立体几何与空间向量知识点归纳总结

1、立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1） 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形， 且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。（2）棱锥的定义：有一个面是多边形， 其余各面都是三角形， 由这些面围成的几何体叫棱锥。棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。棱台的性质：上下底面平

2、行且是相似的多边形；侧面是梯形；侧棱交于原棱锥的顶点。（4） 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。圆柱的性质：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。,旋转一周所围成的几何体叫（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 圆锥。圆锥的性质：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点； 侧面展开图是一个扇形。(6) 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴，旋转一周所围成的几何体 叫圆台。圆台的性质：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是 一个扇环形。(7) 球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，

3、半圆面旋转一周形围成的几何体 叫球。球的性质：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1) 几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。(2) 特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，h为斜高，I为母线)S直棱柱侧面积二chs圆柱侧二 2 rhS正棱锥侧面积绻锥侧面积二二rl2台侧面积(r R)二 ,S正棱台侧面积(Ci C2)hS圆柱表二2二r r lS圆锥表二_：r r 1S圆台表二: r2 rl RlR2v圆锥=1 二 r2h(3) 柱体、锥体、台体的体积公式2i圆锥v柱二Shv圆柱二 Si r h 33ShV台(S . SS S)hV圆台3

4、少2rR R)h(4) 球体的表面积和体积公式:V 球=3 二r3； S球面=4 r23、平面及基本性质公理 1 AE|,BE|,AG,BEan |uc(公理2 若P三：；，P :,则:-:=a且P :-公理3不共线三点确定一个平面（推论 1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行 直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4）异面直线5、异面直线（1） 对定义的理解：不存在平面：，使得a二用且b二:（2） 判定：反证法（否定相交和平行即共面）判定定理：p5（ 3）求异面直线所成的角：平移法即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形 I a b I二向量法 cost -|cos：a

5、,b |（注意异面直线所成角的范围（0, |a|b|2（4）证明异面直线垂直，通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；向量法 a _ b = a b =0（5）求异面直线间的距离： 大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算6、直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系2、直线与平面平行的判定b 二二 |（1）判定定理：b/a = b/r （线线平行，则线面平行 R7）a（2）面面平行的性质:a 一：（面面平行，则线面平行3、直线与平面平行的性质a/ ， - a/b （线面平行，则线线平行P18）:-:=b 4、直线与平面垂直的判定(1) 直线与平面垂直的定义的逆用一 =

6、I _aauaj丨丄m, I丄n(2) 判定定理： m,nua =1丄a (线线垂直，则线面垂直 P23)m c n = Aa/b(3)a丄口 ( P25练习 第6题)b丄a Ja丄0(4)面面垂直的性质定理：-：= I = a_ ：(面面垂直，则线面垂直P51)a 汀二，a _ I(5)面面平行是性质:5、射影长定理 6、三垂线定理及逆定理线垂影：=线垂斜7、两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系相交和平行8、两个平面平行的判定(1)判定定理:a/ ： ,b/:a,b： ,ab 二 P/-(线线平行，则面面平行P19)I二|(2) - : /-垂直于同一平面的两个平面平行I -:(P21

7、练习第2题)(3) / ,二 鳥/ 1平行于同一平面的两个平面平行9、两个平面平行的性质(1)性质 1 ： ： / ：, a = a ：(2)面面平行的性质定理：匕 号 二a/b (面面平行，则线线y =a, ：二 b平行F2o)（3）性质2:- / 一：，丨.=丨匸10、两个平面垂直的判定与性质（1） 判定定理：a丨：，a二汽丫卅.（线面垂直，则面面垂直P50）a丄B（2） 性质定理：面面垂直的性质定理：oc B=l卜na丄P （面面垂直，则线a u a, a丄丨面垂直P51）12、空间角：异面直线所成角（9.1 ）;斜线与平面所成的角（0, ）（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上

8、的射影，关键是作垂线，找垂足（2）向量法：设平面:-的法向量为n，则直线AB与平面所成的角为V，则八(0,-)sin J 彳 cos ： AB,n = 1 AB n 1I AB| n|(3) 两个重要结论，P26 ,例 4 P28 第 6 题最小角定理 P48 : COST -cosycos13、空间距离：求距离的一般方法和步骤（1）找出或作出有关的距离；（2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）求点到面的距离常用的两种方法（1）等体积法一一构造恰当的三棱锥；| ab n |（2）向量法一一求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d二|n|直线到平面的距离，两个平行平

9、面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） 求法：法1找出两异面直线的公垂线段并计算，法2转化为点面距离n为垂直于两异面直向量法d二1 AB n 1 （ A , B分别为两异面直线上任意一点,|n|线的向量）注意理解应用：I? =m2 n2 d2 _2mncos二、空间向量知识点C1、空间向量的加法和减法：1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即：在空间任取一点,4 T 呻44O，作 0Z 二 a，用-b，贝卩二 a - b .2求两个向量和的运算称为向量的加法： 在空间以同一点0为起点的两个已知向量a

10、、b为邻边作平行四边形门二cm ,则以0起点的对角线0C就是a与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的 平行四边形法则.2、实数，与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运 算.当 .0时， a与a方向相同；当一：0时， a与a方向相反；当，=0!时，a为零向量，记为0 .鳥的长度是a的长度的卜|倍.3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a , b b=0 , ab的 充要条件是存在实数，使ab.5、平行于同一个平面的向量称为 共面向量.6、向量共面定理：空间一

11、点P位于平面丄三C内的充要条件是存在有序实数对X , y，使二夕昱厂C ；或对空间任一定点0 ,有 x 厂C；或若四点m ,二，三，c共面，则T T T TC）:x 一 yc）z3 C X y1 z 二7、已知两个非零向量a和b ,在空间任取一点0 ,作芒二a，左-b , 则一门m称为向量a，b的夹角，记作a,b .两个向量夹角的取值范 围是：a,b三o,二IIA亠呻TTA *8对于两个非零向量a和b，若a, b ，贝卩向量a , b互相垂直，记作a _ b.9、 已知两个非零向量a和b，则a bcosd,b淋为a , b的数量积，记 作a b .即abcos（a,b .零向量与任何向量的数量

12、积为o.I.10、a b等于a的长度0与b在a的方向上的投影 b cosa,b的乘积.11、若a, b为非零向量，e为单位向量，则有;2 a b 二 a b = 0 ;,a a 二,a = -a a|jb(a与b反向)(4 )C 0洛a b12、空间向量基本定理：若三个向量a, b, c不共面，则对空间任 一向量p，存在实数组汶y, z：，使得xa yb zc .13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.T T 714、设e , e2, e3为有公共起点o的三个两两垂直的单位向量（称它 们为单位正交基底），以；，d , e3的公共起点。为原点，分别以；, e2 , e3的方向为x

13、轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .则对于空间任意一个向量p , 一定可以把它平移，使它的起点与原点C) 重合，得到向量门二P .存在有序实数组X, y, Z?,使得 P= x；e+ 1.把x , y , z称作向量P在单位正交基底e ,:，:下的坐标，记作phx,y,z .此时，向量p的坐标是点P在空间直角坐标 系Cxyz中的坐标x, y,z .15、设 ：vx1,y1,z1 , bhX2,y2,Z2 ,则1 a b =XiX2,%y2,乙Z2.2 a-b =人-x?,% - 丫2,乙-z?.4 a b二乂必-y2 z .5 若a 、 b 为非零向量，a _ b a b =

14、0 = 为 x2y1y2z1z2 = 0 ./. al/b8 cos a,b 二 x2 - y12 - z2 x；y| z|X1X2Y1Y2Z1Z29 z %,%,乙，三二 X2, y2,Z2 ,贝S d16、 空间中平面:的位置可以由:内的两条相交直线来确定.设这两 条相交直线相交于点o,它们的方向向量分别为a , b. m为平面上 任意一点，存在有序实数对x,y使得C)? - xa yb ,这样点0与向量a , b就确定了平面:的位置.17、直线I垂直，取直线I的方向向量a，则向量a称为平面的法 向量.18、若空间不重合两条直线 a , b的方向向量分别为 a , b，则 a/ b= a/ b=a bi 二 R j, a _ b ：= a b ：= a b = 0 .19. = a_n a n 0,a _ ： ：= aa / n ：= a = n .20、若空间不重合的两个平面:-,1的法向量分别为a , b，则】/ - = a b 二a b= a_b：=ab 二 0 .21、设异面直线a , b的夹角为方向向量为a , b，其夹角为=,贝卩有 cost = cos =22、设直线I的方向向量为I，平面的法向量为n , I与所成的角为与n的夹角为，则有sin八COF23、设ni , n2是二面角-I - 的两