圆锥曲线笔记D

1、D.解析圆锥曲线（上）（用解析几何研究圆锥曲线）1.圆锥曲线的准圆设椭圆的方程为笃爲1（a b 0）,a b内准圆定义：在椭圆内部存在使与其相切的椭圆的弦的中心角都为90度称为内准圆AB为椭圆的弦，且中心角AOB 90o记 AOX ABOX B(0o A 90o,0o B 90o, A B 90o), AO g BO A(rA cosA, rA sin A), B(rB cosB, rB sin B)代入椭圆的方程得到 (rA cos A)2 (rAs in A)21 (rB cos B)2b2 a2b2b2I (2 2(a si nA) (bcosA)2 2a b2 2A S2 2ArBa2

2、 b2AB到椭圆中心的距离为a2_b22 2a b2 2a b(asin B)2 (bcosB)22 2椭圆与y2 1的内准圆方程为x2a b外准圆定义：椭圆两条垂直切线交点的轨迹如图P (x,y)为椭圆外的一点，且 满足，过P作椭圆的两条切线相互 垂直当P点的切线斜率不存在时P点在(a，b)这四点到椭圆中心的 距离都为,a2 b2 当斜率存在时设过P点椭圆的切线为k(x Xq) y y0即kx y y0 kx0 0代入椭圆的方程(a2k2 b2)x2 2a2k(y0 kx0)x a2 (y0 kx0)2 b2 0又因为是切线故0a2k2b2(ykx)20(a2x。2)k22x0ykb2y。2

3、0此方程即为过P两切线斜率的二次方程两斜率乘积为-1.22by-22aX0-1x02 y02 a2 b2即当斜率存在时P点到椭圆中心的距离为a2 b2综上椭圆的外准圆存在且方程为x2 y2 a2 b2b.双曲线的虚实准圆2 2设双曲线的方程为 与-与1(a 0,b 0)a b虚准圆定义：与椭圆的内准圆相似一个以双曲线的中心为圆心使与其 相切的双曲线的弦的中心角为 90的圆被称为双曲线的虚准圆(必须有ba0,否则不存虚准圆)设双曲线弦AB方程为y=kx+m乂为,）月区，y2）AB方程代入双曲线的方程 得/ 2. 2(a kb2)x(a kb2)yxiyiX2y2X2220所以双曲线务a2, 2a

4、 (m, 2 2 22 b my b (a k2, 2 ,2、 , 2 .a (ma2mk2 12 卡1(bb2 2a2kmx2 2b2) 0m2)022 / 2 2 2、b ) b (a k m ),又 AOB 90。2. 2 .2k b2. 2a b722b aAB直线到双曲线的距离为a0）的虚准圆为x22.2a b2 2b a（也可像证明椭圆内准圆一样引入三角参数）定值：b2a?实准圆定义：类似与椭圆的外准圆，双曲线两条相互垂直的互垂直0代入双曲线的方如图P (Xo,y)为双曲线外的一点，且满足，过P作双曲线的两条切线相 当斜率存在时设过P点双曲线的切线为k(x x0) y y0即kx

5、y y0 kx0(a2k2-b2) x2 2a2k(y kx0)x a2 (y0 kx0)2 b20又因为是切线故 0a2k2b2(ykx)20(a2x。2)k22xykb2y。20此方程即为过P两切线斜率的二次方程两斜率乘积为-1-b22y02Xo-1Xo2 y2 a2-b2即P点到双曲线中心的距离 为. a2-b2综上双曲线的实准圆存在且方程为x2 y2 a2 -b(a b 0)C.抛物线的准线是特殊的准圆准确来说抛物线并没有类似于有心圆锥曲线的准圆存在，但 是抛物线两条垂直的切线的交点的轨迹为其准线，可以理解 为半径无大的圆结合上节几何中的抛物线结论容易的出这一结论此处便不再赘述(用解析

6、法同样可以轻松得到)2.圆锥曲线直线过定点问题圆锥曲线的定点问题是让很多人感到头疼的问题，以至于对 此类问题形成畏惧心理，观其本质其实并不复杂，主要问题 是在于计算量过大，本节将介绍圆锥曲线几个典型过定点问 题希望能对大家有所帮助。对于直线过定点我们其实应该知晓其在解析几何上的表现形式，一般将直线设为斜截式y=kx+m或x=ky+n只要找出斜率与截距的一次线性关系即可确定直线过定点，明确此节我 们寻找定点也就转化成了在方程变换中找到一个关于斜率 与截距的关系式（例如：y=kx+m若有m=-3k+3则直线过（3, 3）点）a.斜率定积当圆锥曲线上一定点于两动点满足定点与两动点的连线的斜率乘积（乘

7、积不等于 o,以及1-e2 ）为一定值时，两动点的连线必然过定点1.椭圆2设：椭圆方程为 x2a22 1(a b b2A(x1,y1), B(x2, y2)为椭圆上的两动点0）P（xo, yo）为其上一定点（异于P点）且有kAPkBP（b2x。22 2yoa2b2)0,e2)AB : ykx m/2,2b2）代入椭圆方程：二？ b2）x1x22a2km2 2. 2，y1y2a kbx1x2a (m b )2. 2 . 2 ，y1 y2 a k bkAPkBP(y1 yo)(y2(X1 Xo)(X22 2 2 2x 2a kmx a (m2 2 .2, 2 y 2b my b (m22b my2

8、22a2k2 b2.2, 22. 2、b (m a k )222a k byo)Xo)b2) oa2k2) o（得到下式后为得出k与m的关系，应将 当化简遇到瓶颈时注意 b,222（a xo a2 2 2 2Xo a yo2 a2kmxok或m当作方程的主元化简2 J a b2, 2 a.2 2_b xooXo(a2Xo2 2b Xo)k22 amxjk,2 2(a b.2 2b Xoa2m2)b2(mXo(a2Xo2 2b xo)k22 amxjk2 2(a m2 2a yo)b2(mi yo)2Xo(a2Xo2 2b Xo)k22 amxjka (myo )b2(myo)2 oXo(a2X

9、o2 2b xo)k22 amxjka (myo )b2(myo)2 oXo(a2Xo2 2b Xo)k22 amxjkz2(a m2a yob2yo2b m)(myo)yo)2o2 2 yo b yo b2 2 a m ayo)( a2xo2 ,22 ,2 22b myo b m b yo2yo2 a2b2)k2(kxo m2(a Xo bxo)k2a m2 ,2bxo)k2 a b y k(x 22a b特别地当e2 1当o时没有意义，m oa2yo b2yo b2m o,（kxo m yo） o（此式成立则AB过P点不符题意舍）2 2 2 2 耳巴yoAB过定点（士Qxo,a ba bb

10、2 2时AB过椭圆中心，ab2 1-e2 b2时AB定向但不过定点aXo)2,2ab2,2 yo)ab12.双曲线2设：双曲线方程为x2a2y2 1(a 0, b 0)P(x0,yj 为其上一定点(b2x02 bA(x1,y1), B(x2,y2)为双曲线上的两动点(异于P点)且有kAPkBP(0,AB: y kx m代入椭圆方程：(a2k2-b2)a2k2-b2)2a2km2 2 . 2，y1 y2a k ba2 (m2 b2),2 以，%丫2a k b(y1 %)(y2XiX2x1x2kAPkBP2 2a yoe2)2 x2 y2 2 2 22a kmx a (m b )02 2 2 2

11、22b my-b (m a k )02b2my2 2 2a k b2/2 2 2、b (m a k )2. 2 .2a k by。)(Xi Xo)(X2 Xo)(得到下式后为得出k与m的关系，应将k或m当作方程的主元化简) (2a2x02 a2y02 a2b2)k2 2 a2kmx) 2b2/2,22、，2小2,22a X0 -b X0)k 2 a mk a m -(kx0 m y0) ( a2x0 b2x0)k a2m22 2 2 2a -ba -b,2 X0，2 2 y0)(ba bb2.2 2 . 2 2 2. 2my0 b m b y0a b22 2a y -b (m y )02 2a

12、 m2 2 a yob2x。2AB过定点(2a0,e21b2 m2 b2b2) 孑)2y。特别的当e2 1禺时AB过双曲线的中心a当0时没有意义1-e2b2-y时AB定向但不过定点a3.抛物线抛物线设：方程为 设AB方程为x2y2Xky2ym代入抛物线方程2px(p0)(其余同上)(y2 2px)kAPkBP2pky2(pk22 pm 0m)x m2022 pm 2 pky y2 2 2 m 2pk x0 2mx0 x022 2y0 k2pyk(x m) 2p(x m) 0(ky0 m x)( ykxm 2 p) 0定点(X0 红，y)(1 e20)附加：圆锥曲线的共轭性质1.直线定向本节中证

13、明了当斜率乘积为定值（不等于0,不等于1-e2）对于定值等于1-e2时，有心圆锥曲线会使上节中两动点的连 线定向（斜率为定值）而不过定点。（以椭圆为例）下证明之（条件同上节，只是1-e2）2设：椭圆方程笃ab221为,AB方程为y kx m,(笃a2yob21)且 kAp kgp1 eb2,A（x1, y1）, B（x2, y2）将AB方程代入曲线方程得(a2k2 b2)x2 2a2kmx a2(m2 b2)0(a2k2 b2)y2 2b2my b2(m2 a2k2)02 a2 km2 2 2 x1 a k b2b2m2. 2 2 y1 a k b2/ 2a (mX2, 2, 2a kb2)X

14、-|X2kAPkBP(% y)(y2 y。)e2y1 y2 yo (%(X1Xo)(X2Xo)X-|X2Xo(X1y2)X2)2yo2Xo.2, 22. 2、b (m a k ) y2 ,2, 2 2a k b2ay2.2, 2 2 2 2 2 , 2. 2 ,2 2b (m a k ) 2b myo yo (a k b ) b2 2 2 2 2222 2 a (m b ) 2a kmxo xo (a k b ) a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b (m b ) 2 a b kmxo b xo (a k2 2 2 2 b ) a b (m2, 2 x 2, 2a k ) 2a b

15、 myoa2yo2(a2kb2a2b22 2 2 2a yo ) 2a b myo o2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a (a b b Xo a yo )k2 a b mxok b (b Xo2 2 2 2 2 22a b xo k 2a b mkXo2k2 mxok yo2 my(kXo yo)(kXo m y)2 2 2 2 22 a b yo 2a b myo ooo k址直线定向Xo双曲线证明过程几乎一样不再赘述（也可以曲线方程为一般的有心圆锥曲线直接证明）2.中垂定理于圆锥曲线的推广圆的任意一条弦中点于圆心的连线必与弦垂直，椭圆其实被 压扁的圆，也该存在类似的性质，

16、进而推广至其他圆锥曲线。设一般圆锥曲线的方程 为Ax2 By2 2Cx 2Dy E 0（离心率e 、 A 1,中心坐标O （-C，-D）YIb |ABA&yJ，B（x2,y2）为圆锥曲线上异于顶点 的两点AB中点为T22A% B% 2Cx! 2Dy! E 0 _则必有 171171两式作差22Ax2 By2 2Cx2 2Dy2 E 0(X1X2：)A(x1X2)2C(y1y2)B(y1 y2) 2D 0y1y2(2）y1y22B）A2AX1X2x-ix2(C)Be12AKtoKab e2 1（当弦的极限位置变成 切线是切点即变为中点 同样有此性质）2 2椭圆X2 y21a2 b22 2双曲线2

17、21a b抛物线y2 2px圆 x2 y2 r2bibl0-1a2a2由此我们还可以得到另一性质如图:T为PB的中点，AB过圆锥曲线的中心我们已经证明了KotKpb e2 1,那么TO 11 PA KpbKpa e2 1 （抛物线无中心）这与斜 率乘积为定值中定值=l-e2不谋而合！过圆锥曲线上一定点P引两条动弦PA,PB,若有Kpa Kpb 0则AB定向且 kab 过P点切线的斜率o (下以椭圆，抛物线为例以不同的方法证之)a.椭圆2 y b21(a b 0)，P(x0,y0)椭圆上一定点2设：椭圆的方程为X2aA(xyj B(x2,y2)，AB直线方程为 y kx m代入椭圆方程(a2k2

18、 b2)x2 2a2kmx a2 (m2 b2)0(a2k2 b2)y2 2b2my b2(m2 a2k2)0xix22a2kmb2m2 2.2i722. 2.2a kba kba (mb2)b2(m22. 2Xa k )xLx22. 2.2,y22. 2.2a kba kbmy?%X2Kpa Kpb 02a2b2a2k2 b2(yi y。)(y2 y。) (xi 人)区 y)(yi y)(x2) (y2 y)(xi )0 x2 yiX2 y(xi X2) x(yi y?) 2x0 y 02 2 2 2 2 2 22a b k 2a kmy 2b2約0 k b ) 0a2x0y0k2 a2(m

19、y0 b2)k b2mx0 b2x0y0 0b2x(m y)a2b注意 a2y2 b2x22 2(a yk-b x)(kx0 m y) 0b2x2a yp点切线斜率的相反数法二：如图T,H,S分别为AP,BP,AB的中点则 KabKso1而我们知道KabKsoyoxob2K HOKtoo( Kap Kto K bp K ho2)ayiyoy2yooXiXoX2XoX2yiX2yo(xiX2)(1)(2)yiyoy2yooXiy2yiX2yo(xiX2)XiXoX2Xoxiy2yiX22xoyoo又 xiy2yx?a2b2k (4)a kbXoYo(a2k2b2) a2以1b k2 2 2(a

20、yok-b xo )(xkyo)ok2 2b xo 或 yoa yoXo又由(2)yoyiy2o(5)若 KabyoXoXiX2XoKap Kbp 0(1)xo(yi y2) 2xoyo 0xo(yi y2) 2xoyo 0法三：如图P点关于椭圆对称轴的对称点为Q(xo, yo)或(-xo,yo)但是Kqoy_Xoyyiy2o(5)KpoKso oKso KXoXiX2b22又aoKabaKqoKABVlkABb2 K2ABb2Xo2Xoaa yob.斜率定和当圆锥曲线上一定点于两动点满足定点与两动点的连线閔斜率之和（和不等于0）为一龙值时，两动点的连线必於过定点。气滞圆酬區1的方程拘 一十罟=心 M A 0= Fg /小極上的定点沁（丄：丄3。：为祈匡1上异丁戸点的两訪点且為宦 血甘十亠肿二卫匕二密）诗厢方殍刘F=kv+聊代貝滞區1方琮得： 排址m2ifra jffv（妒+护）Jt讣2占心JEt + b（亦-护）%+那一 /昶+富凤+力L探4 t1（PPt 訳护一4 石：（曲，_/廿）心aa（ffi J -i1）bi（miXXj a-+ 护 皿” m 护呼*/J+略=Xn Ja +- Ja = 2 =（X1%）（耳 一） + （y3 -齐 X 珀-Jrj = 乂口