求动点的轨迹方程

1、求动点的轨迹方程 求动点的轨迹方程（例题，习题与答案） 在中学数学教学和高考数学考试中， 求动点轨迹的方程和曲线的方 程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于： 求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程 时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方 法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程 常用“待定系数法”。 P的坐标（x, y ）满足的关系式。 求动点轨迹的常用方法 动点P的轨迹方程是指点 1. 直接法 （1）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题 已知

2、直角坐标平面上点 Q（2, 0）和圆C:,动点M到圆C的 切线长等与，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 解：设动点M（x,y），直线MN切圆C于N。 依题意：，即 而，所以 2 2 MQ MO 1 (x-2)+y二x+y-1 化简得：x=。动点M的轨迹是一条直线。 2. 定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几 何条件可以判断出动点的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定 义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。 例题：动圆M过定点P (-4, 0),且与圆C:相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 解：设M(x,y)，动圆M的半径为r xxM与圆C相

3、外切， 则有 1 MCI =r + 4 xxM与圆C相内切， 则有 I MCI =r-4 而1 MP二r,所以 MCI - I MPI = 动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点 M的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。 动点的轨迹方程为： 412 3. 相关点法 若动点P(x, y)随已知曲线上的点 Q(x, y)的变动而变动，且x、y 可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的 轨迹方程。这种方法称为相关点法。 例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程。 解：设M(x,y), A(

4、),依题意有： x=, y= 贝卩：x=2x-4, y=2y-3,因为点A()在圆上，所以 (2x 4)2(2y3)24 点M的轨迹方程为： (x 2)2 (y I)21 动点M的轨迹为以(2,)为圆心，1为半径的圆。 4. 参数法 例题：已知定点A (-3,0 ), M N分别为x轴、y轴xx的动点(M N不重合)，且，点P在直线MNxx。求动点P的轨迹C的方程。 丫爪 解：设 N(O,t), P(x,y) 直线AN的斜率， 因为，所以直线MN的斜率 直线MN的方程为y-t二，令y=0得x=,所以点M(,0) 由，得 x=), y-t=, 则 x t2 y 2t 所以动点P的轨迹方程为： 5

5、. 交轨法 例题：如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设。求直线 与的交点的轨迹的方程。 解：设，由已知得， 则直线的方程为，直线的方程为， 即 y+2二 y-2=- 两式相乘，消去即得的轨迹的方程为. 练习与答案 1. 设圆C与圆x2+(y.3)2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆 心轨迹为A A.抛物线B .双曲线C.椭圆D.圆 2. 已知圆，圆，一动圆与这两个圆外 切，求动圆圆心P的轨迹方程。 2 2 匚L 1 (x0) 412 3. 过点A(4, 0)作圆O： x+y2=4的割线，求割线被圆0截得弦的中点的 轨迹。 (x- 2)+y=4 (0 x1) 4. 已知圆C:

6、 +(y-4)=1, 动点P是圆外一点，过P作圆C的切线, 切点为 M， 且丨PM| = | P0|(0为坐标原点)。求动点P的轨迹方程。 提示：| PO| = | PM| = 3x+4y-12=0 5. 已知圆，圆，动点到圆 , 上点的距离的最小值相等 . 求点的轨迹 方程。 解：动点P到圆C的最短距离为| PC| -1, 动点P到圆C的最短距离为| PC| -1, 依题意有：| PC| -1= | PC| -1 , 即 | PCI = | PCI 所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。所以动点P的轨迹方程为： 2x+y-5=0 6. 已知双曲线的左、右顶点分别为 , 点 P()， Q() 是

7、双曲线上不同的两个动点。求直线与交点的轨迹E的方程。 解：由为双曲线的左右顶点知， ，两式相乘， 因为点在双曲线上，所以，即，故， 所以，即直线与交点的轨迹的方程为 7. 已知曲线与直线交于两点和，且.记曲线在点和点之间那一段与线 段所围成的平面区域（含边界）为.设点是上的任一点，且点与点和 点均不重合.若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程。 解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，贝几即，又 点在曲线上， 二化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，贝打即，二 中点的轨迹方程为（）. 8. 已知点C（ 1,0），点A B是。O上任意两个不同的点，且满 足，设P为弦AB的中点

8、。求点P的轨迹T的方程。 解：连结CP由，知ACL BC 二|CP| = |AP| = |BP| =，由垂径定理知 即 设点P （x, y），有 化简，得到。 9. 设椭圆，过点的直线交椭圆于 A B, O为坐标原点，点P满足， 当绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。 解：直线过点，设其斜率为k,则直线的方程为， 记，由题设可得点A、B的坐标 是方程组的解,其方程组中消取得 点P的坐标为 即：点 P 为, 设点P为，则P点的轨迹参数方程为 （为参数） 消去参数得： 当斜率不存在时，A、B的中为原点（0, 0）也满足上述方程， 故：动点P的轨迹方程为。 10. 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切

9、。求圆 C的圆心轨迹 L的方程。 解：两圆半径都为2，设圆C的半径为R,两圆心为、， 由题意得或， 可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则 ,所以轨迹L的方程为. 11. 如图所示，已知P (4, 0)是圆内的一点。A B是圆上两动点， 且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 解：设 R(x,y), 依题意，有 I OR| + | RA| =36,而丨 RA| = | RP| ,所以 | OR| + | RP| =36,即 X2 y2 (x 4)2 y236 化简得： 设Q(X, Y),因为R(x,y)是 QP的中点，所以有 x=,y=,故 化简得：X 12. 在平面直角坐标系中

10、，直线交轴于点 A,设是上一点，M是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足/ MPOZAOP当点P在上运动时，求点M 的轨迹E的方 程。 解：如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q, Q MPQ AOP, MP I,且 |MO|MP|. 因此即 另一种情况，见图2 （即点M和A位于直线OP的同侧） MC为线段OP的垂直平分线， MPQ MOQ. 又 因此M在轴上，此时，记 M的坐标为 为分析的变化范围，设为上任意点 由 （即）得, x 1 丄a21. 4 故的轨迹方程为 综合和得，点M轨迹E的方程为 4(x 1),x1, 0, x 1. 13. 点M是椭圆上的动点。如图，点的坐标为，是圆上的点，是点 在轴上的射影，点满足条件：，=0,求线段的中点的轨迹方程；