求导法则(一)

1、 3.2 求导法则（一） 教学内容 1. 函数的和、差、积、商的求导法则; 2. 反函数的求导法则； 3. 复合函数的求导法则. 教学重点与难点 导数的运算法则及导数基本公式. 简要复习上节内容 1. 导数的定义； 2. 导数的定义的几种形式； 3. 可导的充要条件； 4. 函数可导与连续的关系； 5. 导数的几何意义、物理意义. 一、导数的四则运算法则 设u =u（x）, V =v（x）都在x处可导，则有 （u 二 V）= u 二 V ； (uv) = uv u v ； (cu) = cu ; （u） = vu ；uv . vv 我们现在只证明. u(x h)v(x h) _ u(x)v(x

2、) 证 设 f (x) =u(x)v(x)则 f (x h) - f (x) f (x)二 lim=lim 1 hh u(x +h)v(x +h) u(x + h)v(x) + u(x +h)v(x) u(x)v(x) = lim = lim u(x h)v(x h)v(x)+lim v(x) 0h0 h )0h u(x h) - u(x) =uvu v h 例 1 f (x) = x3 4cosx -sin ，求 f (x)， 解 f (x) =3x2 -4sinx, f ()= 2 2 1 例2求y二x logax 3tan x 的导数. sin x 2 x c 2 一 cosx 解 y

3、=2xlogax3sec x 2 x In asin x = 2xloga x x + In a 3sec2 x -escx cot x . 、反函数求导法 法则：若X二(y)单调、连续，在 y处可导.且(y) = o.则它的反函数 y = f (x)在对应点x处可导，单调.且f (x)=- 证由单调性当厶X = 0时，十0从而卫二 Z 1 ，又因为y= f(x)连续, y 当 Ax 0， y 0，从而 f (x)二 d(y) 利用以上定理可以证明: (arcsin x) (arccos x) = - 1； (arctan x) 1 1 x2， (arc cot x)12 三、复合函数求导法则

4、 法则：设y = f (：(x)是由y = f (u),u h护(x)复合而成.若u hF:(x)在x处 可导， 而y = f(u)在U处可导.则y = f( (x)在x处可导且 3二史虫 dx du dx y二f (u)在u处可导，则有 lm -y 二 f (u)， :u (u) *，其中 :0.可以推得 = f (u)u 用2除以式有+ f(u)* dy dx 这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则. 所以 dy du du dx 复合过程可推广到多个情形 例3求(e3x) 解 y =e3x为 y =eu,u =3x复合而成，所以 dy = dy du =eu 3 =3e3x. dx d

5、u dx 例 4 求 y = (In tan x) 解 y=lntanx由y =lnu, u=tanx复合而成，所以 dy dx dy du du dx sec2 x = 2 csc2x 注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果 例 5 y =1 n(x1 x2) (1 x 一1一X2 )= 1 厂X2 例 6 f (x) = x2 - a2 a -a arccos x f (X)二一22 x - a a (f)=j22 例 7 y = (f (ax b) 解 y = n(f(ax b) f (ax b) a. 例 8 y = arctg (ln( ax b) 1 1 2a

6、. 1 ln (ax b) ax b 例 9 已知 f (x) =x(x 1)(x2) (x TOO)，求 f (0) 1： f(0) = limf=lim x(x 1)(x 2) rx 10叽100 - xjx_0T f (x) =(x 1)(x2) (x 100) x(x 1)(x2) (x 100) .=100 ！ 例10 设 f (x) = 1 g (x) sin 心 0J 且 g(0) =g (0)=0,证明：f (0)=0 f(0) = l,m f(xf(0) g(x)si n- = limx， x - 0 xx 又因 g(0)=lxm0Hlxm0=0,且 .1 sin x 故易知

7、f (0)=0. 例 11 设 f (x)在T,1上有界，g(x) = f (x)sinx2，求 g (0) 2 解 g（O）=iimg（x）g（）=lim f（x）sinx =limf（x）x = O. T x 07 x7 小结 1. 函数的和、差、积、商的求导法则； 2. 反函数的求导法则； 3. 复合函数的求导法则. 作业 作业：p103 8 奇数题，15奇数题; 预习： 3.2 P80- 86 3.2求导法则(二) 教学内容 1. 隐函数的导数； 2. 由参数方程所确定的函数的导数； 教学目的 1. 熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法； 2. 掌握抽象形式的函数的

8、一阶、二阶导数的求法； 3. 熟练掌握对数求导法； 4. 理解和会求相关变化率. 教学重点与难点 掌握隐函数与参数式所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率的计算. 复习上节内容 1. 函数的和、差、积、商的求导法则； 2. 反函数的求导法则； 3. 复合函数的求导法则. 一、隐函数的导数 1. 隐函数的定义： 形如y二f (x)的函数为显函数.而由方程F(x,y) = 0或f (x, y)二g(x,y) 所确定的函数为隐函数 2. 隐函数求导法：将方程两端对x求导(y看成x的函数)，然后解出y 例1已知ey xy _ e = 0，求鱼. dx 解：eyy xy y 二0 从而目二. x +

9、ey 例 2 已知 y5 +2y _x _3x? =0，求空| x_o dx1 - 解: 5y4y 2y 121x6 21x6 1 2 5y4 将x = 0代入原方程里得 所以dy 7 3. 对数求导法(多用于求幕指函数f(x)g(x)与多因式函数求导问题，两边 取对数，变显函数为隐函数，再使用隐函数求导法求导) 例 3 y =(tanx)sinx，求 y 解: In y 二 sin x In tanx , 1 . 1 2 y = cosx In tan x sinxsec x . ytan x 所以 y =(tan x)sinxcosxln tan x sin x1sec2 x tan x

10、sinxlntanxsin ln tanx12 法 2： y = e，所以 y = e cos xln tanx sin x sec x. tan x 例4厂H2) (x_3)(x_4) 解：In y 二ln(x _ 1) ln(x _ 2) _ ln(x _ 3) _ ln(x _ 4), 2 11 1 1 1 1 n y y2x-1 x-2 x-3 x-4 所以 y丄1(X 1)(X-2). 2x-1 x-2 x-3 x-4 (x-3)(x-4) 二、参数方程求导法 设参数方程为(t),，显然若x=(t)存在反函数 Kt). t=(x)则yj：，(x)为x的复合函数，若X八(t)，y= (

11、t)可导，且 dy F=。，则由复合函数求导法则有：dx哼存參喘 dt y = bsint. 例6已知椭圆参数方程为xNCOst,，求椭圆在t 处的切线方程 解：先求处所对应的椭圆上的点 Mo的坐标为（a,b），在点 2 2 Mo处切线的斜率k二 dy dx bcost 迟-asint t 4 -b ,所以所求的切线方程为 a y = bsi nt.4 y 2 例7求三叶玫瑰线r二asinS在二 3处的切线方程 x a sin 30 cos日兀 解：先将其化为参数方程asw：在3处对应点为（0,0）， dy dx _3acos3rs吠 asin 3 cos 十3 3acos3rcos)- as

12、inBsin 3 所以所求的切线方程为y =、3x. 小结 1. 隐函数的求导法； 2. 对数求导法； 3. 由参数方程所确定的函数的导数的求法 作业 作业：p104 24，25，26； 3.2 求导法则（三） 高阶导数 教学内容 函数的高阶导数； 教学目的 1. 会求函数的一阶二阶导数和简单函数的 n阶导数; 2. 掌握抽象函数的一阶二阶导数的求法 教学重点与难点 抽象函数的一阶二阶导数的求法 复习上节内容 1. 函数的和、差、积、商的求导法则； 2. 反函数的求导法则； 3. 复合函数的求导法则. 一、高阶导数的概念 我们知道y = f (x)的导函数f (x)仍为x的函数，当然可以继续求

13、导数.称 y二f (x)的导数(y ) =(f (x) 为y = f (x)的二阶导函数，记为y，或f (x) dy dx2 类似的我们可以三阶、四阶n阶导数，记为=(y ) , y=(y(2丫, 由此可见高阶导数的求导法为反复求导法 例 1 y = ax b，求 y . 解 y 丄 a , y =0. 例2证明y =2x-x2，满足关系y3y_ T = 0. 2-2x =1-x 22x - x22x - x2 -：2x -x2 (1 x) 2 -2x 2 2 x2 c2 2x x _2x + x2 _1 +2x_x2 3 (2x-x2)? y 则 y3y1 = 0. 二、n阶求导公式 例3求

14、y二ex的各阶导数 解：宀ex. 例 4 已知 y =sin x ,求 y(n)(x). 解：y 二 cosx 二 sin(x ) 2 ji y = -sin x 二 sin(x 2) y(n)二sin(x n ；) 同理可以推得(cosx)=cos(x n，2) 例 5 y 二 ln(1 x)，求 y(x). 解: y =1=(1 x)，y =(-1)(1 x)-, y =(一2)(一1)(1 x)- 1 +x y(n)=(_1)2(n_1)!(1x) 在求n阶导数的过程中.关键是找规律，最后归纳到一般. 例6求y = xu的n阶导数 解: y =uxuJ1, y =u(u_1)xu，, y

15、 Ju(u _ 1)(u _ 2)xu y(n) =u(u -1)(u -2) (u - n 1)xu. 特别地，当 u 二 n 时，(xn)(n) = n!. 下面我们来导出和、差、积的n阶导数公式. 1. (u_v)(n) =(u)(n) _(v)(n). 2. (uv)(n)=u(n)v nu(v乜 几2八 uv(n). 2! 其中，(uv)(n)有点特别.事实上， (uv)二 u v uv (uv)二 u v 2u v uv (uv) = u v 3u v 3u v uv (uv)(n) =u(n)v n u(nJ)vBuy，-uv(n) 2! 此公式称为莱布尼茨公式. 例7使用莱布尼茨公式计算y二x2e2x的20阶导数 解：令 v =x2,u = e2x，且 u(k) =2ke2x，所以 20 2 2x (20)k (20 4)(k)0(20)(0)1(19)2(18) (x e )C20u v=C20uv +C20u v +C20u v k =0 20 2 x 219 2 x20 1 918 2x20 2 x 2 =2 e x +2 2 e 2x+2 e 2 = 2