2019-2020学年人教A版广东省中山市高二第一学期期末数学试卷含解析

1、2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷、选择题1.“ X 0” 是“B.必要不充分条件A. 充分不必要条件C既不充分也不必要条件D充要条件则a8的值是（2.在等差数列an中，若 3+a2+a3= 3, a5 = 9,A. 15B. 16C 17D. 183.如图，在一个120的二面角的棱上有两点A, B,线段ACBD分别在这个二面角的两-,AC= 1, BD= 2,则CD的长为（）D. 44.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若 a2= 2, S6 - S4= 6a4 ,贝V a5=()A. 4B.1016D. 325.几何原本）卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了

2、后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CDL AB于点C,设AC= a, BC= b,直接通过比较线段 OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（）a+m aB. 厂亡: (al1 b0)C -D.6.已知A为双曲线2 2X y2 , a bl0s l0）右支上一点，F为双曲线右焦点，若厶AF（ O为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率为（D.- !7.如图，为了测量某湿地 A, B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C, D, E.从D点测得 ADC= 6

3、7.5 ,从 C 点测得 ACD= 45, BCE= 75,从 E 点测得 BEC=60 .若测得八L . ；, 一 . I （单位：百米），则 A, B两点的距离为（）A伍百米B刘豆百米C. 3百米D百米&设动点P到点A （- 1, 0）和B （1, 0）的距离分别为 di和d2, APB= 2 ,且存在常数 ( 0 vv 1),使得-I I , Luj.则动点P的轨迹C的方程为（）二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分.9. 若l,则下列结论中正确的是（）Sl b22233A. a V bB

4、. abv bC. a+ b| a+b D. a b10. 在 ABC中，角A B, C所对的边的长分别为 a, b, c,则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（A. Sin A+sin B= Sin C (cosA+cosB)2r taA aB.tanB JB a+cs-22cD. acosB- bcosA= C11. 已知点M(3, 0)和点N ( - 3, 0),直线PM PN的斜率乘积为常数 a (a0),设点P的轨迹为C,下列说法正确的是()A. 存在非零常数 a,使C上所有点到两点(-4, 0),( 4, 0)距离之和为定值B. 存在非零常数 a,使C上所有点到两点(0,-

5、4),( 0, 4)距离之和为定值C. 不存在非零常数 a,使C上所有点到两点(-4, 0),( 4, 0)距离之差的绝对值为 定值D不存在非零常数 a,使C上所有点到两点(0,- 4),( 0, 4)距离之差的绝对值为 定值12. 意大利数学家列昂纳多 ？斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列an满足：a= 1, a2= 1, a= a-+a.-2 (n 3, n N*).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前n项所占的格子的面积之和为Sl,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c,则下列结论正确的是

6、()A.B. a1 + a2+a3+an = an+2- 1C. a1 + a3+a5+a2n-1 = a2n 1D. 4 ( Cn c- 1)= 31-2? an+1三、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13. 命题P: ? X0 R, x2+2xo+5= 0是 (填全称命题”或特称命题”)，它是命题(填“真”或“假”) I *则X的值14. 已知点 M在平面ABC内，并且对空间任意一点为 15.已知直线I : X - y - m= 0经过抛物线 C: y2= 2px (p 0)的焦点，I与C交于A B两点若IAB = 6,贝U P的值为 16.若数列刘满足an+an+=一佑T(IlEN

7、*)，且前99项的和为 LL ,则aoo四、解答题：本大题共 6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，D是直角 ABe斜边 BC上一点，AB= AD 记 CAD=, ABC=.(1) 证明 Sin +cos2 = 0;(2) 若AC= 3DC求的值.18如图，两县城 A和B相距20km,现计划在两县城外以 AB为直径的半圆弧.订上选择一 点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城 A与城B的影响度之和，记 C点到城A的距离为Xkm建在C处的垃圾 处理厂对城 A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地

8、点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城 B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城 A和城B的总影响度为0.065 .(1) 将y表示成X的函数；(2) 判断弧,上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最 小？若存在，求出该点到城 A的距离；若不存在，请说明理由.19.已知数列a的前n项和Sn=3n2+8n, b是等差数列，且 a= b+b+1.(1)求数列a, b的通项公式;(anl+1(2)令匕二，求数列Cn的前n项和Tn.n Cf20.已知直线I : X - y+1 = 0与焦点为F的抛物线 C: y2= 2p

9、x (p 0)相切.(I)求抛物线 C的方程；()过点F的直线m与抛物线C交于A B两点，求A, B两点到直线I的距离之和的 最小值.21如图，四棱锥 P- ABCD勺底面是菱形，PQL底面ABCD Q E分别是AD AB的中点，AB= 6, AP= 5, BAD= 60.(1) 证明：AC PE;(2) 求直线PB与平面PQE所成角的正弦值；(3) 在DC边上是否存在点 F,使BF与PA所成角的余弦值为,若存在，确定点 F位置；若不存在，说明理由.22.已知圆 O的方程为2+y2= 4,若抛物线 C过点A (- 1, 0), B (1, 0),且以圆 O的 切线为准线，F为抛物线的焦点，点

10、F的轨迹为曲线 C .(1) 求曲线C的方程；(2) 过点B作直线L交曲线C于P、Q两点，P、P关于X轴对称，请问：直线 PQ是 否过X轴上的定点？如果是，请求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.参考答案、选择题：本题共 8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1“ X 0” 是“”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【分析】x 2化为: 0,解得X O即可判断出结论.解：X+ 2化为:K 0,解得 x 0.“X 0” ?“ X 2”，故选：D.2.在等差数列an中，若 a+a2+a3= 3, as = 9,则as的值是（A. 1

11、5B. 16C 17D. 18【分析】由已知直接利用等差数列的性质求解.解：在等差数列an中，由a计a2+a3= 3,得 3a2= 3,即卩 a2= 1,又 as= 9,. as= 2a5 a2= 18 1 = 17.故选：C.3.如图，在一个120的二面角的棱上有两点A, B,线段ACBD分别在这个二面角的两：,AC= 1, BD= 2,则CD的长为（C.23D. 4CD2, 然后求解CD的长.【分析】由】=+：+二T ,两边平方后展开整理，即可求得解：；尸卉 I，赤云抵證+丽2+2尿忑+2应而+2両？而，线段AC BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直,州町 ,AC= 1,B

12、D= 2,2 +丽2丑？而=1+2+4+2XLXzX *= 9,A. 4B. 10若 a2= 2,S6 - S= 6a4 ,贝V a5=(I 厂臼=3,B. 16D. 32【分析】禾U用等比数列的通项公式即可得出.解：由 S6 - S= 6a4,贝V a6+a5= 6a4得 q+q 6= 0,解得q = 2,从而, -LB i -.故选：C.5.几何原本）卷 2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CDLAB于点C,设AC= a,

13、 BC= b,直接通过比较线段 OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明” 为（）A bm _山 离0, 00) a+m aB- Ca+b 恥D , m 【分析】由AGCB= a+b为直径，由射影定理可得：CD= , ; I .即可得出.解：由AGCB= a+b为直径，由射影定理可得：CD=,. I，（a，b0）.故选：D.6.已知A为双曲线冬2 2-I _y_a bl0, b0）右支上一点，F为双曲线右焦点，若厶AFcX O为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率为（D- !【分析】禾U用双曲线的性质、正三角形的性质和面积公式和离心率的公式即可得出.解：由 POF是等边三角形，则边长均为c

14、,又线段OF的中点的横坐标为C, OF边上的高为_即有P (=c,代入双曲线的方程得3c2 *7?=1,A.,：百米DD.二.;百米【分析】根据题意，在 ADC中，分析角边关系可得 AC= DC= 2在厶BCE中，由正B _.百米C. 3百米弦定理可得BC的值，据此在厶ABC中 ,利用余弦定理分析可得答案.解：根据题意，在 ADC中 , ACD= 45 , ADC= 67.5 , DC= 2 ：,则 DAC= 180 - 45- 67.5 = 67.5 ,贝U AC= DC= 2 ：,在厶 BCE中, BCE= 75, BEC= 60, CE= _ 则 EBC= 180 - 75- 60 =

15、45,ECBCSinZEBCginZ BEC则有,变形可得BC=I一-SinZEBC在厶 ABC中, AC= 2 ：-：, BC= -, ACB= 180- ACD- BCE= 60 ,则 AB= AC+BC- 2AC? BC? CoS ACB 9,则 AB- 3;故选：C.&设动点P到点A (- 1, 0)和B (1, 0)的距离分别为 d1和d2, AP* 2 ,且存在常数( 0vv 1),使得I： ； . ： i . H - ：.则动点P的轨迹C的方程为()*/ 一1i22=d12d22-2d1d2cos26 ,即(常数)，所以点P的轨迹是以A, B【分析】在厶PAB中，I AB = 2

16、 ,则由余弦定理得:IdI-d2 I =-4d 1 d2in3 =2I- V 2为焦点，实轴长2a= 2I .的双曲线，方程为:解：在 PAB 中，IAB = 2,则由余弦定理得：护二d/十日/-加2产皿2 2 ,2sin2 O，即 IJ-L=W 7一 H I J. _!（常数），点P的轨迹是以A, B为焦点，实轴长2a= 2-的双曲线,方程为:故选：A.二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，有选错的得 O分，部分选对的得 3分.9. 若- I,则下列结论中正确的是（）3 bA. a2v b2B.abv b2C.|a|+|b| |

17、a+b|D.a3 b3【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD的真假，取特殊值可排除 C解：由丄丄F ,可知bv avO, b b2v a2, b2 ab, a3 b3,故 ABD正确；由一丈丄Vg取a=- 1, b=- 2可排除Ca D故选：ABD10. 在 ABC中,角A, B, C所对的边的长分别为 a, b, c,则满足下面条件的三角形一定 为直角三角形的是（）A. Sin A+sin B= Sin C (cosA+cos B)【分析】对于A,利用两行和的正弦公式，可将Sin A+sin B= Sin C（ cosA+cosB）化为CoSC（Sin A+sin B）= 0,从而可判断

18、A的正误；对于B,利用正弦定理可将化为sin2 A= sin2 B,从而可判断 B的正误；1+cosBSLnA+sinC22 SinCtanB 估2对于 C,由正弦定理与降幕公式可将cos=-化为：旦述一+丄，整理得Sin BCOSC= 0,从而可判断 C的正误；SsinC 2对于。，在厶ABC,由acosB- bcosA= G可得Sin BcosA= 0,从而可判断 D的正误；解：在 ABCi中, A+BC=,对于 A, T Sin A+sin B= Sin C( cosA+cosB) ? Sin ( B+C) +sin (A+C) = Sin C( cosA+cosB),. cos Csi

19、n BcosCsin A= 0,即 cos C (Sin A+sin B)= 0,在厶 ABCi, Sin A 0, sin B 0,. COSC= 0, C=,三角形 ABC为直角三角形，故 A正确；2 . 2*十 D 亠十X宀蚀也tanA 刊& C SirIA*csB SirL AZB. A . D对于B,由正弦定理得， =-z-?:_= ,整理得：Sin2 A= Sin2 B,XanBCnSAsnBSrIZg故2A= 2B或2A=- 2B,即厶ABC为等腰三角形或直角三角形，故 B错误;对于C,由正弦定理与降幕公式可将SinA 1+2sinC 2 ,el+coBsinA+sinC22 s

20、inC化为:整理得：SinGCOSB=SinA=Sin( BC)= SinBcosC+cosBsinC,即 Sin BCOSG= 0, cos G= 0, G=-,三角形 ABC为直角三角形，故 C正确;对于。，在厶 ABCi,由 acosB- bcosA= C 得：Sin ACOSB- Sin BCOSA= Sin C= Sin (A+B)=Sin Acos Bsin BcosA,整理得:Sin BCOSA= 0,其中 Sin B 0,故 cosA= 0,A=三角形ABC为直角三角形，故 D正确；AGD综上所述，满足上面条件的三角形一定为直角三角形的是故选：AGD11. 已知点M(3,0)和

21、点N (-3,0),直线PMPN的斜率乘积为常数a(a 0),设点P的轨迹为C,下列说法正确的是()A. 存在非零常数 a,使C上所有点到两点(-4, 0),( 4, 0)距离之和为定值B. 存在非零常数 a,使C上所有点到两点(0,- 4),( 0, 4)距离之和为定值C. 不存在非零常数 a,使C上所有点到两点(-4, 0),( 4, 0)距离之差的绝对值为 定值D不存在非零常数 a,使C上所有点到两点(0,- 4),( 0, 4)距离之差的绝对值为 定值【分析】根据斜率公式得出= a,得y2= a (x2- 9),再分类讨论，即可得出X+3 -3结论.解：设 P(X, y)由-=a,得

22、y2 = a (x2 - 9),m+3 x-3若a=- 1 ,则方程为x2+y2= 9,轨迹为圆(除 A B点)；2 2若-1 Vav 0,方程为*?= 1,轨迹为椭圆(除 A B点)9a-9av 9, C =J ：i = 4 , a = = , A不符合；彳，25av - 1,- 9a9, c= ,= 4, a=-, B符合，存在非零常数 a,使C上所有点到两点(0,- 4),( 0, 4)距离之和为定值；若a0,方程为,轨迹为双曲线(除 A B点).C = i I I.； = 4, a=,存在非零常数a,使C上所有点到两点(-4, 0), (4, 0)距离差的绝对值为定值.C不符合D是正确

23、的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在X轴上.故选：BD 12意大利数学家列昂纳多 ？斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列an满足：a1= 1, a2= 1, an= an-1+a1-2 (n 3, n N*).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前n项所占的格子的面积之和为Sl,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为Cn,则下列结论正确的是（)A. S+ = an+ +a+? anB. ai + a2+a3+an = an+2 1C. ai + a3+a5+a2n-1 = a2n 1D. 4 (

24、 Cn Cn - l)= QIn - 2? Rn+I【分析】由题意，a= 1, a3 = 2, a4= 3, a5= 5, a6= 8, a7 = 13,代入验证 C不成立；由数学归纳法可证明A, B正确；由扇形的面积公式和平方差公式，结合递推式，可得D正确.解：由题意，3= 1,a3=2,a4=3,a5=5,a6= 8,a7=13, a1+a3= 3 a4 1, a1 +a3+a5= 8 a6 1,故 C错误；*Q1= 1, 82= 1, Qn = Qn- 1+an-2 ( n3, n N ),对于 B, a1+a2+a3+an= an+2 1,当 n= 1 时，a1= a3 1 成立；假设

25、 n = k 时，a1+a2+a3+ak= ak+2 1,当 n= k+1 时，等式左边= a1+a2+a3+ak+ak+1 = ak+2 1+ak+1 = ak+3 1,则n= k+1 ,等式也成立，故B正确；2 2对于 A, Sn+1 = an+1 +an+1? Rn,当 n= 1 时，S2 = 1+1 = 2 , a2 +a2a1= 2 ,等式成立；2 2 2 2 2假设 n = k 时,Sk+1 = a 0)的焦点，I与C交于A B两点.若IAB = 6,贝y P的值为【分析】先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，代入直线方程求得m和P的关系式，把直线与抛物线方程联立消去y后，结合韦达定理

26、和焦点弦公式,求出满足条件的P值.解：设 A (xi, y), B (X2, y2),由题意得，抛物线 C: y2 = 2px (p0)的焦点, 0),代入直线l : X - y - m= 0得，m=导，则直线l的方程是X- y-=0,y2=2jyz -y-=0得,2则 X1+X2= 3卩，且4二9,-4X卫一0,4因为 | AB = 6,所以 X1+2+p= 6,即 4p= 6,得故答案为:32.16.若数列an满足 an+an+1=.n+l-rrT ，且前99项的和为,则a100=10丄 【分析】由 Soo=( a+a2) + (33 +34) + + ( 399+3100)，结合条件可得

27、 Si00,再由 3100= Soo-S99,计算可得所求值.解：若数列an满足:安n*乱El二乜口+_寸口_，可得 S00=( 31+32) + (a3+a4) + + (a99+a100)=卜.；丄-0+2-、：11- 2+ +10 - IJ :用：=10,数列 3n的前99项之和为-Tl可得 3100 = S 00- S9= 10 - 3、J ,故答案为：10- 3.!.四、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.如图，D是直角 ABe斜边 BC上一点，AB= AD,记 CAD=, ABC=.(1) 证明 Sin +cos2 = 0;【分析】(1)利用诱导公式

28、可求得进而利用诱导公式求得 Sin = - cos2 ,整理得Sin +cos2 = 0.原式得证.(2 )根据正弦定理可求得SLn =3ifa进而利用(1 )中的结论求得Sin -3(l-2 sin2 )代入Sin =3sin 即可求得 Sin ,进而求得的值.解：(1) 口士-MBAD二斗-(兀二2P吕i口口二sin(2 戶-j2-)-cq2 B ,即 Sin +cos2 = 0“、人“ .u丄十”宀仙 DcACPn DCAC(2) ADC中由正弦疋理即一：一SInU- Slr( M-PJ SInU- SIrLP则 siP =V3sin G由(1)得sin -V3 P =3（：1_2 sn

29、2 ）即師 SLn 2P sin -3=0解得 SinP =或 in =18如图，两县城 A和B相距20km现计划在两县城外以 AB为直径的半圆弧寸上选择一 点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城 A与城B的影响度之和，记 C点到城A的距离为Xkm建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在I_ I .的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065 (1) 将y表示成X的函

30、数;(2) 判断弧环；上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A的距离；若不存在，请说明理由.X2 ,再利用圾处理厂对城 A的影响度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,得到y和X之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果.(2)先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可.【解答】解(1)由题意知 ACL BC BC= 400- 2, y= (0X -. I时，18x4v 8 (400

31、 - X2) 2 ,即yV 0所以函数为单调减函数，当4Wm8 (400 - X2) 2,即y 0所以函数为单调增函数所以当I x=i时，即当 C点到城 A的距离为射石时，函数i2+317=2h1+3d由,可解得 b1 = 4, d= 3,所以 bn= 3n+1.(2)由(1)知Cn =(6n6)(3n+3) Ii=3 ( n+1) ? 2n+1,所以 Tn= 3 2 22+3 23+4 24+5 25+ + ( n+1) 2n+1,2Tn= 3 2 23+3 24+4 25+ + (n+1) 2n+2,两式作差，得-Tn = 3 2 22+23+24+ +2n+1-( n+1 ) 2n+2=

32、3 4+ - V - ： -( n+1) 2n+2 = 3n? 2n+2,2-1所以 Tn= 3n? 2n+2.20.已知直线I : X - y+1 = 0与焦点为F的抛物线 C: y2= 2px (p 0)相切.(I)求抛物线 C的方程；()过点F的直线m与抛物线C交于A, B两点，求A, B两点到直线I的距离之和的最小值.-y+l=UO【分析】(I)由2 消去X, = 4p - 8p= 0,解得P= 2 .即可.()由于直线 m的斜率不为0,可设直线 m的方程为ty = X- 1, A (Xi, y), B(X2, y2).联立方程求得线段 AB的中点M的坐标，求得点 M到直线I的距离为d

33、,即可求解解：(I)：直线I : X-y+1 = 0与抛物线C相切.2 2由.消去 X 得，y- 2py+2p= 0 ,从而= 4p - 8p= 0,解得 P= 2.Iy =px抛物线 C的方程为y2= 4x . ()由于直线 m的斜率不为0,所以可设直线 m的方程为ty = X- 1, A (Xi, yi), B(X2, y2).ty 计 12由 2 消去 X 得，y- 4ty - 4= 0,IV =2. y1+y2= 4t ,从而 巧+岸厂电t 42,线段AB的中点M的坐标为(2t2+1, 2t).设点A到直线I的距离为dA,点B到直线I的距离为dB,点M到直线I的距离为d,（IA+d2d

34、522t2-2t+2=22 t2-t+l=22 （廿寺）当时，可使A、B两点到直线I的距离之和最小，距离的最小值为21.如图，四棱锥 P- ABCD勺底面是菱形，PQL底面ABCD Q E分别是AD AB的中点,AB= 6, AP= 5, BAD= 60(1) 证明：AC PE;(2) 求直线PB与平面POE所成角的正弦值;罟，若存在，确定点F位置；若不存在，说明理由.(3) 在DC边上是否存在点 F,使BF与PA所成角的余弦值为【分析】(1)建立坐标系，求出； . L的坐标，计算二-I = 0得出结论;(2) 求出平面PoE的法向量，计算厂一与T的夹角得出结论；(3) 设血=入反，计算丽与包

35、的夹角，解方程求出的值得出结论.解：四边形 ABCD是菱形， BAD= 60,A ABD是等边三角形，又OPL底面ABCD OA OB OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系 O- XyZ,依题意可得 O( 0, 0, 0), A( 3, 0, 0), B(0,Q),CG6, 35* O), D(-3, 0, 0),西今，0), P( 0, 0, 4).(1)证明：T AC=, t O), P西二僭，卑2，-4),血是二-+Q=Q. I 1,因此ACL PE解：设平面POE的法向量为-Z m OP=Omi 小 E),则PZ=O t+3y=InOE=O0P(0, 0, 4), 0也三(多0),令 y = 1 ,得P