专题检测三角恒等变换与解三角形理

1、专题检测（九）三角恒等变换与解三角形A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练、选择题1. （2019届高三益阳、湘潭调研 ）已知sin a5 贝y cos( n+ 2a )=()57A.257B.亦17D . 252 2 解析：选 D / sin a = cos 2 a = 1 2sin5817a = 1 =2525二 COS( n+ 2 a )=cos 2 a箱，故选D.2. （2018 全国卷川） ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, a，则 C=（6若厶ABC勺面积为nA.2B.nC.&D.解析:1-S= ?absin C=2abcos C 14= abcos C,C= cos

2、 C,即 tan C= 1./ Cn(0 ,n )，二 C=.故选 C.3.n若 0a 23 n，cos35,sin( a +3 ) = 3，贝U cos5A.7B.25725C.242524D . 25解析:cos卩=cos(oc +3 ) a = cos( a + 3 )cos a + Sin( a + 3 )sin a ,因为3 n，所以cos( a + 3 )0,所以sin4-,cos 3 =53X 5+2425.A4.右0,sincos=器，V 卩一a =（ ）B.nA.D.nC.y解析：选Bsin=5，cos a =彳5 由 cos 3527t=sin3 ,1010 ，n 及卩 0

3、, 2，得cos所以 sin（卩a ） = sin卩 cos a cos卩 sin a迥X症ep =农105 一 10 X 5 = 2 .n又因为（3 an 一y，所以卩5.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为ca, b, c, 若bcos 代则 ABC为（A.钝角三角形B 直角三角形C.锐角三角形D 等边三角形c sin C解析：选A 根据正弦定理得=cos A,b sin B即 sin Csin Bbos A/ A+B+C=n,.sinC=sin（A+E）sinBcosA,整理得 sin Ados B0, cos B0, yB n, ABC为钝角三角形.6. （2018 南昌一模）

4、已知台风中心位于城市 A东偏北a （ a为锐角）的150千米处，以V千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市 A西偏北3 （ 3为锐角）的200千米3处，若 cos a = 4COS 3 ,贝U V =（）A. 60B . 80C. 100D . 125解析：选C如图，台风中心为 B,2.5小时后到达点C,则在 ABC中, ABsin a = ACsin 3,即 sin a4=3sin 卩,又cosa；=7 Cos43 ,2 sina2+ Cos a16 2=ysin3+92 3 = 1 = sin2 23 + cos 3 ,16Cos sin33 , sin34433=-cos43

5、=5,cos 3=r5 sin a =-，cos5a =-,53 44 3 cos(a+ 3)=Cos a Cos3sina sin 3 =XX - = 0 ,5555a + 3 =n2， BC= AB+ AC,： (2.5 v)22 2150 + 200，解得 v = 100,故选 C.二、填空题7. (2018 全国卷n )已知sina + COS 卩=1, cos a + sin(3 = 0，则 sin( a+卩)9. （2018 长春质检）在厶ABC中，内角A,B, C的对边分别为a, b, c,若其面积S=b2sin A,角A的平分线AD交BC于点D, AD= 鬱,a = ，则b =

6、解析：由面积公式S= Ibcsin2CA= b2sin A,可得 c= 2b,即二=b2.由a= ；3，并结合角平分线定理可得，BD=务3。*#,在4b + 33 ABC中，由余弦定理得cos B= 4b + 3 b，在 ABD中 2X2b 3cosB=，即2X2 bx4b2+ 3-b22X2 bX 34b2+ 4-4+ 332X2 bx2 ,33，化简得b2 = 1,解得 b= 1.答案：1三、解答题10. (2018 全国卷 I )在平面四边形 ABCD中/ ADC= 90 / A= 45 AB= 2, BD= 5.(1)求 cos / ADB若DC= 2 2求BCBDAB解：(1)在厶A

7、BC中，由正弦定理得=sin / A sin / ADB即 sin 452sin / ADB所以sin/ adb=5由题设知，/ ADB90所以 cos / ADB=Z ADB=5 由题设及(1)知，cos / BDC= sin在厶BCD中，由余弦定理得BC= BD + DC- 2BD- DC- cos Z BDC=25+ 8 - 2X 5X2 ：2 X*= 25,5所以BO 5.11. (2018 昆明调研)在厶 ABC中, AC= 2：3, BC= 6,Z ACB= 150(1)求AB的长；延长BC至 D使Z ADC= 45求厶ACM面积.解: (1)由余弦定理 AB= AC+ BC 2A

8、C- BCcos Z ACB得 AB= 12+ 36 - 2X2y/3 X 6cos 150 = 84 , 所以 AB= 2 21. 因为/ ACB= 150, / ADC= 45所以/ CAD= 150 45= 105,由正弦定理CDACsin / CAD sin / ADC得CD=2 3s in 105sin 45 ，又 sin 105 = sin(60 + 45 =sin 60 cos 45 + cos 60 sin 45=2： ；6，所以 CD= 3 + .：3,111又/ ACD= 180 Z ACB= 30 ,所以 S acd= AC CD sin / ACD=X 3 X (3 +

9、 3) X =|( .3 + 1) 12. 已知函数 f(x) = 2sin xcos x+ 2 ：3cos2x ：3.(1)求函数y =f(x)的最小正周期和单调递减区间； 已知 ABC的三个内角 A B, C的对边分别为a, b, c,其中a= 7,若锐角A满足n = 3 且 sinB+ sin求bc的值.解：(1) f (x) 2sin xcosx+ 2 3cos x .3 sin 2 x+ 3cos 2 x 2sin 2x + 3 ,因此f(x)的最小正周期为2nT2 - nnn3nC=零,由 2 k n+ i W2 X + 亍 W2 k n+ ? ( k Z),“口n7 n得 k n

10、 + xW kn+ n( k Z),n7 n所以f (x)的单调递减区间为 k n + 12, k n + H (k Z).(2)由f A青=2sin 2 A才+才 =2sin A=yJ3，且A为锐角，所以 A=专.由正弦定理可得R a 7142R= s= 2a =飞,2sinB+ sinb+ c 13 ;32R14x143= 13,所以cos A2,2 2b + c a2bc2 2b+ c 2bc a 12bc= 2,所以bc= 40.B组一一大题专攻补短练1. （2018 天津五区县联考）在厶ABC中，内角 A B, C所对的边分别为 a, b, c,且8 sin2A+ B22cos 2

11、C= 7.(1)求tan C的值； 若 c=3, sin B= 2sin A,求 a, b 的值.解：在厶ABC中，因为A+ B+ C=n,A+ B n CA+ B C所以一 = 2 贝V sin- = cos$,2A+ B2C由 8sin 2cos 2 J 7,得 8cos 2cos 2 J 7,2所以 4(1 + cos C 2(2cos C 1)=乙2 1即(2cos C 1) = 0，所以 cos C=空n因为0V Gn,所以C=亍,n l于是 tan C= tan-3 =3.由 sin B= 2sin A,得 b= 2a.又c =订3,由余弦定理得 c2= a2 + b2 2abco

12、s ,3即 a2+ b2 ab= 3.联立，解得a= 1, b= 2.2.在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,满足 a2 + c2 b2 + 2bccos A- 4c=0，且 ccos A= b(1 cos C .(1)求c的值及判断 ABC勺形状；n若 8*,求厶ABC勺面积.6.2 2 2b + c a2bc4c = 0,解：(1)由 a2 + c2 b2 + 2bccos A 4c = 0 及正弦定理得2 2 . 2a + c b + 2bc 整理，得c = 2.由ccos A= b(1 cos C)及正弦定理，得sin Ccos A= sin B(1 cos

13、 C),即 sin B= sin Ccos A+ sin Bcos C=sin( A+ C) = sin Acos C+ cos Asin C,所以 sin Bcos C= sin Acos C,故 cos C= 0 或 sin A= sin Bn当cos C= 0时，C= 2，故 ABC为直角三角形；当sin A= sin B时，A= B,故 ABC为等腰三角形.(2)由(1)知 c= 2, A= B,贝U a= b,n因为C=K，所以由余弦定理，得64= a2 + a2 2a2cos，解得61n所以 ABC的面积 S= qa2sin = 2+3.3已知 ABC的三个内角 代B, C的对边分别为 a, b, 6且厶ABC的面积为S= -2accos B(1)若c= 2a,求角A, B, C的大小；nn 若a= 2，且才w，求边c的取值范围.解：由已知及三角形面积公式得13S= acsin B=2accos B,化简得 sin B= 3cos B,即 tan B= J3,又 0Bn,. B=.3(1)法一：由c= 2a及正弦定理得，sin C= 2sin A,又 AV C=2n3/ sin2n3A = 2sinA,化简可得tan2n0AEnnA= I,法二：由余弦定理得,/ b= 3a,.2 2 2 2 , 2