第1章典型题讲解

1、第1章辅导向量方法典型题讲解若向量a，b，计算a与b的模长，内积和夹角解 理论 a，模aabab b，内积ab ，夹角余弦 |a|, |b|, ab, 2若向量a，b，计算ab解 理论 i j kab = ab3三角两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半证明关键用表示或用表示 理论 a，b，c构成三角形时， abc如图所示，设a，b，c，则abc，于是cab cabaa说明，且 4以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形证明公式a，b，c构成三角形时，abc如图，设c，a，b，则abc设分别为三边的中点，则a，b ， c ，abc（abc），即，以中位线，为边可作成一个三角形5试证明，

2、以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形证明理论a，b，c构成三角形时，abc如图，设c，a，b，则abc设m，n ，l，则以m，n，l为边可作成一个三角形当且仅当mnl在中 mca在中 nab在中 l bc以上三式相加得mnlabcabc于是三条中线构成三角形填空题）在仿射变换下梯形变成（） ）仿射变换把平行四边形变成（） ）仿射变换把三角形中位线变成（）仿射变换把三角形重心变成（）在仿射变换下，矩形变成（）仿射变换把圆变成（）仿射变换把圆心变成（）仿射变换把等腰三角形变成（）解 理论仿射变换性质：仿射变换保持简比不变仿射变换保持平行性仿射变换不保持角度不变答：）梯形）平行四边形）三角形中位

3、线）三角形重心）平行四边形）椭圆）椭圆中心）任意三角形2在实轴上，三点坐标分别为，求三点的单比解 理论用公式3设通过与两点的直线被直线截于点，求单比解 关键 求出交点，用公式 4求使三点，的对应点分别为，的仿射变换式解 关键 仿射变换把点变成时，把所有点带入后，解方程组，求出再代入即可代入三对对应点得解得带入仿射变换式，得到所求的仿射变换式 5求使直线的每个点不变，且把点变成点的仿射变换解 关键 在直线上再任取两点，这两点保持不变，即对应点仍分别是这两点，三对对应点唯一确定一个仿射变换。理论 仿射变换把点变成时，把所有点带入后，解方程组，求出再代入即可设所求的仿射变换为，在直线上任取两点，则所

4、求的仿射变换把三点，分别变成点，将这三对点代入仿射变换式得 解得 因此，所求的仿射变换式为1填空选择题）射影对应把平行四边形变成（）射影对应把矩形变成（）射影对应把梯形变成（）射影对应把三角形中位线变成（）射影对应把三角形中线变成（）解理论）平行性质不是射影性质，在中心投影下会改变）单比不是射影性质，在中心投影下会改变）距离（长度）不是射影性质，在中心投影下会改变）角度不是射影性质，在中心投影下会改变答：）任意四边形）任意四边形）任意四边形）相交于两腰的任意一条直线）过这个顶点和对边上任意一点的直线2设，为三条定直线，为二定点，其连线过，点为上的动点，且直线，分别交，于点，求证：通过上一定点证

5、明关键 这个题目是要证明的连线通过上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”理论 相交于影消线上的二直线，其象为二平行直线取所在直线为影消线，经过中心投影之后，为无穷远直线，如图2所示， 则，为平行四边形于是 ，所以 因此，与的象交于无穷远点，所以，与相交于上一定点3证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点证明理论 笛沙格定理：1如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上2如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点如图所示，若三点形与的对应边 与的交点，与的交点，与 的交点共线，考虑三点形，由于与，都交于点，由笛

6、沙格定理，三组对应边的交点， ，共线，于是，共线4设，为完全四点形的顶点，（与的交点为），试证： ，共线证明理论 笛沙格定理：1如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上2如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点如图所示在三角形和中，对应顶点的连线，共点于，由笛沙格定理，对应边的交点，共线5试求出下面各点的齐次坐标（1）以为方向的无穷远点（2）上的无穷远点解 （1）理论 一组直线上的无穷远点的齐次坐标为.于是，以为方向的无穷远点的齐次坐标为（2）理论 与表示同一个无穷远点的齐次坐标，即平行线相交于同一个无穷远点为一组直线上的无穷远点的齐次坐标，因为平行于，所以

7、上的无穷远点为注意 平面内一组平行线相交于同一个无穷远点所以，可以利用来求上的无穷远点6若存在，求下列各点的非齐次坐标；解 关键 利用齐次坐标和非齐次坐标之间的关系，取注意 无穷远点没有非齐次坐标由于的，所以是无穷远点，而无穷远点没有非齐次坐标7求下列各线坐标所表示的直线方程；解关键将线坐标代入直线方程即得到直线方程将代入得直线方程，即同理得到其它线坐标的直线方程，依次为；8求两点与的连线的坐标解关键利用两点与的连线的方程为 两点，的连线的坐标为代入得于是，所求坐标为，或1已知和的齐次坐标分别为和，求直线上一点，使，若，求出解理论利用非齐次坐标与齐次坐标之间的关系，和简比公式这时，设，利用则，

8、解得，解得即，点的齐次坐标为因为，所以 说明），代入点得，运算得，解得，于是）将代入，得，是否矛盾？实际上，与表示同一点的齐次坐标注意以为基点的点列中，任何一点都可以表示为，用齐次坐标可以表示为实际是2已知直线与，求过两直线的交点与点的直线方程解 理论 两直线与的交点为 两点与的连线为 注意两直线与的齐次坐标形式分别为，交点为于是，过点与点的直线方程为 即 ，或 3设三点的坐标分别为，且，求点的坐标解理论 定理4.6，四直线，若，则因为，则由，于是设，已知，于是得，所以 注意 以为基点的点列中，任何一点都可以表示为，用齐次坐标可以表示为4求证，成调和共轭解 注意可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种

9、方法解法理论 四点，成调和共轭的充要条件是所以，成调和共轭5设是完全四点形的对边三点形，分别交于，不用笛沙格定理，证明共点证明理论利用定理4.9完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个点如图，对四线形，根据定理4.10可知，在对角线边上的四点调和共轭，即在四点形中，与交于，设与交于，由定理4.9可知，过对角点有一组调和线束，即、和、，于是，所以，点应与点重合，即共点6若三角形的三边AB、BC、C A分别通过共线的三点P，Q，R，二顶点与C各在定直线上移动，求证

10、顶点A也在一条直线上移动证明理论利用定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共线自对应定义4.10若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应如图所示，取为透视中心，则，于是在这两个射影线束中，是自对应元素，所以，由定理4.15， ，由定义4.10，两个透视对应的线束对应直线的交点共线，即顶点A也在一条直线上移动1求通过点，的二阶曲线方程解关键把点代入解方程组即可将已知五点的坐标代入上式得 解方程组得 ， ， ， ，所求二阶曲线的方程为，即2求由两个射影线束，决定的二次曲线的方程解关键代入求解即可两个线束可以写成消去，得所求二次曲线为如果化成非齐次形式，只需

11、利用理论利用公式，消去即可如果利用公式，则，即，这就得到了二次曲线的非齐次形式3求点关于 二阶曲线的极线解关键将点及系数代入极线方程即可代入得整理即得所求极线方程4求直线关于的极点解理论利用因为，所以，（为元素的代数余子式），于是即所求极点的坐标为5求二次曲线在点（1，2，1）的切线方程解理论如果点在二次曲线：上，则在这一点的切线方程为即由于，说明点（1，2，1）在二次曲线上因此，所求切线方程为即6求二阶曲线的中心解理论二次曲线的中心为因为于是，因此，中心坐标为，或写成非齐次坐标7求二阶曲线过点的直径解理论二次曲线：的直径为其非齐次坐标形式为注意二次曲线是以非齐次坐标形式给出的，其中， ，代入

12、直径公式的非齐次形式得代入非齐次坐标的点得于是将代入，得直径为填空练习1若向量，首尾相连构成三角形，则_，_2设向量，则的充分必要条件是_ 3. 仿射变换把梯形变成_ 4. 正方形在仿射对应下的象是_5. 仿射变换把菱形变成_ 6直线上无穷远点的齐次坐标为_ 7点的非齐次坐标为_8轴的齐次线坐标为_ 9轴上无穷远点的齐次坐标为_10若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成_11两个点列间射影对应由_对对应点唯一确定 12射影对应把三角形中位线变成_ 13命题“三直线两两相交”的对偶命题是_. 14三个点、共线的条件为_ 15给定无三线共点的_条直线，可决定唯一一条二级曲线 16三直线

13、， ，共点的充要条件为 _ 17射影对应把矩形变成_ 18设二次曲线与无穷远直线相交于两点，那么以交点为切点的切线是二次曲线的_ 19.设是宥向直线上的三点，当时，简比_ 20. 平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做_ 21. “点和齐次坐标（）一一对应”的对偶命题是_ 参考答案11，3 21 3. 梯形 4. 平行四边形 5. 平行四边形6 7 8 9 10透视对应11三 12相交于两腰的任意一条直线 13三点两两定一直线14 15五 1617任意四边形 18渐近线 19. 20. 仿射平面21. 直线和和齐次线坐标（）一一对应单项选择练习1设是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A

14、 ）.A. B. C. D. 2设，若，则（C）A B C D3设，若，则（C）A B C D4点的线坐标方程为（ D ）. 5下列哪个量不是仿射不变量（D）A共线三点的简比 B两条平行线段的比C任意两个图形的面积之比 D两个三角形边长之比6以为方向的无穷远点的齐次坐标为（ A ） B C D 7直线上的无穷远点的齐次坐标为（A）8射影对应把梯形变成（D）梯形平行四边形菱形任意四边形9中心投影具有性质（ C ）A.保持平行性质 B.保持单比不变 C.保持交比不变 D.保持面积不变10在射影平面上，不同的两条直线 （ C ）A.可能有一个交点 B.没有交点 C.有且只有一个交点 D.有两个交点1

15、1若线束的四直线被任何一条直线截于四点，且，则（A）A BCD12若两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比（D）等于 不等 等于 相等13若线束的四直线被任何一条直线截于四点，且，则（D）A BCD14在仿射平面上，非退化二次曲线与无穷远直线有两个不同的实交点，则二次曲线是B椭圆双曲线抛物线圆15在仿射平面上，若非退化二次曲线与无穷远直线有一个实交点，则此二次曲线是（B）椭圆抛物线双曲线圆16两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题与欧几里得第五公设（A）等价矛盾无关以上都不正确17在欧氏几何内，直径对应的圆周角（ B ）A大于 B 小于 C 等于 D以上都正确18无穷远点关于

16、二次曲线的极线称为二次曲线的（D）A半径 B直径 C渐近线D切线19直线上的无穷远点的齐次坐标为（C）20. 两个不共心的成射影对应的线束，对应直线的交点全体是（ A ）.A一条二阶曲线 B一条直线 C一个点 D两个点计算题练习求过直线和交点与点的直线方程2. 求使三点，的对应点分别为，的仿射变换式3. 求使直线，分别对应直线，的仿射变换。1 设通过与两点的直线被直线截于点，求单比2 直线上三点坐标分别为，求三点的单比和值3 设三点的坐标分别为，且，求点的坐标7已知点和的齐次坐标分别为和，(1)求直线上一点，使；(2)若，求出 8设三点的坐标分别为，且，求点的坐标9求二次曲线在点（1，2，1）

17、处的切线方程.10求二次曲线过点的直径11求二次曲线的中心12求由两个射影线束和，（其中），决定的二次曲线的方程13.求由两个射影线束，（其中）决定的二次曲线的方程。14. 求通过点A=（1，-1，0），B=（2，0，-1），C=（0，2，-1），D=（1，4，-2）E=（2，3，-2）的二阶曲线方程。15. 已知二阶曲线上的五个点，利用巴斯卡定理作出第六个点。16. 求点（1，-1，0）关于二阶曲线的极线方程。参考答案解两直线与的齐次坐标形式分别为，交点为 于是，过点与点的直线方程为 即 ，或 2解 设仿射变换式为 将每对对应点分别代入仿射变换公式，得 解得 代入仿射变换式，得所求的仿射变换

18、式 3. 解 设所求仿射变换为 先求出交点的坐标A:B: C: 解得A(0,0),B(0,C(1,0) A,B,C的对应点分别为解得 于是由式得于是求得仿射变换为 4解 交点坐标为由 得 解得 于是 5解 6解因为，则由，于是 设，已知，于是得，所以 7解两点的非齐次坐标为，(1)设，由=，解得，同理 ，解得 即，点的齐次坐标为 11 因为，所以 8解因为，则由，于是设，已知，于是，所以 9. 解 由于612-22-2412+1121=0说明点（1，2，1）在二次曲线上， 故所求的切线方程为整理得 10解二次曲线的直径为其中 点的齐次坐标为，代入系数和点坐标得整理得所以所求直径为，或 11解二

19、次曲线的齐次坐标形式为因为 于是，所求中心坐标为 12解将第三式代入第二式并与第一式联立，得 消去，得所求二次曲线方程为 13. 解 两个线束为 即 消去得 即得所求二次曲线为 14. 解 设二阶曲线方程为 将A，B，C，D，E坐标分别代入上式，得 解方程组得 故所求二阶曲线方程为 即 15. 解 已知二阶曲线，上有五个点1，2，3，4，5 设12与45交于L，过L任作一直线p，23交p于M，34交p于N5M与1N交于一点6，据巴斯卡定理的逆定理知，点6为二阶曲线上的点。变动直线p，就得到二阶曲线上的其它点。12L356MN16. 解 二阶曲线极线方程为整理得将与的值代入，得（3-+0）+（-

20、5+0）+（2-+0）=0得极线方程为+3+=0证明题练习1用向量方法证明:如果三角形的一条中线垂直于底边，则这个三角形是等腰三角形2用向量方法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半3用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直4用向量方法证明三角形三条高线交于一点.5证明：过两直线，的交点与点的连线，与直线平行6证明：，成调和共轭7证明 点关于二次曲线的极线为.8. 设，为三条定直线，为二定点，其连线过点，为上的动点，且直线，分别交，于点，求证：通过上一定点9设A，B是直线l外两点，在直线l上任取两点P，Q，AP交BQ于N，BP交AQ于M，则MN通过AB上一定点.10 利用笛沙格定理

21、证明三角形的三条中线交于一点11 证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点12相交于点的两条直线、被三条不同直线截得三个四边形，如图所示，证明这三个四边形的对角线交点共线13. 设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三次透视就可以彼此转换即射影对应是三个透视对应的复合14. 已知点P不在二阶曲线上，求作点P关于二阶曲线的极线。参考答案1证明 设，分别表示三角形的两腰， 则（），于是 （）（）（） a b又因为，所以，因此，即|， 所以三角形是等腰三角形 2证明如图所示，设，则， 于是 说明，且3证明 设，分别表示菱形的两条邻边， 则它们的对角线分别为和，于是 （）

22、（） 又因为菱形的两邻边相等，即|， b 所以 （）（） a即菱形的两条对角线互相垂直 4. 证明 设三角形中边上的高分别为和，且和相交于点，连接并延长交于 在三角形AGC中，（1）已知是三角形中边上的高，因此，故， （1）式两边同乘以，即有 （2）同理，在三角形BGC中， （3）由于在三角形中，于是由（2）（3）式得 =0说明，从而，这说明三角形三条边上的高相交于一点。5证明直线，的交点为， 点与点的连线方程为. 即所求连线的坐标为，因为，所以直线与直线平行 6证明 可以验证四点在一条直线上. 7. 证明 曲线的齐次方程为点的齐次坐标为故极线方程为 解得 令 则点的极线方程为 8证明取所在直线为影消线，经过中心投影之后，为无穷远直线，如图所示， 则，为平行四边形 于是 ，所以 ，即四边形为平行四边形， 因此，与的象交于无穷远点，即由中心射影保持结合性不变可知，通过上一定点9. 证明：设与所在的平面为,选取平面与投影中心O，使得为上的影消线.ABCMNQ lP第9题图Q1P1N1M1设是直线上的另外任意两点