空间中的直线与平面1空间中的平面平面方程式1过点Px0y

1、第2章 空間中的直線與平面852- 4空間中的平面一平面方程式1. 過點P ( xo , yo , zo )，且法向量n = ( a , b , c)之平面方程式為a ( x- xo )+ b ( yyo ) + c ( z zo ) = 0。 配合課本 P. 1062. 設a、b、c不同時為0,則平面E： ax+ by+ cz+ d= O之一法向量為n = ( a , b , c )。配合課本P. 1073. 設平面E之x、y、z截距分別為a、b、c,其中abc和，則平面E之方程式為1求通過點P ( 3， 2,1 )且以n = ( 1 , 3 -1 )為法向量之平面方程式此平面方程式為1.

2、( x 3 ) + 3 ( y + 2 ) ( z 1 ) = 0即 x + 3y z + 4= 0卜演練 1.設P ( 2,3,4 )在平面E上的投影點是Q ( 3,5 , 1 )，求平面E之方程式。平面E之一法向量是PQ = ( 1 , 2， 3 )，又過點故其方程式為(x 3 ) + 2 ( y 5 ) 3 ( z 1 ) = 0即 x+ 2y 3z 10 = 0E設P ( 4,5,5 ), Q ( 2 ,1 , 3 )，求PQ之垂直平分面方程式。爲PQ之垂直平分面通過PQ之中點(3,3,4 )又其一法向量為 PQ = ( 2， 4， 2 )/( 1 , 2 , 1 )故其方程式為(x

3、3 )+ 2 ( y 3 )+ ( z 4 ) = 086 高中數學(三)講義*即 x + 2y + z 13 = 0演練 2.設P ( 1 , 3,5 ), Q ( 3， 1 , 1 )，求PQ之垂直平分面方程式。-PQ之垂直平分面通過PQ之中點(1 , 1 , 3 )又其之一法向量為 PQ = ( 4， 4， 4 )/( 1 , 1， 1 )故其方程式為(x 1 ) ( y 1 ) ( z 3 ) = 0即 x y z+ 3 = 0第2章空間中的直線與平面 87/I3已知平面E包含A ( 1 , 2,0 ), B (-2 , 1 - 1 ), C ( 2,0,1 )三點，求平面E的方程式。

4、O設平面E之一法向量為n = ( a , b , c )，則 n丄AB , n丄AC故 n . AB = 0, n . AC = 0,即cc a , b , c ). (-3，- 1，- 1 )= 0 3a-b- c= 0 n *J a , b , c ). ( 1，- 2 , 1 )= 0a-2b + c = 0.a 2b=-32 X2+ 得 7a=- 3c, a = - 7 c, X3 得 7b= 2c, b= 7 c32故 a: b: c=- 7 c: 7 c: c = 3: ( 2 ): ( 7 )取 n = ( 3，-2，-7 )所以平面 E 的方程式為 3 ( x 1 ) -2 (

5、 y- 2 ) - 7 ( z-0 )= 0,即 3x-2y-7z+ 1 = 0卜演練 3.已知平面 E 包含 A( 1,1,2), B(2,0, - 3), C (5, 1 ,-2), D ( 1，- 1 ,k)四(1) 求平面E的方程式。 求k值。0(1) AB = ( 3，- 1，-5 ), AC = ( 6,0，-4 )設平面E之一法向量為 n = ( a , b , c ), 則 n JuAB , n _LACrr3a b 5c = 03a b= 5c 即 n . AB = 0, n . AC = 0,故？6a 4c = 0 3a= 2c Jh2由得a=亍c,代入得b=-3c皿 2故

6、 a: b: c = 3 c: ( 3c ): c= 2: ( 9 ): 3取 n = ( 2，-9,3 )所以平面 E 的方程式為 2 ( x+ 1 )-9 ( y- 1 )+ 3 ( z- 2 ) = 0, 即卩 2x-9y+ 3z+ 5= 0(2) 因 D (- 1，- 1 , k )在平面 E 上，故 2 (- 1 )-9 (- 1 )+ 3k+ 5= 03k=- 12,得 k=- 4例 4設平面E過A (-2 , 1 , 1 ), B ( 1 , 1 , 3兩點，且與平面 F: x-2y+ 3z= 5垂直，求平面E的方程式。88 高中數學（三）講義O AB = ( 3,0,2 )設平

7、面E之一法向量ni=(a , b , c )，取 F 之法向量 n2 = ( 1 , 2,3 )則 n1 丄AB，且 n1 J_n2，即 n1. AB = 0, n1 . n2 = 0，解得a =寻c.7b= 6 c”3a+ 2c= 0故1a 2b + 3c= 0 7於是 a: b: c= 3 c: 6 c: c= 4: ( 7 ): ( 6 )取 ni = ( 4， 7， 6 )所以平面 E 的方程式為 4 ( x+ 2 ) 7 ( y 1 ) 6 ( z 1 )= 0,即 4x 7y 6z + 21= 0第2章 空間中的直線與平面89 z 演練 4.設平面 E 過 A ( 1 ,-2,1)

8、,且垂直平面 Fi： x+2yz+1=0 與 F2： xy+z1 = 0,求平面E的方程式。設平面E之一法向量n = ( a , b , c )取F1之法向量n1 = ( 1 , 2， 1 ), F2之法向量n2 = ( 1， 1 , 1 )n2 = 0a+ 2b c= 0 故丿a b+ c= 0a+ 2b= c12a b= c，解得 a=亍，b=亍、 1 於是 a: b: c= 3 c:23 c: c= 1: ( 2 ): ( 3 )，取 n = ( 1， 2， 3 )所以平面 E 的万程式為(x 1 ) 2 ( y + 2 ) 3 ( z 1 ) = 0, 即卩 x 2y 3z 2 = 0

9、設平面E與平面F: 2x y 3z+ 7= 0平行，且其x、y、z截距之和為10,求平面E的方程式。設平面E的方程式為2x y 3z= kkk依題意得 2 + ( k ) + ( 3 ) = 10,故 k= 12於是平面E的方程式為2x y 3z+ 12= 0P演練 5.設平面E與平面2x+ 2y + z 5 = 0平行，且與三坐標平面在第一卦限所成的四面體1之體積為9,求平面E的方程式。(四面體體積=-3 X底面積X高)k k設平面E的方程式為2x+ 2y+z= k,則平面E之x、y、z截距分別為？、2、k, k01 k k 11 o依題意得 3 ( 2 . 2 . 2 ). k= 9, 2

10、4 k3= 9, k= 6所以平面E的方程式為2x+ 2y+ z= 6二兩平面的交角 設平面 E1: a1x+ b1y+ C1z+ d1 = 0, n1 = ( a1 , b1 , C1 ); _ 平面 E2: a2x+ b2y+ c2z+ d2= 0, n2 = ( a2 , b2 , C2 )，則U (1) E1與E2的交角B就是n1與n2的夾角或其補角，即n1 . n2a1a2+ b1b2 + C1C2cos B= I m 丨 I n2 II a12+ b12+a22 + b22 + c22X 90高中數學（三）講義 Ei 止2 ni . n2 = 0o 配合課本P. 109 P. 11

11、0愈他6求平面3x+ y 2z= 9與平面2x+ 3y+ z= 5的夾角。設此兩平面的交角為B,則3. 2+ 1. 3+ ( 2 ) . 11cose=，故 0=60或 120寸 32 + 12+ ( 2 厂 22+ 32+ 122第2章空間中的直線與平面91演練 6.求平面y+ z 5 = 0與平面2x+ 2y+ z 10= 0的夾角。設此兩平面的交角為B,則=0 . 2 + 1 . 2+ 1. 1 cos 0=0又xy平面的方程式是z= 0，故0. 4a+0.cos 45 =3a+ 1. 12(4a )2 + ( 3a )2+ 122 得 25a2= 144，因 a0,故 a =予12 _

12、 = 125a2 + 14421n演練 7.設平面ax+ y+ z+ 1 = 0與平面y+z 8 = 0所夾的銳角為，求a之值。2 _ 1 a2+ 2 . 22a2+ 22? 2 ( a2 + 2 )= 16 ? a2= 6,故 a= 6n a. 0 + 1. 1 + 1. 1 cos 3 =設三平面 Ei: x+ ay+ 3z= 7, E2： bx+ cy 2z= 5, E3： 2x+yz= 6,若 Ei JE3，且E2 / E3，試求 a、b、c 之值。取 m = ( 1 , a , 3 ), n2 = ( b , c 2 ),出=(2 , 1 , 1 )因 E1 IE3，故 n1 . n

13、3 = 0，即 2+ a一3 = 0，得 a= 1：.：.b c 2又 E2 / E3,故 n2 /n3,即 2 = 1 = ，得 b= 4, c= 292 高中數學(三)講義*所以 a= 1, b = 4, c= 2卜演練 8.設三平面 Ei: x y+ az= 1, E2: bx+ y+z= 4, E3： x+ cy+ z = 2,若 Ei JE2，且Ei / E3,試求 a、b、c之值。取 ni = ( 1 , 1 , a ), n2 = ( b , 1 , 1 ),代=(1 , c , 1 )因已_LE2，故 n1 . n2 = 0,即卩 b一 1 + a= 01 1 a又已 / E3

14、,故 n1 / n3，即 1 = c = 1 ,得 a= 1, c= 1故知 b = 0,所以 a= 1, b = 0, c= 1V 94高中數學（三）講義三點到平面的距離 空間中，點P ( xo , yo , zo )到平面E: ax+ by+ cz+ d = 0的距離為d ( P , E)=| axo+ byo+ czo+ d |.a2+ b2 +c2配合課本P. 111一例g求點P ( 1，-2,3 )到平面E: 2x 2y + z= 21的距離。12322+ ( 2 )2 + 12 | 2X1 2N 2 )+ 3 21 |卜演練 9.設點P ( 2 , 1 , k )到平面E: 6x+

15、 3y 2z= 1的距離為2,求k值| 6. 2 + 3. 1 2. k 1 |62+ 32+ ( 2 )2| 14 2k | = 14故 14 2k =14,得 k = 0 或 k = 14创10設點 A ( 2 , 1 , 3 ), B ( 5 , 1 , 0 )，平面 E: 2x y+ z+ 4= 0,若 AB與平面 E 交於 P 點,AP求 之值。BP| 4 1 + 3 + 4 |钮,AP = I ( A , E ) = T2 +( - 1 r+ = 2BP= ( B，E ) = | 10 1+ 0+ 4 | = 7I22 + ( 1 )2+ 12演練 10 設點 A ( 1 , 2,

16、3 ), B ( 1，- 1，-2 )，平面 E: 3x+ y+ 2z+ 1= 0,若AB與平面 E 交於APP點，求莎之值| 3 + 2 + 6+ 1 |越 ap = b ( A , E ) _ 32 + 忙 + 22 砂BB ( B , E ) = | 3-1-4+ 1 |32 + 12+ 22第2章 空間中的直線與平面95設點 P ( x , y , z )為平面 E: 2x-2y+ z= 1 上的任一點，求 (x+ 3 )2 + ( y 4 )2 + z2 的最小值阳”設A ( 3,4,0 )，則 ( x+ 3 )2+ ( y 4 )2 + z2表示P與A兩點之間的距離則 (x + 3

17、 )2 + ( y 4 )2 + z2的最小值為| 6 8+ 0 1 | 15d ( A , E ) = 3 = 5寸 22+ ( 2 )2+ 12 3999演練11.設點P ( x , y , z )為平面E: 3x+ 2y+ z 2= 0上的任一點，求x + y + z的最小值。設 0 (0,0,0 ),則 x2 + y2+ z2 的最小值為d ( O , E )2 =(1 2 丨 2 = 4 = _232 + 2 2 + 12) = 14 = 7四兩平行平面的距離 空間中，兩平行平面 E1: ax+ by+ cz+ d1 = 0與E2： ax+ by+ cz+ d2 = 0間的距離為|

18、d1 d2 |d ( E1 , E2 )=a2 + b2 + c2配合課本P. 112兩平行平面 E1： 3x+ 2y 6z+ 2 = 0與E2: 3x+ 2y 6z+ 23= 0之間的距離。d ( E1 , E2 )1 2231=牛 3弋 32+ 2 2+ ( 6 )27V 96高中數學(三)講義*演練12已知平面E與平面F: 12x+ 4y 3z+ 13= 0平行，且此兩平面之間的距離為1,求平面E的方程式。設平面E的方程式為12x+ 4y 3z+ k= 0I k 13 I則=1 = I k 13 | = 13,即卩 k 13=13122+ 4 2 + ( 3 )2故k= 26或0於是平面

19、 E的方程式為12x+ 4y 3z+ 26 = 0或12x + 4y 3z= 0V. 98高中數學（三）講義1. 求過點P ( 1 , 2 - 3 )，且以n = ( 3,2，- 1 )為法向量的平面方程式。解：所求平面方程式為3(X 1 ) + 2 ( y 2 ) ( z+ 3 ) = 0即 3x+ 2y z 10 = 02. 已知空間中兩點A ( 2 , 1 , 3 ), B ( 3,4,5 )，求以AB為法向量且通過A點的平面方程式解：AB = ( 1 ,3,2)所求平面方程式為 (x 2 ) + 3 ( y 1 )+ 2 ( z 3 ) = 0即 x + 3y + 2z 11 = 03

20、. 若點A ( 1 , 2,3 )在平面E之投影點為A ( 3,3,5 )，則平面E的方程式為。解：平面E的法向量為AA = ( 2 , 1 , 2 )，且平面E過點A鳳新高中故所求平面方程式為 2 ( x 3 )+ ( y 3 ) + 2 ( z 5 )= 0即 2x+ y + 2z 19 = 04. 若空間中四點 A ( 1 , 1， 1 )，B ( 2， 2， 2 )，C ( 4， 3， 2 )，D ( 8,3 , k )都在平面E上，求：(1)平面E的方程式；k值。解：(1)A、B、C、D四點都在E上，則點D會落在A、B、C三點決定的平面上此平面就是EAB = ( 3， 3， 1 )，

21、AC = ( 5， 4， 1 )設n = ( a , b , c )為平面E之法向量，則n丄AB， n丄ACn . AB = 03a 3b c = 0b= 2a故*.*n “=in . AC = 05a 4b c = 0c = 3a得 n = ( a , b , c )= ( a，-2a , 3a )= a ( 1，-2,3 ),即(1 , 2,3 )為所求平面之法向量又平面E通過點A ( 1 , 1 , 1 )故平面 E 方程式為(x 1 ) 2 ( y 1 ) + 3 ( z+ 1 ) = 0即 x 2y+ 3z+ 4= 0 因點D ( 8,3 , k )在平面E: x 2y+ 3z+ 4

22、= 0上故 8 6+ 3k + 4= 0, 3k = 6,即 k= 2100高中數學（三）講義5. 設平面E過A ( 3,2 - 1 ), B (- 1 , 1 , 2 )兩點，且與平面4x+ 3y z= 9垂直，求平面E的方程式。解：設平面E之法向量為n = ( a , b , c )，取I = ( 4,3， 1 )則n丄I , n丄ABn . I = 0( a , b , c ). ( 4,3， 1 )= 04a + 3b c = 0b= c故、二二n*n . AB = 0( a , b , c ). ( 4， 1 , 3 )= 0 4a b+ 3c= 0a= c!Uk.n = ( a ,

23、 b , c )= ( c， c , c ) = c ( 1， 1 , 1 )於是平面E的方程式為(x 3 ) ( y 2 ) + ( z+ 1 ) = 0即 x y+ z= 06. 求過點A ( 2,3,1 )，與兩平面E仁x y+ 2z+ 3= 0, E2: 2x+ y+ 3z+ 5= 0皆垂直的平面北一女中方程式為 解：取n1 = ( 1， 1 , 2 )，n2 = ( 2 , 1 , 3 )n .5a= 3 c1b= 3 c設所求平面 E的法向量n = ( a , b , c )，則n Irn， n lri2n = 0 a b + 2c = 0n2 = 0_2a+ b + 3c= 0511n = ( a , b , c )= ( 3 c , 3 c , c ) = 3 c ( 5 , 1， 3 )於是所求平面 E的方程式為5 ( x 2 ) ( y 3 ) 3 ( z 1 ) = 0即 5x y 3z 4 = 07. 求平面E仁x , 2 y+ z 2= 0與平面E2: x+ , 2 y z+ 1 = 0的交角。解：設平面Ei與E2的交角為B1-2- 1則 cos e=yj 1+ 2+ 1 .1 + 2+ 1故 e=60或 120第2章空間中的直線與平面101| 8 0 1 4 |22+ ( 2 )2 + 12=6: 3= 2: 1A8. 已知A ( 1