横向最小二乘拟合与纵向卡尔曼滤波

1、方法 B 售后服务数据的运用产品质量是企业的生命线，售后服务是产品质量的观测点，如何用好售后 服务的数据是现代企业管理的重要问题之一。现以某轿车生产厂家为例考虑这个问题。假设该厂的保修期是三年,即在售出后三年中对于非人为原因损坏的轿车免费维修。在全国各地的维修站通过网 络将保修记录送到统一的数据库里面，原始数据主要包含哪个批次生产的轿车 （即生产月份 ）、售出时间、维修时间、维修部位、损坏原因及程度、维修费用等 等。通过这样的数据可以全面了解所有部件的质量情况，若从不同的需求角度 出发科学整理数据库中的数据，可得到不同用途的信息，从而实现不同的管理 目的。整车或某个部件的 “千车故障数 ”是一

2、个很重要的指标，常用于描述轿车的 质量。首先将轿车按生产批次划分成若干个不同的集合 （下面表格的同一行数据 就来自同一集合 ），再对每个集合中迄今已售出的全部轿车进行统计，由于每个 集合中的轿车是陆续售出的，因此它们的统计时间的起点即售出时间是不同 的。但在下面表格中，每一列数据的统计时间的长度却是相同的 （例如 2002年 3 月底出厂的轿车，到 2002年8月底;或2003年 10月初出厂的轿车，到 2004年 3 月初都是最多使用了五个月，显然它们的统计时间的终点也是不同的），在相同使用时间长度 （例如下表中第 5列都是使用 10个月的 ）内的整车或某个部件的 保修总次数乘以 1000

3、再除以迄今已售出的轿车数量，即为下面表格中的千车故 障数。数据利用的时效性是很强的，厂方希望知道近期生产中的质量情况，但刚 出厂的轿车还没有全售出去，已售出的轿车也没使用几个月，因此数据显得滞 后很多。当一个批次生产的轿车的三年保修期都到时，我们对这批轿车的质量情况 有了最准确的信息，可惜时间是轿车出厂的四、五年后，这些信息已无法指导 过去的生产，对现在的生产也没有什么作用。所以如何更科学地利用少量数据 预测未来情况是售后服务数据利用的重要问题。现有 2004年 4月1日从数据库中整理出来的某个部件的千车故障数，见下 页的表。其中的使用月数一栏是指售出轿车使用了的月份数，使用月数0 的列中是已

4、售出的全部轿车在用户没使用前统计的千车故障数， 1 的列中是某一批次 已售出的每一辆轿车，在它被使用到第一个月结束时统计的，对于该批次售出 的全部轿车累计的千车故障数 （即没使用时和第一个月中千车故障数的和 ），12 的列中是每辆车使用到恰好一年结束时的累计千车故障数。生产月份是生产批 次，如 0201表示 2002年1月份生产的。随着时间的推移，轿车不断地销售出 去，已售出轿车使用一段时间后的千车故障数也能不断自动更新，再打印出的 表中数据也将都有变化。1.该表是工厂的真实数据，没有修改，反映的情况很多，请你分析表中是否 存在不合理数据，并对制表方法提出建议 ;2.利用这个表的数据预测时请注

5、意区分水平和垂直方向。请你设计相应的模 型与方法，并预测 :0205批次使用月数 18 时的千车故障数， 0306批次使用月数 9 时的千车故障数， 0310 批次使用月数 12 时的千车故障数。1轿车某部件千车故障数的数据表12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0使用月数生产制表时月份销售量0201 4.88 4.88 4.88 4.48 4.07 4.07 3.66 2.44 2.44 1.22 1.22 0.410.41 24570202 5.99 5.99 5.39 5.39 5.39 5.39 4.19 4.19 3.59 2.99 2.4 1.8 016700203

6、 4.43 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.16 2.53 2.53 1.27 0.63 0 0 15800204 13.77 12.1511.61 9.72 9.18 7.83 6.75 5.67 4.32 2.43 1.35 0.540 37040205 36.78 34.68 31.53 29.43 27.06 25.22 23.12 21.81 18.13 16.5513.4 8.93 3.94 38060206 41.58 39.18 36.08 32.99 31.62 28.87 24.74 23.02 18.9 15.46 13.4 9.28 4.47 2910020

7、7 1614 72.49 69.39 62.58 54.52 47.71 43.99 40.27 34.7 30.36 26.6422.3 13.01 3.72 0208 1985 75.57 71.54 69.02 64.48 56.93 52.9 45.34 36.78 28.21 20.65 13.6 7.56 1.51 0209 2671 112.32 110.45 108.57 104.08 95.84 84.61 74.88 65.89 52.04 42.31 27.33 11.23 1.87 0210 2107 121.97 119.6 116.28 115.33 107.74

8、96.35 84.48 69.29 54.11 39.39 22.78 11.39 2.85 0211139995.78 95.78 94.35 92.21 85.78 82.2 72.19 61.47 47.18 40.03 25.7312.87 3.57 0212 403 101.74 101.74 94.29 91.81 89.33 84.37 81.89 67 52.1144.67 32.26 7.44 7.44 0301 6450 122.79 122.79 122.48 121.55 119.84 115.5 108.06 98.29 82.64 66.98 44.96 22.02

9、 3.72 0302 2522 143.93 143.93 143.93 143.93 141.95 139.57 135.21 125.69 106.66 84.46 62.25 25.38 1.59 0303290060.34 60.34 60.34 60.34 60 58.28 55.86 51.72 46.21 33.1 16.55 1.030304 1127 18.63 18.63 18.63 18.63 18.63 16.86 15.97 13.31 7.99 2.6600305 818 14.67 14.67 14.67 14.67 13.45 13.45 13.45 11 8.

10、56 1.220306 11995.84 5.84 5.84 5.84 5.84 5.84 5 1.67 00307 1831 13.65 13.65 13.65 13.65 13.11 10.38 7.1 0.550308 1754 5.7 5.7 5.7 5.7 4.56 1.71 00309 2163 0.92 0.92 0.92 0.92 0.46 0.460310 2389 0 0 0 0 00311 2434 0 0 0 00312 1171 0 0 0 提示 :1.预测时用的数据表最好是增量表，就是把原表相邻列作差的到的表，含义 是第几个月期间的千车故障数。预测后再恢复到原表的形

11、式。2.轿车出厂后的运输是个复杂的事，体积大又贵重，要花费很多时间，从表 中数据分析可以得到 :出厂后三个月才开始有销售量，于是每个批次的前三个数 据（斜三列 ）可认为是无效数据。2采用横向最小二乘拟合与纵向卡尔曼滤波方法的联合预测方法对原始数据处理进行处理 :数据处理步骤如下 :步骤 1:基于分析结果 2,出厂后三个月才有销售量 .去除原始表中的斜三列中 得数据.结果如下 :表二去除斜三列后数据表 （节选 ）12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 05 55 55 55 55 55 50211 95.78 95.78 94.35 92.21 85.78 82.2 72.19 6

12、1.47 47.18 40.0325.73 12.87 3.57 0212 101.74 94.29 91.81 89.33 84.37 81.89 67 52.1144.67 32.26 7.44 7.44 0301 122.48 121.55 119.84 115.5 108.06 98.29 82.6466.98 44.96 22.02 3.72 0302 143.93 141.95 139.57 135.21 125.69 106.6684.46 62.25 25.38 1.59 0303 60.34 60 58.28 55.86 51.72 46.21 33.1 16.551.03

13、0304 18.63 18.63 16.86 15.97 13.31 7.99 2.66 0 0305 14.67 13.4513.4513.45 11 8.56 1.22 0306 5.84 5.84 5.84 5 1.67 0 0307 13.65 13.1110.38 7.1 0.55 0308 5.7 4.56 1.71 0 0309 0.92 0.46 0.46 0310 0 0 0311 00312步骤 2:表的 xx故障部件数， 1000(1)原始的千车故障数 = 1 迄今为止的汽车售出量故障部件 数， 1000修正后的千车故障数 = 2满足使用月数条件的售出量 3以 0205批

14、次使用月数为 10个月解释式 2 分母的“满足使用月数条件的售出 量”,0205批次的汽车要到 2002年09月份才有销售量 ,而在 2003年6月份以后的 售出量(不包括该月 )到 2004年 03月份为止的使用月数还不到 10 个月,因此满足 月数条件的售出量是 2002年09月到 2003年06月份的销售量。 (2)比较上面 1 和 2 式 ,发现两式的的共同之处在于有一样的 “故障部件数 ”又,基于每月销售量相 同的假设下 ,不难得出由原始的千车故障数向修正的千车故障数的转化与总销售 量无关 ,仅仅与月数有关，关系如下该批次到制表时的总销售月数修正后的千车故障数=原始的千车故障数，该批

15、次到制表时满足条件的月数 (3)修正算法总销售月数为 24-; (前三个月没有销售量 ) i满足条件的月数 25-。 jiXX算法如下：For =1:24 iFor =1：13 jIf +25 ji(24,i) =，/注意：使用月数 -1不是/ ， jjszysi,jysi,j(25,i,j)Else=0 /表格中的空数据赋为 0/ ， szysi,j由该算法得到的XX数据见附表1。步骤 3：对表中的列作残差 ,也即把原来相邻的列作差得到新的增量表 ,表示第 几个月期间的千车故障数。步骤 4：基于分析结果 1,去掉=13的行.(见附表 2)至此在以后的预测计算 i 中,0301 批次以后的数据

16、都向上挪一行 ,例如，预测 0306批次时,= 1 7,预测 0310i 批次时 =21。 i步骤5:表内数据的横向最小二乘拟合与纵向卡尔曼(kalman)滤波方法的联合 预测对于修正后的差分表 ,同一个批次在相邻月份内发生的千车故障率必然有相 关系数,而且故障率可以认为是线性关系 ,因此横向采取线性最小二乘拟合未 4知的故障数 ,再在此基础上运用纵向 kalman 滤波对拟合后的数据进行除噪处 理,从而降低了数据的误差。例如，对于 (0212,13)未知“故障数”用(0212,0)(0212,1),.(0212,12)数据线性最小二乘法拟合得到，然后通过对(0201,13),(0202,13

17、),(0211,13),(0212,13进行 kalaman 滤波分析修正最小二乘法拟 合得到的 (0212,13)值。表三横向最小二乘拟合与纵向卡尔曼滤波方法的联合预测顺序表12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0使用月数销售生产制表月份月份时销售量0303 0211 1399 622.57 213.72 109.17 76.654 44.928 44.033 34.17831.74 16.11 21.631 16.466 10.372 3.57 0304 0212 403 655.14 198.5 99.2565.502 38.708 48.923 36.692 18.60

18、5 20.848 30.596 0.67636 7.44 (11)0306 0302 2522 729.55 244.52 127.21 86.645 73.613 57.11 42.84549.612 26.61 1.59 (12) (1)0307 0303 2900 273.06 95.16 49.155 32.589 23.781 26.758 23.93817.589 1.03 (13) (2)0308 0304 1127 74.52 29.56 13.02 10.644 10.643 7.6133 3.04 0 (14) (3)03090305 818 55.615 15.692 7

19、.8458 8.1375 5.4133 8.7667 1.22 (15)(？4)0310 0306 1199 17.52 5.84 4.18 5.496 2.004 0 (16) (5？)0311 0307 1831 35.475 15.475 8.425 8.325 0.55 (17) (6？)0312 0308 1754 13.68 6.84 2.28 0 (18) (7) 0401 0309 2163 2.07 0.230.46 (19) (8) 0402 0310 2389 0 0 (20) (9) 0403 0311 2434 0 (21) (10)0404 0312 1171 (2

20、2) (11)具体处理过程如下 :(1)从空表项的最上的一条对角线开始。用最小二乘法拟合 0302 批次使用月 数为 10的数据(=13, =11) ji(2)用纵向滤波对 (=13, =11)的数据进行除噪处理 ,得到修正值 . ji(3)=+1，=-1， 重复进行 (1)， (2)的步骤。直到该对角线填满为止。 jjii (4)对下面的对角线，重 复进行 (1)，(2)，(3)的步骤直到，表中的空表项填满为止。 (其数据处理的顺序如 表 6.1 中的数字所示 )至此 ,数据处理部分全部结束 ,得到的数据表中的数据称之为对应批次对应月 的“故障数”，以下的数据建模和预测都是基于 “故障数 ”

21、的基础上。附录一 :5KALMAN滤波原理滤波是从获得的测量信息中尽可能的滤除干扰，分离所需要的真实信号。例如:已知测量向量序列Y, Y,.,如何求得向量X的估计。由于燥声的干12k 扰，不可能精确算得状态向量 X的真值，而只能在一定的统计准则下作出最优 k估计，kalman滤波采用的是最小均方误差估计原则记：tttt Y(k)=(Y, Y, Y) 12k希望由Y(k对j时刻的状态X进行估计。记估计量和估计误差分别是XjXjj ?k,?k记估计的均方误差阵 Pj?kXj =X-Xj?kj?k tP=E(Xj, Xj) j?k?k?k最小均方误差估计就是指P为最小值，即Xj为X线形最小方差估计。j?k?kk 离散线性 kalman 滤波的表达式X=Z*X+G*W kk-1k-1Y=H*X+Vkkkk其中动态噪声W与测量噪声V是互不相关的0均值白噪声系列，即对kk 所有的k,j,系统噪声的统计特性为EW=0,EV=0; kk,W)=Q S (j) kjkCOV(W,V)=R S-kk,jkCOV(V,V)=0 k,jCOV(W1k,0,(k), ,0