混沌硕士第1章

1、第一章 绪 论1.1 混沌学的创立与发展历程混沌学的创立是科学研究的重要事件之一，它揭示了许多随机现象与其内在决定性之间的联系。至今为止，已经在物理、数学、生物、化学、天文学、经济学等各种科学领域都发现了混沌现象的存在，使得混沌学得到了越来越广泛的应用，被誉为二十世纪继相对论和量子论之后的三大科学发现之一1。混沌是指在确定性非线性系统中，即使没有任何外部的随机因素，也会出现随机的行为，是一种内在随机性。混沌系统的最大特点是对系统的初始条件极端敏感，由此导致了混沌是长期不可预测的2,3。十九世纪末，法国伟大的天文学家、数学家H.poincare在研究三体问题时首次发现了混沌。他发现三体问题与单体

2、问题、二体问题不同。三体的引力相互作用会产生惊人的复杂行为。于是在1903年，H.poincare在他的一书中提出了poincare猜想:在三体问题中4,在一定范围内其解是随机的。实际上这是一种保守系统的混沌现象。 H.poincare从而成为发现混沌的第一人。自H.poincare之后，又有一大批数学家和物理学家在各自的领域进行了探索，为混沌学的研究积累了大量数学方法和知识。到了20世纪30年代，由前苏联概率论大师A.H.kolmogorov提出，莫斯科大学的学者B.N.Aphojip和纽约大学库朗数学研究所J.Moser独立证明的KAM定理4,5（以三人名字的首字母命名）是对不可积哈密顿系

3、统渐近动力学行为研究的一个重大突破。由此表明了不仅耗散系统存在混沌，保守系统也存在混沌。真正使混沌得到普遍注意的是美国气象学家E.Lorenz的研究工作。E.Lorenz在研究天气预测时，建立了一个有10多个变量的气象预测的数学模型，经过简化后只保留了三个主要变量风速、气压、温度。在用计算机进行数值运时，因为当时不具备高速计算机，为了加速运算过程，E.Lorenz只保留了小数点后三位而不是原来的六位有效数字。令他吃惊的是新的天气预测和原来保留小点后六位有效数字的计算结果几乎没有什么相似之处。经过不懈地努力，E.Lorenz终于明白了在他的确定的气象预测的数学模型中存在混沌现象，并具有对初始条件

4、极为敏感的这一混沌的基本特征。后来E.Lorenz把混沌系统对其初始条件的极端敏感性称为蝴蝶效应2。E.Lorenz对混沌现象的新发现，大大激发了科学家们对混沌研究的兴趣，从而对混沌的机理、现象和控制作了大量的研究。1975年，在美国马里兰大学攻读博士学位的华人学者李天岩和他的导师J.Jorke联名发表了一篇震动整个非线性理论学术界的论文周期3蕴含着混沌，首先引入混沌（Chaos）6一词，为这一新兴的研究领域确立了一个中心概念，从此混沌的研究进入了灿烂的年代 ，得到了国际上大量学者的注意。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。随着人们对混沌深入广泛的研究，促使人们产

5、生了控制和利用混沌的思想。1990年，Ott. Grenbogi和Yoke基于无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实，提出了一种控制混沌的OGY方法7，通过连续对系统的参数施加延时小扰动，使在无穷多不稳定周期轨道中所期望的那个不稳定的周期轨道稳定化，达到控制混沌的目的。同年，美国海军实验室的学者T.L.Carroll和 L.M.Recora发表了运动轨道同步化的论文 ，提出了混沌自同步方案驱动响应同步法8，为混沌在保密通信、神经网络等领域的应用 展现了美好的前景。混沌是一种纵横交错、非常复杂的现象。大自然就是一个巨大的混沌系统。福特（J.Ford）针对爱因斯坦的名言“我不相信有掷骰子

6、的上帝”说道：“上帝的确在掷骰子，不过骰子是灌了铅的。科学的任务就是确定自然之骰子的非均匀性，弄清它是按照何种规则被灌铅的。”我们相信，对混沌学的进一步研究，必将使我们加深对大自然深刻的理解,弄清楚可观世界是按什么规则来被“灌铅”的。1.2混沌的基本特征与保密通信由于混沌现象广泛存在物理、数学、生物等许多科学领域，而各个领域的混沌现象千差万别，很难得到一个统一的混沌的定义。其中影响比较大，被普遍接受的是李天岩和他的导师在周期3蕴含混沌中提出的数学定义，称之为LiYorke定义9：定义1 令f(x)为区间I到自身的连续映射，如果满足下列条件： （1）f具有任意正整数周期的周期点； （2）存在I的

7、不可数子集S，使对任意, 有 (11) (12) （3）对每一和周期点y，有 (13)则称f(x)为混沌的。在此定义中：第一个条件表明混沌系统存在所有阶的周期轨道；第二个条件说明子集的点相当分散又相当集中；第三个条件说明子集不会趋近于任何周期点。1989年，Devanney.RL给出了混沌的另一种定义10：定义2 设U为一集合。称为在U上是混沌的，如果 1f有对初始条件的敏感依赖性。 2f是拓扑传递的。 3周期点在U中稠密。一般来说，混沌的映射具有三个要素：不可预测性，不可分解性，还有一种规律性的成分。因为对初始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的。因为拓扑传递性，它不能被细分或不能被

8、分解为两个在f下不相互影响的子系统(两个不变的开子集合)。然而，在这混乱性态当中，毕竟有规律性的成分，即稠密的周期点。一般来说，混沌是指在确定性的非线性系统中所出现的非常复杂、具有随机的特点的非周期运动形式。混沌的主要特征有2,5,11,12：1 对初始条件极为敏感，即所谓的蝴蝶效应。即使两个完全相同的混沌系统，初始条件的微小差别，将最终导致根本完全不同的现象。也就是说，初始的信息经过混沌系统的若干次演化后，已经消耗殆尽，结果已与初始值没有关系了。值得注意的是，这种性质决不是计算误差等外部随机因素造成的，而是非线性系统完全决定的，是一种内随机性。2 具有伸长和折叠性质。这个性质是蝴蝶效应的主要

9、机制。伸长是指系统内部的局部不稳定性所引起的点之间距离的扩大。折叠是指系统整体稳定所形成的点之间的距离的限制。经过多次的拉伸和折叠，轨道被搅乱，形成了混沌。Smale的马蹄映射形象具体的阐述了混沌的这个特性。3 混沌还具有内随机性、分形性质、普适性等特征。这些特征使得混沌信号在许多领域得到应用。将混沌信号应用于保密通信，是其重要的应用之一。混沌的初始条件敏感性，使得两个完全相同的混沌系统从几乎相同的初始条件开始演化，很快它们的轨道就变得差异很大，互不相关。同时，混沌信号的表现形式非常复杂，具有类噪声，非周期性等特点。但是混沌系统本身又是确定的，由方程、参数所完全决定，是确定性非线性系统产生的不

10、确定的信号，其状态完全可以重现。这些性质使得混沌信号具有长期不可预测性和很强的抗截获能力，所以将混沌信号引入保密通信领域具有极其广阔的前景和巨大的潜力，吸引了相当多学者的注意。1.3 INTELNET的信息安全与混沌加密技术随着上个世纪末计算机和INTELNET的飞速发展，基于INTELNET的通信变得日益普遍和重要，也给人们的生活带来了极大的便利，INTELNET已经成为全球数据通信的最主要方式。但是，我们也应该看到，INTELNET的信息安全存在许多隐患，特别是电子商务和金融证券的网上交易，用户的密码、身份认证、交易信息都是极为重要的信息。一旦被非法入侵者窃取，就会造成很大的损失。因此，网

11、络数据业务的发展，必须首先解决网络信息安全问题。只有足够的安全保证，人们才能广泛的接受这种网络业务。网络通信的数据安全要求主要包括13,14：1 数据保密。要求保证在网上传输的数据不能被未受权用户截获使用。2 数据的完整性。要求数据在网上传输的时候不能被删除或篡改。3 身份验证。用户需要对网络上的另一用户进行验证，证实对方的真实身份。4 授权。需要控制谁可以访问网络上信息并且能够进行何种级别的操作。5 不可抵赖性。计算机中心的记录应使用户不能抵赖自己曾做过的行为，也不能否认曾经接到对方的信息，以免发生纠纷时有所对证。另外，保护硬件资源不被非法占有，软件资源免受病毒的侵害，都是网络信息安全的重要

12、部分。网络安全的技术主要有：数据加密技术、防火墙技术、身份认证技术、堵塞网络操作系统技术等。其中保护数据最有效的方法是数据加密技术。加密是实现网络安全和口令安全的一种重要手段。它是把明文通过一定的运算如相加、相乘或者混合运算，变成隐藏明文信息的秘文。一般来说，存在两种基本的加密体制：对称密钥和非对称密钥。 对称密钥是指用同一组密钥对消息进行加密和解密。因此，消息的接收者和发送者都拥有一组相同的密码。在对称密钥加密体制中，美国国家标准局于1977年宣布的数据加密标准DES(Data Encryption Standard)是一种比较普遍地加密算法。该加密算法由IBM公司提出，使用64比特的密钥对

13、64位数据进行加密和解密。非对称密钥加密又称为公开密钥加密体制，是Whitfied Diffie 和 Martin Hellman在1976年提出的。其作法是消息的提供者和接收者都拥有两个密钥，一个是公开密钥，一个是私人密钥。这两个密钥是数学相关的。公开密钥是公开信息，私人密钥由用户自己保存。在公开密钥加密体制中，加密和解密是使用不同的密钥的，所以在通信过程中不需要传送私人密钥。RSA是应用最为广泛的公开密钥加密方法，是由Rivel、Shamir和Adleman联合提出的。它的安全性是基于数学的大数因子分解。由于大数因子分解在数学上没有行之有效的方法，所以该加密技术的破译是非常困难的。至今为止

14、，没有文献报道说找到有效的破译方法。但公开密钥加密方法速度较慢，在实际应用中，主要用于产生数字签名、数字信封等数据量小但比较重要的信息加密，而并不对大量的应用数据加密。正如前面所指出的，混沌信号具有对初始条件极为敏感性，良好的伪随机分布的特性和频谱特性，且混沌通信系统设计比较容易，运算速度也很快，将它应用于对称密钥加密系统的设计，是一个比较好的选择。1.4 混沌通信的研究现状自二十世纪八十年代以来，国际上对混沌通信的理论和技术应用，经历了三件重大的事件，极大地推动了混沌通信研究的发展。1983年，美籍华人蔡少棠教授提出了著名的蔡氏电路，由一个线性电感、两个线性电容、一个线性电阻和一个简单的压控

15、非线性电阻组成，如图11所示15。它是至今为止在非线性电路中能产生复杂动力学行为的最简单而且最有效的混沌电路之一。通过对蔡氏电路参数的改变，可以很方便地产生倍周期分岔、单涡卷混沌、双涡卷混沌、多涡卷混沌和周期3混沌等丰富的混沌现象，促使了人们从电子电路的角度，采用电子实验的方法对混沌展开研究。图1.1 蔡氏电路Fig. 1-1 Chais Circuit 1990年，Ott, Grebogi和Yorke联合提出了一种控制混沌动力学系统的方法，简称OGY法7。它是建立在混沌吸引子中嵌入有无数个不稳定周期轨道的基础上，利用混沌运动对外部扰动很敏感的特点，给混沌系统一个微小的外部扰动，使系统稳定在某

16、个周期轨道上。OGY法的提出，使人们看到原来混沌是可以同步和控制的，大大激发了人们研究利用混沌的兴趣。目前，具有代表性的混沌控制方法除了OGY法及其推广外，还有连续反馈控制方法、弱周期微扰控制方法、线性反馈控制方法等等。这些混沌控制方法的机制都是一样的，就是变混沌系统原来的Lyapunoe指数为负值，从而实现从不稳定到稳定的转变。 在OGY法提出后不久，美国海军实验室的Pecora和Carrol首次利用驱动响应法实现了两个混沌的同步，并在电子线路上实现。他们的研究成果表明，在一个混沌信号的驱动下，两个混沌系统之间可以达到自同步状态。这一突破性的进展，引发了人们利用混沌的自同步性来实现保密通信的

17、热情。现在国际上一般将混沌通信划为四大类：1混沌掩盖通信 2.混沌键控通信 3. 混沌参数调制通信 4. 混沌扩频通信。除了混沌掩盖通信属于混沌模拟通信以外，其他三种属于混沌数字通信。混沌在通信领域中的应用除了混沌保密通信以外，混沌在扩频通信中的应用也获得了很大的进展。在3G通信中，CDMA技术以其容量大、抗干扰能力强、可以实现软切换、发射功率小、辐射小等优势逐步取代TDMA技术成为未来数字通信方式的主流技术。CDMA是以扩频技术为基础的一种多址通信的体制。在传统的CDMA通信系统中，是采用PN码作为扩频序列。PN码具有理想的自相关特性，但是其互相关特性不是很理想，这样就会导致CDMA通信中的

18、多用户干扰，而且PN码的数目也极为有限，需要大量增加PN码的位数，才能获得足够多数量的PN码。混沌由于具有对初始条件的敏感性，即使初始条件的微小差异，也很快就会演化为两个互不相关的轨道。所以，起源于两个十分接近的初始值序列，经过短暂的时间，便毫不相关了。混沌这个特点，一方面为多用户通信提供了条件，即不同的通信用户对应不同的初始条件，另一方面，把消息隐藏在混沌信号中，实现了信号的掩盖加密。混沌信号的宽带连续频谱特性，也具有PN码一样的随机特性，且混沌序列数目众多，又互不相关，产生也比PN码方便，仅仅需要一个混沌模型和初始条件，不需要存储这些随机序列。因此，将混沌序列取代PN码进行CDMA扩频通信

19、具有一定的优势16,17。混沌除了在通信领域得到了应用外，在其他的各个科学领域如模糊和神经网络、自动控制、信息处理以及力学、生物学、大气动力学、航空航天等获得了广泛的应用。特别值得一提的是NASA的科学家使用非常小的残余液氢燃料把一个ISEE31ICE飞行装置送到五千万英里外（跨越了太阳系），实现了第一次科学卫星的对接18。这一功绩归功于天体力学中三体问题对于微小扰动的极度敏感性，而在非混沌系统中这是不可能实现地，因为那种系统需要巨大的控制能量才能获得巨大的功效。混沌在众多领域中的应用研究，可能成为一门新兴的产业而显示出巨大的经济效益和优越性。尤其在混沌保密通信和分形图像压缩上的应用，试图开发

20、出软、硬件产品。国外已经制造出了FMDCSK制式的混沌通信样机。混沌的应用研究已成为了一个热点。许多国家都制定了自己的发展计划。其中，美国的洛斯阿拉莫斯国家实验室、IBM公司、美国海军实验室和诸多大学都开展了大量对混沌的研究。美国工业和应用数学协会（SIAM）在指导性文献控制理论未来的发展方向中特别将混沌控制作为控制领域的一个新的研究方向。日本也提出了“非线性研究五年计划”。德国也提出了“混沌技术及其研究重点”。法国，意大利，俄罗斯也纷纷加入竞争行列以期研制出高度保密的混沌通信系统，来满足现代化战争对军事通信的严格保密的需要。我国九十年代中期也开始了对混沌通信的全面研究，取得了一批较高水平的科研成果。国家自然科学基金委员会在“八.五”期间,把“非线性科学”作为全国十项重大课题之一,国家攀登计划也把“非线性科学”设为重大项目19,这充分说明非线性科学的重要性.混沌作为非线性的一个重要组成部分,也越来越受到广泛的关注。1.5 本文的研究内容和结构安排尽管信息安全部分在目前的信息应用系统中还没有作为必备的部件，但是随着信息社会的飞速发展，人们对信息系统提供的服务的要求越来越苛刻，信息的安全也会变得越来越重要。信息安全中的信息流加密可以保证信息的保密传输，认证、鉴权技术可以