2021年山东省烟台市高三3月(一模)数学试题(文

1、【市级联考】2021年山东省烟台市高三3月（一模）数学试题（文）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1. 设复数Z满足(l-)z = 2z,则Z=()A-l+iE-l-iC. 1+iD 1-i2. 若集合 M = x x 1, N = xZ0x4,贝 IJ(CRM)CN=()A. 0B. 0,lC. 0,l,2D. 2,3,43. 在矩形ABCD中，网卜4,4D = 2.若点M，N分别是CD, BC的中点, 则丽顾=()A. 4E. 3C2D. 1(I4函数/（x）是定义在R上的奇函数- =1,当x0是“- + 2 ”的( Cl bA.充分非必要条件C.充要条件B必要非充分条件D.既非充分也非必

2、要条件JrJr8. 己知函数/(x) = sm(x+ 0, 3 Sin ACOSC + (3 SinC+ b)COS A = O,则角 4=()A,2rT6D.5611.已知圆锥曲线 Cl: mx2 + ny2 = 1(/7 m 0)与 PX求证：平面CE7/平面ADFX-Qyl =l(p0,f70)的公共焦点为人，& 点M为G，G的一个公共点，且满足ZF1MF2 = 90 ,若圆锥3曲线G的离心率为则G的离心率为()A.B-D.12 =-+-T-T则使不等式*7o成立的X的最小整数为(二、填空题13. 已知函数/(x) = 2t,则在0,10内任取一个实数厂 使得/()16的概率是3x+y-

3、3014. 己知X, V满足约束条件0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于4 , B 两点.当直线与X轴垂直时，AB=4. + r+4x-5 = 0的弦43的中点为(一口)，直线交X轴于点P,则PAPB的值为16. 若定义域为R的函数/(x)满足/,() /(x),贝怀等式e(lx)-V(I) 0的解集为 (结果用区间表示).三、解答題17. 已知等差数列g”的公差是1,且aa9成等比数列.(1)求数列给的通项公式；18. 如图，四边形ABCD为矩形，A，E. B,尸四点共面，且，诚和zW5尸均 为等腰直角三角形，ZBAE = ZAFB = 90。.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率

4、为1且与抛物线的准线/相交于点M，抛物线C上存在点P使 得直线PM , PB的斜率成等差数列，求点P的坐标.20. 2021年2月13 口西安市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利, 培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解 条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200名学生每周阅读时间X （单位： 小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为6.5,7.5）,7.5,8.5）的学生中抽取9名参加座谈会.（/）你认为9个名额应该怎么分配？

5、并说明理由；（）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多.请根据200名学生的调研数据，填写下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足& 5小时）与“是否理工类专业”有关？（精确到0.1）阅读时间不足8. 5小时阅读时间超过8. 5小时理工类专业4060非理工类专业H(Qd _ be)，附： Kj= ( n = a + b+c+d )(a + b)(c + d)(c + c)(b + d)临界值表：PKAkO)0. 1500. 1000. 0500. 0250.0100. 0050. 001参考答案1. A【分析】(l-i)z = 2i【详解】 由(I-Z)

6、Z = 2/得 Z = -L = i(l + i) = -l + i,故选 A.I-Z【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.2. B【分析】先求出集合N,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】N=0, 1, 2, 3, 4, sM= xxl;：(rM) n=o, 1.故选B.【点睛】本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题.3. C【解析】【分析】本题可以以而，丽两个向量作为基底向量用来表示所要求的丽，M然后根据向量的性质来运算，从而得出结果.【详解】由题

7、意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：AM = M5 + DM = AD + 丄莎2顾0 一丽=押一扫一挥+押一抨+和.AM-MN = AD + -AB-AD+ -AB知砌+扫耐一存+存6 = 2.故选c.【点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数屋积的运算，属基础题.4. D【分析】由函数是奇函数,结合/ j = 1，求出/ (一苗的值,且给出了当XVo时的解析式,代入计算出加的值.则 /(-)=-d)=-,又由当OO【详解】 由题意知函数/(x)是定义在R上的奇函数，/ - =1,O)+ m = -3 +w = -l,即 m = 2,x0W, /(x) = log2(-x)+z?,所

8、以/(-1) = Iog2 AOO故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性，由奇函数的性质即可计算出结果,较为基础.5. D【分析】由任意角的三角函数的定义求得Sin8,然后展开二倍角公式求cos29【详解】45解：角&的顶点在原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过点(-3,1), /. IoPI = io,则 cos20 = I- 2sinz = l-2故选D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题.6. C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟计算即可.【详解】解：当a = L, b = 2 时，S = Qb = 2, S b = 2 , S = b = 2

9、x2 = 4, SvI OO 成立，则 a = 2 b = 4, S = ab = 24 = 8 Svloo 成立，则 = 4, b = 8, S = cb = 4x8 = 32, SVlOo 成立，则。=8, b = 32, S = = 8x32 = 256, SVl00不成立，输出b = 32,故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键.7. B【解析】【分析】结合充分必要条件判定，相互互推，即可得出答案【详解】解：由-+ y 2 ,得：0, a bab故 abAO 且 ab,故“ab0 “是“2 +? 2”的必要不充分条件，a b故选B.【点睛

10、】本道题考查了充分必要条件的判定规则，判定两个结论之间的关系，即可得出答案.8. C【解析】【分析】由周期求出Q ,利用函数y = ASln(ex+卩)的图彖变换、图象的对称性求出0的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图彖和性质，得出结论.【详解】T函数/(x) = sm(处+ )(O, 3 Sin ACOSC + (3SinC+ b)COS A = O,可得 JJdSInB =-bcos4 ,再由正弦定理得到tan4 =至，结合范围4g(0,tt),即可求A的值.【详解】T a = I9 VJ Sin A COS C + (3 Sm C+ b) COS A = O， 3 Sln A CO

11、S C + 3 SnI C COS A = -b COS A， 3 Sin(A + C) = JSinB = -bcos A ,/书CI SIn B = -b COS A ,由正弦定理可得：-VSiIIASllI = -SinCOS A ,T sin B O, 3 SlIIA = -COSA ,即:故选D.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式等即可，属于基础题.11B【解析】【分析】 设MF1 = S9 MF2=t9由椭圆的定义可得s + t = 2al,由双曲线的定义可得s-t = 2a29 运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求G的离心率.【详解】Irl nP

12、q 设=，a- = F ,MF】=S , MF2 = t, 由椭圆的定义可得s + t = 2al 9由双曲线的定义可得S-/ = 2.解得s = cl+ a2, t = ai-a2, 由ZF1MF2 = 90 ,运用勾股定理，可得即为 aj a22 = 2c2,由离心率的公式町得,3故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于 常考题型.12. D【解析】【分析】 根据题意,求出/的导数,利用等比数列前项和公式分析可得广(X)0,进而可得/(X) 在/?上为增函数，求出/(-1)与/(一2)的值，由函数零点判定定理可得/(x)在(-2,-

13、1) 存在唯一的零点，设其零点为/,据此可W(-v-l)0=-lz=r+l,分析/的取 值范鬧即可得答案.【详解】r3r7V91VB根据题意，函数/() = 1+X-+ ,其导数35791113广(X) =I-X2+4-X6+X3-X1q+ X12 ,x0时，f(X)可以看成是1为首项，-疋为公比的等比数列，1 - YM 则有广(X) = I-X2+ 4-6+ 8-X10+ 2 = 1+ o,l + x函数/(Q在R上为增函数，又由 /(-i)=(-i)+(l-i)(l-l)(l-l)o,/(-2) = 1 + (-2) +2 25| f27 29、f211 21+Ul 13 丿O=x-lt=

14、xf-i-l,又由2 t 贝!jlvf + lvO,故不等式/U-1) 0成立的X的最小整数为0；故选D.【点睛】本题考查函数与不等式的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于常考题型.13. 0.6【分析】根据指数函数的性质求解不等式2 16,求得4,利用几何概型概率公式可得结呆.【详解】因为 /(-v)16,所以 2x16,x4,即4x10,则在0,10内任取一个实数心，使得/() 16的概率P =护专= = = 0.6,故答案为0.6 .10 V IV J【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、 角度型、面积型、体积型，求与长度有关的

15、几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件 的长度14.【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用乙的几何意义，即可得到结论的对应的平面区域如图:由 Z = 2x+yy = -2x+z 9平移直线y = -2x+z,由图象可知当直线y = -2x+ Z经过点A时，直线的纵截距最小,此时乙最小，由3x+y-3 = 0 I -y=0解得人3 3 9 此时 = -2 + - = -,4 4 4Q 故答案为：二4【点睛】 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问 题的基本方法.15-5【解析】【分析】由己知先求人疋，然后根据圆的性质可求忍 写出43所在直线

16、方程，联立方程可求4,B,然后根据向屋数屋积的坐标表示即可求解【详解】设 M (1,1),圆心 C(2,0),根据圆的性质可知，kAB=-X9 AB所在直线方程为y=-(+i),即+y = o,联立方程ZV 可得，2j+4x-5 = 0,x+ y = 0设 A(Xnyl), B(x29y2),则 XI =-,2令y = o可得 P(0,0),PA pE = XLX2 + y2 = 2x1x2 = -5 ,故答案为-5.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.16. (Oe【解析】【分析】由题目要求解的不等式是(hx)-V(l)(),可知函数g(Q

17、是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集.【详解】令讣与e则*)=3凹，因为f)/ W,所以g()o,所以，函数g()为(Yg)上的增函数，由 (lnx),s)上的增函数，所以InXV 1.所以不等式的解集是(0,e).故答案为(0疋).【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法,解答此题的关键是联系要求解的不等式, 构造出函数g(x) = 理，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的 单调性.此题是常考题型.2 -I-卩？17. (l)alt=n. (2) Tn = 2-【分析】(1)根据已知条件，等比数列的性质和等差数列的通项公式建立方程可求得等

18、差数列的首 项，从而求得等差数列的通项公式；(2)根据错位相减法町求得其和.【详解】(1)因为陽是公差为1的等差数列,且arai,a9成等比数列, 所以a; = ala9,即(al +2)2 =1(1+8),解得1 = 1.所以 an=al + (-)d = n.(2) A = IxGy + 22 + 3($ + ()n , 轧=1x($+2x($+ + 仃 两式相减得TlI =(1 +1所以丄7；=，U X (1)h1 =I-二2 I_j_22 2,+12所以人=2_竽.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的基本性质和通项公式，以及运用错位相减法求数列的前项 的和，属于基础题.18. (1)证

19、明见解析；(2)3【分析】(1) Fh四边形ABCD为矩形，得BC/AD ,再由线面平行的判定可得BC7 /平面ADF.再 由已知证明AF/BE.得到BE/平面ADF 然后利用平面与平面平行的判定可得平面 BCE/平面 ADF；(2) 由ABCD为矩形，得C丄AB,结合面面垂直的性质可得BC丄平面AEBF,由已 知结合等积法求三棱锥A-CEF的体枳.【详解】(1)证明：I四边形ABCD为矩形,：BCIlAD,又BC(Z平面ADF ADu平面ADF,：BC/平面ADF.ABE和AB尸均为等腰直角三角形，且ZBAE = ZAFB = 90。, ZBAF = ZABE = 45,： AFHBE,又B

20、E(Z平面ADF AFU平面4DF, BE/平面4DF，： BC/平面 ADF 3E/平面 ADF，BCnBE = B ,平面BC7/平面ADF；(2)解：V ABCD为矩形,：BC丄43, 又平面ABCD丄平面AEBF, BCU平面ABCD, 平面 ABCDn平面 AEBF = AB，Be丄平面AEBF,在, AF = L ： AE =忑、.SAAF=-AF-AE-SmI35 =丄12-=-.MEF 2222 S 三棱钳A-W =迤棱锥 C-W =亍 SsAEF BC = -2 = .【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想彖能力与思维能力，训练了利用等积法求多面 体的体积，是中档题

21、.19. （1） y2=4x; （2） P（l,2）【分析】（1）由题意可得IABi=2p = 4,即可求出抛物线的方程,v = 4,（2）设直线的方程为y = x 1，联立消去X，Wr-4y-4 = 0,根据韦y = X-I达定理结合直线PA, PM , PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【详解】解：（1）因为尸（彳,0）,在抛物线方程y2=2px中，令X =与,可得y = P.于是当直线与X轴垂直时,B27 = 4,解得P = I 所以抛物线的方程为y2 = 4x.（2）因为抛物线y=4x的准线方程为x = -l,所以M（1,2）.设直线AB的方程为y = -i,y2 = 4x,联立

22、T 消去得r-4y-4 = 0.Iy = X-I设 AaX），3（也，儿），则）i + ）=4, ）1儿=一4 若点P（XO，y）满足条件，则2kpM=%+kpB,即2)0 + 2_比一为I北一比 + l 人)一人 XO-W因为点Pr, B均在抛物线上,=代入化简可得2()。+ 2) _ 2儿 + X + 比用+4 yo2+( + y2)yo + y2将X + %=4, y1y2= 4代入，解得y0 = 2.将儿=2代入抛物线方程,可得A0=I.于是点P(l,2)为满足题意的点.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，属于中 档题.20. (1)9,

23、(2)(/)每周阅读时间为6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为7.5,&5) 的学生中抽取6名.理由见解析，(H)有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工 类专业”有关.【分析】(1) 取各区间中点值乘以频率再相加即得；(2) (1)两组差异明显，用分层抽样计算.(11)求出两组的人数，填写列联表，计算K，可 得.【详解】(1) 60.03 + 70.180.2+90.35 + 100.19+ll0.09+120.04 = 9(2) (i)每周阅读时间为6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为7.5,8.5)的学生中 抽取6名.理由：每周阅读时间为6.5,7.5)与每

24、周阅读时间为7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样 本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两 者频率分别为0.1, 0.2,所以按照1:2进行名额分配di) 2x2列联表为：阅读时间不足& 5小时阅读时间超过8. 5小时理工类专业4060非理工类专业2674 4.4 3.841,200 (40 74-26 60)66x134x100x100所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，考查独立性检验属于基础题21. (1) 6x-y-10 = 0; (2)当GSO时，g(x)在Y严)上单调递

25、增，无极值；当。0时，g(x)在(-叫和(fa,+)单调递增，在(-ya.ya)单调递减，极人值为g(-五)=(2ya + 2)尹 + -Ci2,极小值为 g(4a) = (一2亦 + 2)e而 + -Ci2 44【解析】【分析】 求出函数的导数，计算/(2), /(2)的值，求出切线方程即可； 求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出函数的极值即可.【详解】(1)由题意 f XX) = XI- ClX ,所以当 G = I 时，/(2) = 2 ,厂(2) = 6,因此曲线y = /(x)在点(2 J(2)处的切线方程是y 2 = 6(x-2),即 6x-y-Io = 0.

26、当 x(yq,1)时，N(X)V O , ?(X)单调递减，当 x(l,+oo)时,h,(x) 0, /?(x)单调递增，所以当x = l 时，7(x)mm = ?(I) = 0,也就说，对于x?恒有2(X)O.当 a 5 0 时，g(x) = (x - a)h(x) 0 ,g(Q在(o,+0时，令g(x) = O,可得X = ya .当X 血,g,(x) = (x2-a)h(x) 0 , g(x)单调递增,当一五x 茴,g(x)0时，g(x)在(-,-ya)和(,+8)单调递增，在(-ya,ya)单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为 g(-JG = (2& + 2)e + 2*4极小值为g( J7) = (-2需+ 2)e石+ -a2.4【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题.22. (1) /的普通方程为x + 3y + 2 = 0;曲线C的直角坐标方程x2 + 2y2 = 8 (2) 42【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.(2)将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得5广-12J矛-4 = 0,再利用一元二次方 程根和系数的关系,利用直线参数方程t的几何意义求