陈纪修-学习心得数学分析

1、陈纪修教授数学分析九讲学习笔记与心得云南分中心昆明学院周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理数学分析中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过： “如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”那么，如果你要学好并用好数学分析 ，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。在学校中，我不仅讲授数学分析 ，也讲授数学史，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。在这一讲中

2、， 陈教授脉络清晰，分析精当， 这是我自叹不如的。讲数学史也有些年头，但仅满足于史料的堆砌， 没有对一些精彩例子加以剖析。 如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣） ，而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。在这一讲中，陈教授对 weierstrass的“ - n”、“ - ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画” 。这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点： 数学分析的研究对象是函数，主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。

3、如果仔细盘点一下，在数学分析中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“ - n”、“ - ”语言，在数学分析中几乎是寸步难行的”这一观点。第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从实变函数中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开 party 的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。我在开数学赏析时有一个专题就是“无穷的世界” ，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题， 但遗憾的是，当我剖析 “若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住号房间的移往号房间， 住号房间的移往号

4、房间， 从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是只在此山中，云深不知处”。当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。 若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。对于集合 0,1 与 (0,1)的对等关系，包括 q 与的对等关系，或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异” ，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。对于实数集中的有理数， “廖若晨星”是非常形象的描述。一声集合的哨响，我们发现， 有理数在实数轴上几乎是没有位置的 （ mq=0），用一

5、系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是，这是非常精彩的结果。从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷” 。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。第三讲数学分析课程中最重要的两个常数法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的老师” 。陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。著名的欧拉公式： e i10 ，实现了有理数、无理数、

6、超越数、实数、虚数完美统一，获得 “最美的数学定理 ”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（ 0,1,i ,e, ）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美， 这个不等式还有许多有意思的地方， 无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。 pi 是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。本讲最后将函数 sinx/x 展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p 级数中 p 为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。

7、 在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的 微积分学教程 (第二卷 )中也有求出的方法，而 p 为奇数的情形好像至今尚未解决。对 p=2 的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了 lhospital 法则 (数学译林 09.3)。第四讲级数与反常积分收敛的a.d 判别法恰逢这个学期讲数学分析 (3) ，在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是a.d 判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。陈教授对 abel 引理的直观刻画，也是深得学员好评。我对陈教授从 abel 引理分析 anbn 收敛条件的分析而得到 dilichlet 判别法和

8、abel 判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。第五讲函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛一致收敛性无疑是数学分析中的一个重要概念。陈教授对“点点收敛”与“一致收敛” 的剖析是非常到位的， 学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“ x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学肯定是失败的。陈教授例子选择精当，语言使用精辟，问题分析精准。请注意陈教授的这句话： “毛病出在点态收敛的情况下，在某些点附近， n 无法控制”（类似的话在第九讲中说过） 。第六讲weierstrass 函数：处处连续处处不可导的函数陈教授分析了为何在 weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。

9、 原来在此之前，数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。weierstrass在 1872 年构造出了如下处处连续处处不可导的函数：ansin(b nx)0a11陈教授选用 1930 年 van der waerden给出的例子进行了剖析。 所讲自是精当，本人很是受益。第七讲条件极值问题与lagrange 乘数法本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。考虑了条件极值的必要条件，引入 lagrange 乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。对于具体使用 lagrange 乘数法的例子中，如何解方程组，陈教授给了很好的建议。第二个例

10、子，即求平面 x+y+z=0 与椭球面 x2+y2+4z2 =1 相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！ ）。第八讲重积分的变量代换本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗透数学思想方法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代换公式。为证明代换公式，陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形” ，化变换 t 为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单，化困难为容易。第九讲数学分析课程中的否定命题数学分析教学中，说说“反话”很重要！（请不要误解！）两个命题 a 与 b 如果既不能同时成立， 也不能同时不成立，

11、 就称 a 与 b 互为否定命题 。若 a与 b 互为否定命题，则 a 与 b 一定满足：一个成立，另一个必然不成立；一个不成立，另一个必定成立。 （废话！）有界与无界、收敛于 a 与不收敛于 a、收敛与不收敛、（注意前边两对的区别！）、可导与不可导、 cauchy 收敛准则及其否定命题，等等。这些“反话”不说，大量的题做不了。我在讲数学分析 (1)时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来讲否定命题的。陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！陈教授的九讲，给了我们太多的启示：一、在我们的教学中， 不仅要教其所以然， 而且要教其所以然。 陈教授的这九讲，应该是我们讲授数学分析的经典案例，当然，我们不一定是讲这一些内容！正确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？不是！二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就是教学中要注重思想方法的渗透。