线性映射及矩阵的运算

1、5 线性映射及其矩阵的运算线性映射及其矩阵的运算 线性映射与矩阵的加法运算线性映射与矩阵的加法运算 线性映射与矩阵的数乘运算线性映射与矩阵的数乘运算 线性映射与矩阵的乘法运算线性映射与矩阵的乘法运算 乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律 线性映射与矩阵的加法运算线性映射与矩阵的加法运算 矩阵的加法运算矩阵的加法运算 线性映射与矩阵加法的基本性质线性映射与矩阵加法的基本性质 线性映射的数乘运算线性映射的数乘运算 基本性质基本性质: 矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算 我们把矩阵我们把矩阵 C 称为矩阵称为矩阵 A 与数与数k的数乘，记为的数乘，记为C = kA.

2、 基本性质基本性质: 例题例题 5.1 解解: (1) 原式原式= 线性映射与矩阵的乘法运算线性映射与矩阵的乘法运算 可以作出它们的乘积映射：可以作出它们的乘积映射： 矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算(1) 由线性映射与矩阵的对应关系得由线性映射与矩阵的对应关系得 矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算(2) 两个矩阵可以相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数两个矩阵可以相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数 与第二个矩阵的行数相等与第二个矩阵的行数相等. 例题例题 5.2 计算矩阵的乘积计算矩阵的乘积 解解: AB 的的(1,1)元为元为 =- -25 其它元可以类似地求得其它元可以类似地求得. 例子例子 5

3、.3 例子例子 5.4 解解: 经计算得经计算得 矩阵与列向量的乘积矩阵与列向量的乘积 设设 计算计算 解：解： 第第 i 分量为分量为 即即 几点说明（几点说明（1） 1) 线性方程组的表达式的简化线性方程组的表达式的简化. 设线性方程组如下设线性方程组如下 引进记号引进记号 则线性方程组可以表示成则线性方程组可以表示成 几点说明几点说明(2) 2) 线性映射的坐标表示线性映射的坐标表示. 则有则有 事实上，事实上， 由坐标的唯一性由坐标的唯一性 几点说明（几点说明（3） 形式表示：形式表示： 为了叙述方便，通常把线性组合写成为了叙述方便，通常把线性组合写成 “矩阵乘积矩阵乘积”的形式，比如

4、的形式，比如 比较（比较（1）与（）与（2）得到）得到 乘法结合律乘法结合律 由于映射的乘积满足结合律由于映射的乘积满足结合律, 线性映射的乘积也满足结合律线性映射的乘积也满足结合律. 设设 则有则有 根据矩阵与线性映射的对应关系根据矩阵与线性映射的对应关系, 可以导出矩阵的乘法可以导出矩阵的乘法 也满足结合律也满足结合律. 命题命题5.2 矩阵的乘法满足结合律矩阵的乘法满足结合律. 具体地说具体地说, 设设 则则 关于交换律与消去律关于交换律与消去律 1）因为映射的乘法不满足交换律）因为映射的乘法不满足交换律, 矩阵的乘法也不满足交换律矩阵的乘法也不满足交换律. 2）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此因此, 矩阵的乘法矩阵的乘法不满足不满足消去律消去律. 例如，设例如，设 线性映射矩阵的乘法分配律线性映射矩阵的乘法分配律 则有则有 1) 左分配律左分配律: 2) 右分配律右分配律: 证明：只证明线性映射的右分配律证明：只证明线性映射的右分配律. 矩阵转置的运算矩阵转置的运算 有有 证明：只验证第三条性质证明：只验证