专题：与圆有关的最值问题

1、与圆有关的最值（取值范围）问题引例1:在坐标系中，点A的坐标为（3 ,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设 tan / BOC=m则m的取值范围是 .引例2 :如图，在边长为1的等边 OAB中，以边AB为直径作O D,以O为圆心OA长为半径作O O, C为半圆 弧Ab上的一个动点（不与 A、B两点重合），射线AC交O O于点E, BC=a , AC=b，求a b的最大值.引例3:如图，/ BAC=60，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长 为半径的圆P交射线AB、A . 3 B . 6AC于D E两点，连接3 3DE则线段(

2、).V9A也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方此题是一个圆中的动点问题， 法，注重了初、高中知识的衔接1 .引例1:通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点 O A构成夹角的变化规律，转化为 特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2 .引例2:通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3.弓侧3:本例动点的个数由引例 1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、 动

3、点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点 D、E与一个定点A构成三角形的不变条件 （/ DAE=60 ）,构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“ 正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透二、解题策略1 .直观感觉，画出图形；2 .特殊位置，比较结果；3 .理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立 等式，进行转化三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用如图，A点

4、的坐标为（-2 , 1）,以A为圆心的O A切x轴于点B, P（a, b）为O A上的一个动点，请分别探索:b a的最大值；b a的最小值;【拓展延伸】：b 2a的范围；b 2a的范围;例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3点D是平面内的一个动点，且 AD=2, M为BD的中点，在 D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是2.如图，O O的直径为4, C为O O上一个定点，/ ABC=30 ,动点P从A点出发沿半圆弧 Ab向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD

5、交PB的延长线于D点.(1)在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为(2)在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为例三、正弦定理1 如图， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 , AB=2.2 , D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径作OO 分A、B不重合)，M是CD的中点，过点2.如图，定长弦 CD在以AB为直径的O O上滑动(点 C D与点丄AB于点P,若CD=3 AB=8贝U PM长度的最大值是 .C作CP例四、柯西不等式、配方法1如图，已知半径为2的OO与直线I相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线I的垂设PC的长为x ( 2V x V 4),则

6、当x=时，PD?CD勺值最线，垂足为C, PC与OO交于点D,连接PA PB, 大，且最大值是为亠2.如图，线段AB=4, C为线段AB上的一个动点，以AC BC为边作等边 ACD和等边 BCE OO外接于 CDE 则O 0半径的最小值为().B. 23 C.33 2FD. 2E3.在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O O, P是O O上一动点，且 P在第一象限内，过点P作O 0的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是.7例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1 如图，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=6 BC=8则线段CE长度的最小值是D

7、为AB边上一点，过点 D作CD的垂线交直线 BC于点E,2.如图，Rt ABC中，/ C=90,Z A=30, AB=4,以AC上的一点 0为圆心 0A为半径作O 0,若O 0与边BC始终有交点（包括 B、C两点），则线段A0的取值范围是 _.3.如图，射线 PQ/射线 MN PM1 MN A为PM的中点，0为射线PQ上的一个动点，AC丄AB交MN于点C,当以0为圆心，以0B为半径的圆与线段PM有公共点时（包括P M两点），则线段0P长度的最小值为m B例五、其他几何知识的运用如图所示，AC丄AB, AB=6, AC=4,点D是以AB为直径的半圆 0上一动点，DE丄CD交直线AB于点E,设/

8、DAB=, （0 0)时，以O点为圆心的圆与边 AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点, 过E作EG丄DE交射线BC于 G.(1) 若点G在线段BC上，则t的取值范围是(2) 若点G在线段BC的延长线上，则3.如图，O M O N的半径分别为2cm, 直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为(A)乜123 (C)t的取值范围是.4cm,圆心距 MN=10cm P为O M上的任意一点, 当P、Q在两圆上任意运动时，3(D)Q为O N上的任意一点,tan 的最大值为().(B)4.如图，在矩形 ABCD中, AB=3, BC=4,个动点，连接 AP OP,则厶AOP面积的最大值为(215O为矩形(A)

9、4(B)(C)ABCD的中心，以).358(D)D为圆心1为半径作O D, P为O D上的一1745.如图，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=8, BC=6 经过点 Q则线段PQ长度的最小值是().A.翌24C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点 P、D . 4.26.如图，在等腰 Rt ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中点，点E在AB边上运动(点E不与点A重合)， 过A、D E三点作O O,O O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为ACFPQEOADB2CA2B12DBA工2 fl)OCCBD42 2BAydQOAxDBPOAx

10、cC. 3()A. ,78.如图，已知 一个动点，射线A、B两点的坐标分别为(-2 , 0) AD与y轴交于点E1111 .在直角坐标系中 为9.如图，等腰切线长PQ长度的最小值为(12.在坐标系中，点 丄AB于点B,贝U tan10.如图/ BAC= 60，半径长1O P交射线AB AC于D E两点,的圆心坐标为(0,-1)，半径为1 , D是OC上的 ().A . 3的OO与/ BAC的两边相切，P为O O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的 连接 DE则线段DE长度的范围为 .X1C点 A的坐标为(3, 0)，点P ( m, n)是第一象限内一点，且AB=2则m n的范围A的坐标为(3, 0),点B是y轴右侧一点，且 AB=2,点C上直线y=x+1上一动点，且 CB ACB m，贝U m的取值范围是.BD7.如图，A、B两点的坐标分别为(2 , 0)、(0 , 2) , O C的圆心的坐标为 一个动点，线段 DA与y轴交于点E,UA ABE面积的最小值是2逼233Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4 O C的半径为1,点P在斜边 AB上，PQ切O O于点 Q 则).(0 , 1)则厶ABE面积的最大值是1