人教版七年级数学下册84三元一次方程组的解法

1、前面我们学习了二元一次方程组及其解法前面我们学习了二元一次方程组及其解法. .有些含有些含 有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来 解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时 又该怎么解决呢？又该怎么解决呢？ 提问 这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法. . 可以设可以设3 3个未知数吗？个未知数吗？ 学习目标：学习目标： 1知道什么是三元一次方程组知道什么是三元一次方程组. 2会用代入消元法和加减消元法解简单的三元会用代入消元法和加减消元法解简单的三元

2、一次方程组一次方程组. . 3. 通过解三元一次方程组进一步体会消元思想通过解三元一次方程组进一步体会消元思想. 学习重、难点：学习重、难点： 重点：重点：用代入消元法和加减消元法解简单的三用代入消元法和加减消元法解简单的三 元一次方程组，进一步体会消元思想元一次方程组，进一步体会消元思想. 难点：难点：根据方程组的特征寻找合适的消元途径根据方程组的特征寻找合适的消元途径. 知识点1 问题 小明手头有小明手头有12张面额分别为张面额分别为1元、元、2元、元、5元的元的 纸币，共计纸币，共计22元，其中元，其中1元纸币的数量是元纸币的数量是2元纸币数元纸币数 量的量的4倍。求倍。求1元、元、2元

3、、元、5元纸币各多少张？元纸币各多少张？ （1）题目中有几个未知量？题目中有几个未知量？ （2）题目中有哪些等量关系？）题目中有哪些等量关系？ （3）如何用方程表示这些等量关系？）如何用方程表示这些等量关系？ 思考 解答 ，12zyx ，2252zyx 4 xy 设设1元、元、2元和元和5元的纸币分别为元的纸币分别为x张、张、y张和张和z张张 你能说说什么叫你能说说什么叫三元一次方程组三元一次方程组吗？吗？ 问 含有三个未知数，每个方程中含未知含有三个未知数，每个方程中含未知 数的项的次数都是数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，并且一共有三个方程， 像这样的方程组叫做像这样的方程组叫做三元

4、一次方程组三元一次方程组 小 结 ，12zyx ，2252zyx 4 xy 怎么解呢？怎么解呢？ 你能类比二元一次方程组的解法来求解吗？你能类比二元一次方程组的解法来求解吗？ 问 ，12zyx ，2252zyx 4 xy 412 42522 yyz yyz ， 将代入，得将代入，得 解答 为什么要用代入，而不用代入？为什么要用代入，而不用代入？ 问 即即 512 6522 ， yz yz 解三元一次方程组的基本思路是什么？解三元一次方程组的基本思路是什么？思考 通过通过“代入代入”或或“加减加减”进行消元，把进行消元，把 “三元三元”转化为转化为“二元二元”，使解三元一次方，使解三元一次方 程

5、组转化为解二元一次方程组，进而再转化程组转化为解二元一次方程组，进而再转化 为解一元一次方程为解一元一次方程. 三元一次三元一次 方程组方程组 二元一次二元一次 方程组方程组 一元一次一元一次 方程方程 消元消元消元消元 347 239 5978 xz xyz xyz ， ， 例1 解三元一次方程组解三元一次方程组 对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？问 方程只含方程只含x、z，因此，可以由消去，因此，可以由消去y，得到，得到 的方程可与组成一个二元一次方程组的方程可与组成一个二元一次方程组. 解：3+，得，得 11x+10z=35. 与组成方程

6、组与组成方程组 347 111035 xz xz ， 解得解得 5 2 x z ， 把把x=5，z=-2代入，得代入，得 25+3y-2=9， 所以所以 . 3 1 y 还有其他解还有其他解 法吗？法吗？ 知识点2 例2 在等式在等式y=ax2+bx+c中，当中，当x=-1时，时，y=0；当当 x=2时，时，y=3；当；当x=5时，时，y=60，求，求a，b，c的值的值. 分析已知条件，你能得到什么？分析已知条件，你能得到什么？问 0 423 25560 abc abc abc ， ， 0 423 25560 abc abc abc ， ， 怎么解？怎么解？ 1. 先消去哪个未知数？为什么？先

7、消去哪个未知数？为什么？问 2. 选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？ 解：根据题意，得三元一次方程组根据题意，得三元一次方程组 0 423 25560 abc abc abc ， ， -，得，得 a+b=1; -，得，得 4a+b=10; 与与组成方程组组成方程组 1 410 ab ab ， 解这个方程组，得解这个方程组，得 3 2 a b ， 代入代入，得，得 c=- -5. 因此因此 3 2 5 a b c ， ， 答：答：325abc ， 可以可以消去消去a吗？如何操作？吗？如何操作？问 633bc ， 21bc 302460bc， .1045

8、cb 可将可将-4，得，得 即即 再将再将 -25，得，得 即即 可以消去可以消去b吗？如何操作？吗？如何操作？问 可将可将 2+，得，得 即即 再将再将 5+，得，得 即即 633ac ， 21ac 30660ac， 510ac 练习 1.1.解下列三元一次方程组：解下列三元一次方程组： 34 (2) 2312 6 xyz xyz xyz ， ， 29 (1)3 247 xy yz zx ， ， 解：解：(1) 2+得得 x+2y=53. +得得 x=22. 代入代入得得 y= 1 15 2 代入代入得得 z= 1 12 2 原方程的解是原方程的解是 22, 1 15, 2 1 12 2 x

9、 y z 解：解：(2) +得得 5x+2y=16. +得得 3x+4y=18. -2得得 x=2.代入代入得得 y=3. 原方程的解是原方程的解是 2, 3, 1. x y z 把把 x=2， y=3代入代入得得z=1. 2. 甲乙丙三个数的和是甲乙丙三个数的和是35，甲数的，甲数的2倍比乙数倍比乙数 大大5，乙数的，乙数的 等于丙数的等于丙数的 ，求这三个数，求这三个数. 1 3 1 2 解：设甲、乙、丙三数分别为解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z， 则则 35, 25, 11 32 xyz xy yz 解得解得 10 15, 10 x y z 甲数是甲数是10，乙数是，乙数是15，丙数

10、是，丙数是10. 错 解 -，得，得y-3z=-12. +，得，得3x-y=3. 和组成的还是三元一次方程组，不能往下解了和组成的还是三元一次方程组，不能往下解了. 解方程组解方程组 215, 23, 230 xyz xyz xyz 正 解 -，得，得y-3z=-12. 2-，得，得7y-3z=6. 和组成方程组和组成方程组 312, 736, yz yz 3, 5. y z 解得解得 代入，得代入，得 x=2， 所以原方程的解为所以原方程的解为 2, 3, 5. x y z 错因分析 本题错在解题过程中，通过本题错在解题过程中，通过-，得，得 到到y-3z=-12之后，发现两个方程中之后，发

11、现两个方程中z的系数互为的系数互为 相反数，就消去相反数，就消去z，从而导致不能顺利消元得到二，从而导致不能顺利消元得到二 元一次方程组，造成解题无法进行元一次方程组，造成解题无法进行.解三元一次方解三元一次方 程组的基本思想是消元，每个方程最多使用两次，程组的基本思想是消元，每个方程最多使用两次， 首先要观察方程组，确定消去哪一个未知数，得到首先要观察方程组，确定消去哪一个未知数，得到 关于另两个未知数的方程组，然后解这个二元一次关于另两个未知数的方程组，然后解这个二元一次 方程组方程组. 基础巩固基础巩固 1.对于方程组对于方程组 此二元一次方程的此二元一次方程的 最优的解法是先消去（最优

12、的解法是先消去（ ）转化为二元一）转化为二元一 次方程组次方程组. C A. xB. yC. z 2x+3y=5， 2x+y+z=6， 3x-2y-z=-2， D.都一样都一样 综合运用综合运用 2.解方程组解方程组 解：解：+2，得得8x+13z=31. 3-，得得x+2z=5. 2x+4y+3z=9, 3x-2y+5z=11, 5x-6y+7z=13. 与与组成方程组组成方程组 8 +13 =31, +2 =5. xz xz 解得解得 =1, =3. x z 代入，得代入，得 1 . 2 y 原方程组的解为原方程组的解为 =1, 1 , 2 3. x y z 2.解方程组解方程组 2x+4

13、y+3z=9, 3x-2y+5z=11, 5x-6y+7z=13. 三元一次三元一次 方程组方程组 定义定义 含未知数的项的次数都是含未知数的项的次数都是1 含有含有3个未知数个未知数 解答思路解答思路化化“三元三元”为为“二元二元” 一共有一共有三三个方程个方程 2, 20, 9311 . 4293 abc abc abcabc 拓展延伸 解：解：根据题意，得三元一次方程组根据题意，得三元一次方程组 6, 11, 3. a b c 在等式在等式y=ax2+bx+c中，当中，当x=1时，时，y=-2;当当x=-1时，时， y=20;当当 与与 时，时，y的值相等，求的值相等，求a、b、 c的值

14、的值. 3 2 x 1 3 x 解得解得 1. 从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 本节课在学习三元一次方程组解法过程中，本节课在学习三元一次方程组解法过程中， 采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一 次方程组的知识学习三元一次方程组次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组根据方程组 的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成 技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择 合适方法的学习能力合适方法的学习能

15、力. 习题习题8.4 复习巩固复习巩固 1.1.解下列三元一次方程组：解下列三元一次方程组： 4912 (2) 321 19 75 4 xy yz xz ， ， 27 (1) 5322, 344 yx xyz xz ， 解：解：(1) 代入代入得：得：11x+2z=23. 2+得：得：x=2， 代入代入得得 z= 1 2 代入得代入得y=-3. 原方程的解为原方程的解为 2, 3, 1 2 x y z 解：解：(2) -3得得 4x+6z=9. 6-5得得 x= 代入代入得得 z=2. 3 4 代入代入得得 y= 5 3 原方程的解是原方程的解是 3 , 4 5 , 3 2 x y z 2.

16、解下列三元一次方程组：解下列三元一次方程组： 2439 (2) 32511 56713 xyz xyz xyz ， ， 4917 (1) 31518, 232 xz xyz xyz ， ； 解：解：(1) 2-得得 5x+27z=34. +3得得 x=5. 代入代入得得 z= 1 3 代入代入得得 y=-2. 原方程的解是原方程的解是 5, 2, 1 3 x y z 解：解：(2) +2得得 8x+13z=31. 3-得得 x+2z=5. 8-得得 z=3.代入代入得得 x=-1. 原方程的解是原方程的解是 1, 1 , 2 3. x y z 把把 z=3， x=-1代入代入得得 y= 1 .

17、 2 综合运用综合运用 3. 一个三位数，个位、百位上的数的和等于一个三位数，个位、百位上的数的和等于 十位上的数，百位上的数的十位上的数，百位上的数的7倍比个位，十位倍比个位，十位 上的数的和大上的数的和大2，且个位、十位、百位上的数，且个位、十位、百位上的数 的和是的和是14，求这个三位数，求这个三位数. 解：设这个三位数的百、十、个位上的数分别为解：设这个三位数的百、十、个位上的数分别为x、 y、z， 则则 , 72, 14 xzy xyz xyz 解得解得 2 7, 5 x y z 2100+710+5=275，即这个三位数为，即这个三位数为 275. 4. 解方程组解方程组 xy y

18、 z xyz :3:2 :5:4, 66 ， . 解：由解：由得得 x:y=3:2=15:10 由由得得 y:z=5:4=10:8，x:y:z=15:10:8. 设设x=15a，则，则y=10a，z=8a， 30 20, 16 x y z 代入代入得得a=2， 拓广探索拓广探索 2, 20, 9311 . 4293 abc abc abcabc 解：解：根据题意，得三元一次方程组根据题意，得三元一次方程组 6, 11, 3. a b c 在等式在等式y=ax2+bx+c中，当中，当x=1时，时，y=-2;当当x=-1时，时， y=20;当当 与与 时，时，y的值相等，求的值相等，求a、b、 c的值的值. 3 2 x 1 3 x 解得解得 5. 学习目标：学习目标： 1知道什么是三元一次方程组知道什么是三元一次方程组. 2会用代入消元法和加减消元法解简单的三元会用代入消元法和加减消元法解简单的三元 一次方程组一次方程组. . 3. 通过解三元一次方程组进一步体会消元思想通过解三元一次方程组进一步体会消元思想. 学习重、难点：学习重、难点： 重点：重点：用代入消元法和加减消元法解简单的三用代入消元法和加减消元法解简单的三 元一次方程组，进一步体会消元思想元一次方程组，进一步体会消元思想. 难点：难点：根据方程组的特征寻找合适的消元途径根据方程组的特征寻找合适的消元途径. 知识