

5、初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。S（5）f8, 制T8 =叫大范围稳定:线性系统（严格）：如果它是渐进稳定的，必 是有大范围渐进稳定性（线性系统稳定性与初 始条件的大小无关）。:非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛叫或其附近。当5与r。无关大范围一致渐进稳定。必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态叫4.不稳定性：不管有多小，只要s（5）内由兀。出发的轨迹超出S（）以外，则称此 平衡状态是不稳定的。线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定只说明存在局发散的轨迹。至于是否趋 于无穷远一S（）域外是否存在其它平衡状态。 若存在极限环

6、，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。3.3李雅普诺夫第一法(间接法) 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1.线性定常系统稳定性的特征值判据：x Ax x(0) = x0 r 01)李氏稳定的充要条件：Re(z) 0 i = 192, h即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。2.非线性系统的稳定性分析：假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。设非线性系统状态方程：无=fM /(x)-非线性函数在平衡状态化=o附近存在各阶偏导 数，于是：X =f(xe)-(兀一化)+ g(x)lx=x其中：g(x)-级数展开式

7、中二阶以上各项之和)如1Sf:dx2dxTdfndx2dxn上式为向量函数的雅可比矩阵。/=/. 了2 fSAx = x xX = %! X2 令 Ax = x - f(xe)x=xr则线性化系统方程为： 4 = A兀结论：若Re(2.) 0 Re(A.) 0 经丿力能量等十恒定，但不维持在该状态。:定理3：若(1)V(x,r)IE定；(2) V(x,t)负半定；(3) vx(z；x0,r),z在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳 定的。说明：X h 0 V (x.t) = 0系统维持等能量水平运动，使x(r；x09r0)维持在非零 状态而不运行至原点。:定理4：若(1)v(x,

8、r)正定；(2) V(x,t)正定则原点是不稳定的。厂说明：V(x,t)正定= 能量函数随吋间增 大，x(Z；x00)在七处发散。k原点不稳定負廳箕華定宀1非线性系统不一定:推论仁 当y(x.t)正定,v(x,t)正半定， 且Ux(f；兀0昇),门在非零状态不恒为零时，则 原点不稳危。:推论2： U(m)正定，V(xj)正半定，若X 0 , V(x,r)O ,则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。几点说明：1）*5选取不唯一,.但没有通用办法（兀昇） 选取不当，会导致不定的结果。2）这仅仅是充分条件。V （x,Z）单调我减（实际上是我减振荡）李氏第二法的步骤：1）构造一个U（jM）二次型

9、；2）求V（xj）,并代入状态方程；3）判断V（x,r）的定号性；4）判断非零情况下卩；%0昇）,门是否为零。渐进稳定 =李氏稳定I不稳定令 V(x,z) = 0 若兀h 0, v (x,z)三若仅x = 0, V(x,r)0成立=李氏意义下稳定=0成立 渐进稳定例仁己知非线性系统的状态方程为：Z22Xi = X2 K (xl + x2 )X2 = X2(Xj2 + X；)试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：令2 O =1x2 = 0r = 0= 0原点是唯一平衡点设 V (x) = X,2 + xf 贝U V (x) = 2x xi + 2xo X2/. V (x) = 2(%j2 +

10、x)2V (x)负定jv H 0 V (x) 01x2 = 0 I x9 = 0 川原点是平衡状态。.设 V (x) = x： + x； V (x) = 2x1则：厂lxiVv o）负半定H 0 ,心 H 0 V (x) = 0其它 V(x) 0)解:乂2 = _0由丁兀1 =兀2 = 0= X2 = 0则原点是平衡状态V (x) = X： + kxV (x) = 2心宀2心宀V(x)=正(负)半定故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。定理3例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。X =X2 = Xj +解：Xi = X2 = 0= X2 = 0 即 i = 设 V (x) = Xj2 + X；贝

11、Ij V(x)= 2xl可见u(x)与无关，故非零状态(如HO x2 = 0)有U(x) = 0,而对其余任意状态 有 V(x) 0故V(X)正半定。令 V (x)三 0 = x2 = 0, x = 0即非零状态时少(兀)不恒为零，则原点不稳 定即系统不稳定。冷论1 3.5线性定常系统渐进稳定性判别法1.设系统状态方程为：x = AxA-非奇异矩阵厂=0为唯一平衡状态。设选取如下的正定二次型函数V(x芮李氏函数V (x) = xT Px 将 x = Ax 代入： 贝IJ：V (x) = XTPx XTP X = XT (ATP -h PA)x令 Ar P + PA = -Q v (x)= 一兀

12、由渐进稳定性定理1,只要Q正定（IPv（x）负定),则系统是大范一致渐进稳定。系统x = Ax大范围渐进稳定的充要条件为:给定一正交实对称矩阵Q,存在唯一 的正定实对称矩阵P使A PPA = -Q 成立, 则xTPx =讽勇统的一个李氏函数。方法1：给定P Q V（x）选取不定 Q不定。 给定正定Q P X Px = V （x）Q单位阵一 p的定号性方法2： Q取正半定（定理2）允许单位矩阵主对 角线上部分元素为零负半定。V(x)J例:x =_01 -1 -1xxe = 0解：选取 V(x) = xTPx A1 P + PA = -Q0 -iirpu P2i rpxx P2】o -门0 1-2 戸2 = -1Y Pw - P2 - ”22 = J 212 _ 2#22 = _12r Pn叮二 2P2P 22J_30Ph =2PmP2P12P12P正定 V = X1 Px32|0121_2是大范围一致渐进稳定(3x + 2x宀 + 2x) 0V =（昇+对）2.线性定常离散系统渐进稳定性判别 设系统状态方程：+ 1)=兀伙) 其中非奇异阵，讥=0是平衡状态。 设 Vx(k) = xT(k)Px(k)AVx(k) = Vx(k + l)-Vx(k)=xT (k + )Px(k + 1) xr