等价转化思想自测

1、精品资源等价转化思想 自测1已知 x， yr，且满足方程 x22xy y 22x2 y 8 0 求下列各式的最小值：（ 1） xy ；（ 2） xy 2 集 合a x| x2ax a2190 ， b x | log 2 (x 25x 8) 1 ， c x | x22x80 ，当 a 取什么实数时，ab 且 ac 同时成立3解方程：x 210x32x2 10x328 sin a cos csin ccos2 a3 sin b4在 abc 中，222，且最大角与最小角之差为90，求证它的三边之比为（7 1）7 （71）5如果 a， b， cr，并满足 a2b22a4b40 ， c2d 24c 4d

2、 4 0 ，求 (a c) 2 (b d ) 2 的最值6设四面体的每组相对棱的长分别为a， b， c，求此四面体的体积7已知 a，b，x，yr，且 a 2b 4 0 ，x 2y 1，求证： (a x) 2 (b y)2 58若 x2y225 ，求 f ( x, y)8 y6x508y9若 abc 的三个内角， a，b，c 满足 a cos2absin aa cos2 c b sin c1 ，求证： abc 是等腰三角形10求同时满足下列两个条件的所有复数z：6x50 的范围1 ，a cos2 bb sin b1 ，z 101z106（ 1）zr ，且z；（ 2） z 的实部和虚部都是整数11

3、 5个不同的红球和2 个不同的白球排在一个圆周上，使2 个白球不相邻有几种排法？12已知 xy zx2y 2z2x3y3z31 ，求证 x，y，z 中至少有一个等于0参考答案1 （ 1 ） 把 原 方 程 配 方 ， 得 ( x y)22( x y) 8 0x y 2(x y)24 2 ( x y) 20 ， x y4 2 （ 2 ） 原 方 程 配 方 ， 得2(xy)24xy2( x y)8 0，欢下载精品资源xy1 ( x y)22 (x y) 81 (x y2 )215，由（ 1）知 xy4 2 而4428xy 在 42 ，) 上为增函数，xy 的最小值为1 ( 422 ) 21584

4、282 b 2 ， 3 ， c 2 ， 4 ，要使 ac成立，与4都不是方程x2axa2190 的解；要使ab， 3 是方程 x2axa 2190 的解，即9 3aa 2 190a5，或a2 当 a5 时， ， ，不满足 ac，a23故 a5 舍去；当 a2 时， a 3 ， 5 ，合题意，故 a2 为所求3原方程可化为( x5) 2(7 )2(x5)2( 7 ) 224 ，此方程的解等价于x2y 21y27 的交点的横坐标，解得大于或等于双曲线429的右支与直线4时的解为16x16x33故原方程解为sin a1coscsin c1cos a3 sin b4已知等式222sin asin c

5、sin( ac ) 3sin bsin asin c2 sin bac2b 设最小角为，则三个内角的大小顺序为， 902， 90a b c sinsin(902 ) sin(90) sin cos 2 cos（030）， 由2 cos2sincos，得2(c2o ss2i)nsincosc o ss i n1cos(sin)32 平 方 得8 因 此 ， co s，sin是 方 程x21 x30s i n71cos7128的 两 根 ， 解 此 方 程 得4，4（ c o 2s7 (71)c o ss i n）4 s i n cos 2 cos7 ( 71)5设 p 的坐标为 （ a，b），则

6、点 p 满足方程 ( x1) 2( y 2) 21 设 q 的坐标为 （ c，2d），则点 q 满足 ( x2)2(b2) 24 ，pq若两圆的连心线分别交圆两圆于a，b ， c ， d ， 如 图 ， pq 的 最 大 值 为 bd ， 最 小 值 为 ac ， bd5 1 2 8 ，ac5212欢下载精品资源6如图，将四面体“装入”它的外接长方体内，使得长方体相邻的三个面的对角线长分别等于四面体各组棱长设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，则 x2y 2a221222) ， y 2z2b2， z2x 2c2 由、解得x2 (abcy21 ( a2b2c2 )z21 (b2a2c2 )v长方

7、体xyz12222 2 ( bc)2，2a11v长 方 体v四面体2(a2b22)(a222)2v四 面 体12cbc3(b2a2c2 )(a2b2c2 )(a 2b2c2 )7所证问题可转化为点 （ a，b）与（ x， y）间的距离，已知点（ a，b）在 l1 ：x2 y 40上，点（ x， y）在 l 2： x 2y 10 上，且 l1 l2，因平行直线上任意两点间的距离c1c25db2(ax)2(b y) 25不小于这两平行线的距离，a2，8x 2y225，f (x, y)x2y28y 6x 25x2y28 y 6x 25欢下载精品资源(x 3)2( y 4)2( x 3)2( y 4)

8、 2， f (x, y) 可看做圆x2y 225上的动点， p（ x，y）到二定点 a（ 3， 4），b（ 3， 4）的距离之和，而a，b 又在圆 x2y225上，因此，当 p 与 a 或 b 重合时， f ( x, y)ab 6 为最小；当 p 与点（ 0， 5）重合时，f (x, y)2 ac 610 为最大 f (x, y) 的取值范围为 6，6 109从形上看三个条件具有同一模式ax by 1，可看成是p（ cos2 a ， sin a ）， q（ cos2 b ， sin b ），r（ cos2 c ， sin c ）三点同在一直线 axby 1上，同时，注意到xcos2,这 三 点

9、 的 坐 标 也 具 有 同 一 模 式 ysin ,这 是 抛 物 线 的 一 段 ： y2（ 0 x 1）这表明 p，q， r 是直线 axby1与抛物线段 y 2x 1 （ 0的三个公共点， 但实际上它们至多有两个公共点，所以这三点中至少有两点重合，b， c 中至少有两者相等，故 abc 是等腰三角形x 1x 1）从而 a，z101z106z10ur，且 110z 为实数， 且z，令z，则 uu6 于是 z2uz 100 （ * ）方程（ *）是关于z 的实系数方程，且u 240 0（ 1 u 6）zu40u 2iz 的实部与虚部均为整数，u 只能取 2， 6 两从而解出22个值由此满足条件的复数有z1 3i，或 z3 i11先转化为2 个白球相邻时有多少种排法，然后求出不相邻时的排法总数p77p66 p2248012 原 命 题 可 转 化 为 ： 已 知