数列解题技巧

1、第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧 【命题趋向】 从 2007 年高考题可见数列题 命题有如下趋势： 1. 等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难 三类皆有 . 2. 数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点 3. 函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应 用. 4. 解答题的难度有逐年增大的趋势 ,还有一些新颖题型 ,如与导数和极限相结合等 . 因此复习中应注意： 1. 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项和公式等 . 2. 运用方程的思想

2、解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量ai、d （或q），掌握好 设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过 “设而不求，整体代入 ”来简化运算 . 3. 分类讨论的思想在本章尤为突出学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q工1两种情况 4. 等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数 列来解决等 .复习时，要及时总结归纳 . 5. 深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键. 6. 解题要善于总结基本数学方法 .如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，

3、养 成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果 . 7数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公 式写出数列的前几项 . 2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的 考查比较全面， 等差数列， 等比数列的考查每年都不会遗漏 .解答题

4、多为中等以上难度的试题， 突出考查考 生的思维能力， 解决问题的能力， 试题大多有较好的区分度 .有关数列的试题经常是综合题， 经常把数列知 识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳 法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在 主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等 基本数学方法应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学 问题来解决 【例题解析】 考点1正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念

5、，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式 典型例题 例1.（ 2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若 干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第 2 , 3 , 4,堆最底层（第一层）分别 按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒 f (n) （答案用n表示） 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 12,3,4,推测出第n层的球数。 乓球，以f （n）表示第n堆的乒乓球总数，则f 3 11 / 19 解答过程：显然f 310. 第n堆最低层（第一层

6、）的乒乓球数, ana1已2L an n n 1，第n堆的乒乓球数总数相当于 2 n堆乒乓 球的低层数之和，即f n a a. 1 2 2 (1222 L 2 n2) 例2 .（2007年湖南卷理） 将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表从 所以： n n 1 n 2 f(n) 6 上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数 都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应 1的数量的特

7、征，然后寻找它们之间的规律。 解：第1次全行的数都为1的是第2 1 =1行，第2次全行的数都为1的是第22仁3行，第3次全行的数 都为1 的是第23 1=7行, ,第n次全行的数都为1的是第2n 1行；第61行中1的个数是25 1 应填2n 1 , 32 考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。 如“逐差法”若an an n,且a11 ；我们可把各个差列出来进行求和, 可得到数列 an的通项. ananan 1an 1 n n 1 a2 a1atn n 1 L 2 1 - 2 再看逐商法”即 an 1 a

8、n 1且a1 1，可把各个商列出来求积。 n 2 L 2gln! an -agang_ 龚81 an 1 an 2a1 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，禾U用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例3 .（ 2007年北京卷理） a1 数列a中，a12,an 1an cn （ c是常数，n1,2,3,L），且a“a2,a?成公比不为1的等比数列. （I）求c的值；（II）求a的通项公式. 思路启迪：（1 ）由印，a2, a3成公比不为1的等比数列列方程求 c ； （2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写

9、出满足前4项的该数列的一个通项公式. 解：（I） a12， a22 c， a32 3c， 因为a“ a2， a3成等比数列，所以（2 c）2 2（2 3c），解得c 0或c 2 . 当c 0时， Xn Xn 1 X1. 2 n 1 1 2 n 2 1 , 1 X 6 2 21x1 ，从而 X13. 2 6 小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续 两项递推ankan-1 d n 2,k1，可转化为 k an 1 ；对连续三项递推的关系 an 1 kan dan-1 n 2 如果方程x2 kx d=0有两个根、，则上递推关系式可化为 an 1

10、anan 3n 1 或 3n 13n3n 3n 1 . 考点3数列的通项an与前n项和Sn之间的关系与应用 an与Sn的关系：anS1n=1，数列前n项和 （II）对任意给定的正整数 n （n 2），数列bk满足 蚣 k n (k 1,2, ak 1 n 1), bi1.求 bid bn . 思路启迪：注意利用bk 邑 J L色b解决问题. bk i bk 2 b 1 解：(i)当 k 1，由 a1 S-ia-ia2 及 a1 1，得 a2 2 . 2 当k 2时，由akSk Sk i 1 akak 1 2 ak k，得 ak( ak 1 2 ak 1)2ak. 因为ak 0，所以ak 1ak

11、 1 2 从而a2m 1 1 (m 1) 2 2m 1. 16 / 19 j (即前面 .记排 、a5,并 2 1 n(n 1) 2 例15 .设f(x)是定义在(0,)上的单调可导函数 .已知对于任意正数 X，都有 f f (x) X 丄，且 f(x) a2m 2 (m 1) 2 2m，m N* .故 ak k(k N*). (n)因为 ak k , 所以 bk 1 n k n k bk ak 1 k 1 所以bk- bk b 1 匹b1 (1) k 1 (n k 1)(n k 2) 1 bk 1 bk 2 bi k (k 1) 2 1 k 1 1 k (1) C n(k 1,2, ,n).

12、 n 故d b2 bs L bn 1 C1 Cn Cn C； L (1)n 1 n Cn n S Cn C1 Cn C2 C n ( 1)n C； 1 n n 考点8数列综合应用与创新问题 数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析 问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊 到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 例14 . ( 2006年湖南卷)在m ( m2)个不同数的排列 P1P2Pn中，若1 P 某数大于后面某数)，则称 Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的

13、逆序数 列(n 1)n(n 1)321的逆序数为a.,如排列21的逆序数a1 1，排列321的逆序数a3 6.求 写出an的表达式； 命题目的：考查排列、数列知识 过程导引：由已知得 a410, a515 , an n (n 1) f(1) a 0. (I)求f(a 2)，并求a的值； (n)令a 丄 n N，证明数列 a是等差数列； n f(n) ，求证: (川)设kn是曲线y f(x)在点(n2, f(n2)处的切线的斜率(nN )，数列心的前n项和为s 4Sn2. 解答过程： (I)取 X 1,f (a 2)1 ； 思路启迪：根据已知条件求出函数 a 再取 x a 2 f (1) a a

14、 a 2 则a 2，或1 (舍去) (n)设 f(x) t，则 f(t 1，再令 t f(1 冷)t f (X), 2 , X t 2 X 即 Xt2 t 0, t 2,或 1 x x f (1) a 0 , 则 f (X) t -, an X 1 an 1 an , n 2 N，所以 an 是等差数列. (3)由(2) f(x) f (x) knf (n2) 所以 Sn 2(1 又当n 2时, kn (n 1)n 1)， n 则Sn 1 21 (1 R 1 1 (2 3)L 21 (1 1 -)4， n f X的关系式，求出an的递推关系式然后可求解题中要求. 22 故 4 Sn 2. 例1

15、6 .( 2007年广东卷理) 已知函数f (X) X2 X 1 , 是方程f(X)=0的两个根( ),f (X)是 f(X)的导数；设 a11 , an 1 an-(n=1,2,) f (an) (1) 求，的值； (2) 证明：对任意的正整数 n,都有ana ； (3) 记bn In如(-=1,2,)，求数列bn的前-项和Sn . an a 思路启迪：(1)注意应用根与系数关系求，的值；(2)注意先求f(x) ; ( 3 )注意利用，的关系. 解：(1 )f(x)x2 x 1,是方程 f(x)=0 的两个根()， 1 751 亦 13 / 19 (2) f(x) 2x 1, an 1 2

16、彳 anan1 an 2an 1 1 15 an(2an 1)(2an 1) 一 2 44 2an 1 =!(2a 4 1) 2an 1 ai 由基本不等式可知 a2 厉 1 恃-1 0 (当且仅当 ai 5 1 时取等号)， a2 0 同, a3 (3) an 1 an (an 1 2 _)(an 2an ,an 別(an 1 2an 1 an 1 (an 同理 an 1 2an 1 (n=1,2,) )，而 2 1 -,tn 12bn，又 b ln 1 2ln S 2(2n 1)lny5 - 【专题训练与高考预测】 选择题 a3+ a 5的值等于( 1.已知a n 是等比数列，且 a n

17、0 , a 2 a 4 +2 a 3 a 5+a 4 a 6=25 ,那么 A.5 B.10 C.15. D.20 2.在等差数列an中, 已知 a1 +a 2 +a 3+a 4 +a 5= 20 ,那么 a 3 等于( A.4 B.5 C.6D7. 3.等比数列an的首项 a1 = 1,前n项和为Sn,若鱼 31 32 lim Sn等于( n B. I C.2 D. 2 4.已知二次函数 y=a(a+1) x2 (2a+1)x+1，当 a=1 , n,时，其抛物线在 x轴上截得的线段长依 次为d 1,d2，,dn,，贝V lim n (d 1+d2+dn)的值是( A.1 B.2 C.3 D

18、.4 25 / 19 二.填空题 5已知a,b,a+b成等差数列, a,b,ab成等比数列，且 0log m(ab)0,S130且a丰1),记Sn是数列an的前n项和，试比较 Sn与 bn 1 log abn+1的大小，并证明你的结论. 3 19. 某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工 作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金b元，然后再将余额除以n发给 n 第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设ak(1 ak+i(k=1,2,n 1),并解释此不等式关于分配原则的实

19、际意义； 发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b,当n变化时，求|jm Pn(b). 【参考答案】 一 选择题 1.解法一：因为a n是等比数列，设a n的公比为q，由a n 0知q0， 因 a 2 a 4 +2 a 3 a 5+ a 4 a 6=25， 所以，a 1q a 1 q 3 +2a 1q2a1q4+a1q3a1q5 =25， 即az2 （ 1+ q 2）2=25， a2（ 1+ q 2）=5， 得 a 3+ a 5= a 1q 2 +a 1 q 4 = a 1q 2 （ 1+ q 2）=5 .故选择答案 A . 解法二：因a n是等比数列，a 2 a 4 = a 2，a 4

20、 a 6= a 5 ， 原式可化为 a2 +2 a 3 a5+ a 5 =25,即（a3+ a 5）2 =25. 因an0, a3+ a5= 5 ,故选择答案A 2解法一：因为a n是等差数列，设其首项为a 1，公差为d， 由已知 a 1 + a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 20 有 5 a 1 +10d = 20 ， a 1 +2d = 4,即a 3= 4.故选择答案 A. 解法二：因a n是等差数列，所以a1 + a 5= a 2 + a 4 =2 a 3 ， 由已知 a 1 +a 2 +a 3+a 4 +a 5 = 20 彳得 5 a 3 = 20 ， a 3 = 4. 故选择

21、答案A 3.解析：禾U用等比数列和的性质.依题意，S10 31，而a1= 1,故q工1, Sw S531 32 丄,根据等比数列性质知S5, S532 S10 S5, S15 S1o, 也成等比数列，且它的公比为q5 S5 32 32 q5= 丄，即q= 1 32 2 a1 2 lim Sn n 1 q 3 故选择答案B. 4.解析：当 a=n 时 y=n（n+1）x2 （2n+1）x+1 由丨 X1 X2 I = 一，得 dn=1, an（n 1） d1 +d2 +d n lim (d1d2 n 故选择答案 1,111 1 n(n 1)223 1 lim (1)1. n n 1 丄1丄 n

22、1 n, 1 dn) A. 二、5.解析：解出a、 b,解对数不等式即可. 故填答案:(s ,8) 6.解析：利用S奇/S偶=n 1得解. n 故填答案：第11项aii=29. 7解析:设Cn |Zn 1 I(1 SnC1C2 Cn 1 21 .2 n P _2 2 f2 n 1 () 2 2 nim Sn212 故填答案：1+二 8.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列an，可得 an = 旦,正三角形的内切圆构成等比数列rn, 2- 可得rn=仝丄a, 6 2n 1 这些圆的周长之和 c= lim 2 n (门 +2+ + rn)= 3 3 n2 a2, 面积之和S= lim n n

23、 (n 2+r22+ +rn2)=_a2 9 故填答案：周长之和 口 n a,面积之和_a2 9 (1 b) 9.解析：第一次容器中有纯酒精a b即a(1 b)升，第二次有纯酒精a(1 P) 乳b，即a(1 卫)2 aaaa 升，故第n次有纯酒精a(1 P)n升. a 故填答案:a(1 b)n a 10.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列, - a5=95933(1+7.3%) 4 120000(亿元). 故填答案:120000. 三、11.解：因为an为等比数列，所以S10, S20 S10, S3。一 S20是等比数列. 即

24、5, 15 5, S30 15 是等比数列，得 5 (S30 15 ) =10 2 , S 30 =35. 12. 解：设等差数列an共有 2n 1 项，S ,=80 , S2=75，则 L = J =_8 = , S2 n 17515 得n=16，所以2n 仁2 X 16 仁31即此数列共有 31项. 又由a n的项数为2n 1，知其中间项是 an ,故a. = S 1 S 2 =80 75=5 , a 16 =5. 13. 解：设等差数列an中，前m项的和为Sm，其中奇数项之和为S1，偶数项之和为 S?，由题意得 S m=77 , S 2=33 , S 1 = S m S 2 = 44 , 令 m=2 n 1 贝 V ! = _ =-，得 n =4 , S2n 1 3 m=7 , a 4 =S 1 S 2 =11，又 a 1 a 7 =18 ,得首项为 20，公差为3 , 故通项公式为 a n = 3 n+23. a3 a1 2d 12, 14. (1)解：依题意有：12 11 512 12ai d 0, 2 c13 12 513 13aid 0. 2 解之得公差d的取值范围为 竺v d v 3. 7 (2)解法一：由d v 0可知a1a2a3a12a13,因此，在S1, S2,，S12中Sk