线性代数电子教案：3.4 向量组的极大线性无关组

1、1 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 二、向量组的秩二、向量组的秩 一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关 系系 ( (内容的先后顺序作了较大调整内容的先后顺序作了较大调整) ) 2 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念 上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其 中线性无关也称为中线性无关也称为线性独立线性

2、独立。 系数及右端项构成系数及右端项构成行向量行向量，则线性相关与线性无关的概念实，则线性相关与线性无关的概念实 反映了线性方程组中各个方程反映了线性方程组中各个方程是否关联是否关联或或是否独立是否独立。 本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么， (1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？该向量组中到底有多少个向量是独立的？ (2) 具体哪些向量是独立的？具体哪些向量是独立的？ (3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？ 如果以线性方程组中各方程的如果以线性方程组中各方程的 3 3.4 向量

3、组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念 定义定义如果向量组如果向量组 中的一个部分组中的一个部分组 r , 21 s iii , 21 满足满足: (1) 线性无关；线性无关； s iii , 21 (2) 向量组向量组 中的每一个向量都可由中的每一个向量都可由 r , 21 s iii , 21 线性表示，线性表示， (即在即在 中再加一个向量就相关中再加一个向量就相关. .) s iii , 21 则称则称 为为 的的( (一个一个) )极大线性极大线性 s iii , 21 r , 21 无关组无关组。 P84 定义定义 3.6 4

4、3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 则则 是一个极大线性无关组；是一个极大线性无关组；, 31 , , 41 , 32 等都是极大线性无关组。等都是极大线性无关组。 由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。 需要讨论的问题需要讨论的问题 (1) 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？ (2) 如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何求出向量组的一个极大线性无关组？ 如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？

5、5 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 设有两个向量组设有两个向量组 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 定义定义 若向量组若向量组( () )中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组( (I I) )线性表示，线性表示， mjmjjj ccc 2211 ,),( 2 1 21 jm j j m c c c 则称则称向量组向量组()()能由向量组能由向量组( (I I) )线性表示线性表示。 , 21jmjj ccc, j 此时，对每个向量此时，对每个向量 使得使得存在数存在数 二、向量组的秩二、向量组的秩 P81 定义定义 3.5 部分部分 6 3.4

6、 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n , ),( 21ssn B , ),( 21mmn A 若记若记 即有即有),( 21s ,),( 21 22221 11211 21 smmm s s m ccc ccc ccc , smmnsn CAB 其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。 则所谓的则所谓的向量组向量组()()能由向量组能由向量组( (I I) )线性表示线性表示意味着意味着 使得使得, sm C 存在矩阵存在矩阵 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 二、向量组的秩二、向量组的秩 7 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n , 322211

7、 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 二、向量组的秩二、向量组的秩 例如例如 设设向量组向量组 能由能由 线性表示：线性表示： 4321 , 4321 , , 414433 则有则有 . 1100 0110 0011 1001 ),(),( 43214321 8 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 定理定理 设向量组设向量组 可由可由 线性表示，线性表示， s , 21 r , 21 二、向量组的秩二、向量组的秩 则向量组则向量组 线性相关。线性相关。若若 r , 21 , sr 换句话说，若换句话说，若 线性无关

8、，则线性无关，则. sr r , 21 证明证明 ( (略略) ) * 推论推论n + 1 个个 n 维向量一定线性相关。维向量一定线性相关。 基本向量基本向量 线性表示线性表示 n eee, 21 因为任何因为任何 n 维向量都可由维向量都可由 n 维维 P82 定理定理 3.3 ( (定理定理3.33.3的直观解释的直观解释) ) P84 推论推论1 P86 9 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价向量组之间的等价 定义定义 若向量组若向量组 与向量组与向量组 能够相互能够相互 s , 21 m ,

9、21 线性表示线性表示 ， , ),( 21ssn B , ),( 21mmn A 此时此时, 若记若记 其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。 则存在矩阵则存在矩阵 和和 使得使得 sm C , ms D , smmnsn CAB , mssnmn DBA 二、向量组的秩二、向量组的秩 任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价的。任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价的。例如例如 则称这两个则称这两个向量组向量组等价等价。 P81 定义定义 3.5 部分部分 10 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 二、向量组的秩二、

10、向量组的秩 性质性质(1) 反身性，反身性， (2) 对称性，对称性， (3) 传递性，传递性， 即向量组自己与自己等价；即向量组自己与自己等价； 若若 与与 等价，等价，( (I I) )()() 则则 与与 等价；等价；( (I I) )()() 若若 与与 等价，且等价，且 与与 等价，等价，()()( (I I) )()()()() 则则 与与 等价。等价。( (I I) )()() 2. 向量组之间的等价向量组之间的等价 P82 11 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 二、向量组的秩二、向量组的秩 定理定理两个等价

11、的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 2. 向量组之间的等价向量组之间的等价 个数相等。个数相等。 证明证明 等价等价 等价等价 等价等价等价等价 m , 21 向量组向量组 极大线性无关组极大线性无关组 r iii , 21 n , 21 向量组向量组 极大线性无关组极大线性无关组 s iii , 21 补补 预备预备 定理定理 12 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 二、向量组的秩二、向量组的秩 定理定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中

12、各自的极大线性无关组所含的向量 2. 向量组之间的等价向量组之间的等价 个数相等。个数相等。 证明证明 即即 可由可由 线性表示，线性表示， r iii , 21 s iii , 21 因此因此. sr 同理同理. sr 即得即得. sr 且且 线性无关，线性无关， r iii , 21 13 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 二、向量组的秩二、向量组的秩 推论推论(1) 若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量 2. 向量组之间的等价向量组之间的等价 个数相等。个数相等。 (

13、2) 在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含 的向量个数相等。的向量个数相等。 组的向量个数是惟一的。组的向量个数是惟一的。 即即一个向量组中各极大线性无关一个向量组中各极大线性无关 P84 推论推论2 P85 定理定理 3.4 14 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价向量组之间的等价 二、向量组的秩二、向量组的秩 定义定义一个向量组中的极大线性无关组所含一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为的向量个数称为 3. 向量组的秩向量组的秩 向量组的向

14、量组的秩秩。 定理定理 等价的向量组秩相等。等价的向量组秩相等。 P85 定义定义 3.7 P88 定定3.5 ( (重述前面的预备定理重述前面的预备定理) ) 注意注意 (1) 对于向量组：对于向量组：等价等价 秩相等。秩相等。 (2) 对于同型矩阵：对于同型矩阵： 等价等价 秩相等。秩相等。 15 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 设设定理定理 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系 二、向量组的秩二、向量组的秩 m , 21 的秩的秩则则)(Ar n , 21 的秩。的秩。 通常说，通常说，矩阵的秩矩阵的秩 等于等于行秩行秩等于等于列秩列秩 (行秩行

15、秩)(列秩列秩) 此定理给出了一种求向量组的秩的方法。此定理给出了一种求向量组的秩的方法。 P88 定理定理 3.7 16 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 证明证明(1) 首先证明一个引理：首先证明一个引理： QCP 化为标准形化为标准形 , t I 0 00 其中其中. st 可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得 , ss Q 事实上，对于矩阵事实上，对于矩阵 , 21s C 下面利用反证法证明下面利用反证法证明. st 可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得 若若列列向量向量 线性无关，线性无关， s , 21 则存在则存在 . 21 s s I QP 0 ,Q t

16、I PP)( 21 0 00 QC t I P 10 00 即即 一定存在一定存在 0 , 1t IP t 列列 17 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n ssss s s s qqq qqq qqq QC 11 22221 11211 21 假设假设 则有则有, st , 2211 sssss qqq 0 由由 Q 可逆，有可逆，有 不全为零，不全为零， ssss qqq, 21 这与这与 线性无关矛盾，因此引理成立。线性无关矛盾，因此引理成立。 s , 21 证明证明(1) 首先证明一个引理：首先证明一个引理： 可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得 若若列列向量向量 线

17、性无关，线性无关， s , 21 则存在则存在 . 21 s s I QP 0 ,Q 0 0 0 t IP 1 18 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 证明证明 它的一个极大线性无关组为它的一个极大线性无关组为, 21s 则存在可逆则存在可逆 ),(),( 2121sn R 0 记为记为 , C QCP , s I 0 0 0 (2) 设由矩阵设由矩阵 A 的的列列构成的向量组构成的向量组 的秩为的秩为 s， n , 21 对矩阵对矩阵 根据引理一定存在可逆阵根据引理一定存在可逆阵 和和 使得使得P , Q, C 矩阵矩阵 R，使得，使得 QRAP , s I 0 0 0

18、 即得即得sQRAPrAr ) ()( n , 21 的秩的秩 . 进一步有进一步有)()( T ArAr m , 21 的秩的秩 . 19 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系 二、向量组的秩二、向量组的秩 推论推论设设 A 为为 m n 阶矩阵，且阶矩阵，且 则有则有,)(rAr (1) 当当 r = m 时，时，A 的的行行向量线性无关，向量线性无关， 当当 r m 时，时，A 的的行行向量线性相关；向量线性相关； (2) 当当 r = n 时，时，A 的的列列向量线性无关，向量线性无关， 当当 r n 时，时，A

19、 的的列列向量线性相关；向量线性相关； 特别地，方阵特别地，方阵 A 的的行行( (列列) )向量线性无关的充要条件向量线性无关的充要条件 是是.0| A P88 推论推论 20 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 首先介绍几个引例，用来掌握首先介绍几个引例，用来掌握在什么情况下在什么情况下，可以非常，可以非常 容易地知道一个容易地知道一个列向量组列向量组的的秩秩、极大线性无关组极大线性无关组以及它以及它 们之间的们之间的线性组合关系线性组合关系。 引例引例1 1 2 4 3 (1) 向量

20、组的秩为向量组的秩为 2; (2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;, 21 (3) 组合关系组合关系 ,32 213 .4)1( 214 0000 0000 4310 1201 21 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 引例引例2 1 2 4 3 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 2; (2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;, 31 (3) 组合关系组合关系 ,2 312 .23 314 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 3; (2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;, 421 引例引例3 1 2 4 3 5 (3) 组合关系组合关系 ,052 4213 .64

21、4215 0000 0000 2120 3011 00000 61000 10510 40201 22 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 1. 原理原理 定理定理设矩阵设矩阵 A 经过经过行行变换得到矩阵变换得到矩阵 B， 矩阵矩阵 B 的的列列向量有向量有相同的线性组合关系相同的线性组合关系。 证明证明设设, ),( 21m B , ),( 21m A 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 P，使得，使得,BAP , 1B PA 若若有有 ,0 XA,0 1 XBP,0 XB 若若有有 ,0

22、XB,0 XAP,0 XA 即方程即方程 与与 同解，同解，0 XB0 XA 故故 与与 有有相同的线性组合关系。相同的线性组合关系。 m , 21 m , 21 则矩阵则矩阵 A 的的列列向量与向量与 P86 定理定理 3.6 23 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 1. 原理原理 2. 方法方法 (1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量列向量 排列，并构成矩阵排列，并构成矩阵 A ； (2) 对矩阵对矩阵 A 进行初等进行初等

23、行变换行变换得到得到行标准形行标准形矩阵矩阵 B ； (3) 根据矩阵根据矩阵 B 的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出 原向量组的原向量组的秩秩、极大线性无关组极大线性无关组以及以及线性组合关系线性组合关系。 24 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1512 2531 1421 例例 设设 求求 (1) 向量组的秩向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组；向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。 1 2 4 3 解解 3330 1110 1421 行

24、变换行变换 25 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n (1) 向量组的秩为向量组的秩为 2; (2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;, 21 (3) 线性组合关系为线性组合关系为 ,2 213 .)1( 214 3330 1110 1421 行变换行变换 0000 1110 1201 26 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 1 2 4 3 解解 TTTT 8642 7532 4321 3211 行变换行变换 例例设设 (1) 向量组的秩向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组；向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。 求求 2220 1110 1110 3211 27 3.4 向量组的极大线性无关组 第三章 维向量空间 n 由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组，不同的极大线性无关组， (1) 向量组的秩为向量组的秩为 2; (2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;, 21 (3) 线性组合关系为线性组合关系为, 213 .2 214 行变换行变换 2220 1110 1110 3211 行行变换变换， 此时只需按要求对矩阵