专题检测空间位置关系的判断与证明理

1、专题检测（十二）空间位置关系的判断与证明一、选择题1 已知E, F, G, H是空间四点，命题甲：E, F, G H四点不共面，命题乙：直线 EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B 若E, F, G H四点不共面，则直线 EF和GH肯定不相交，但直线 EF和GH 不相交，E F, G H四点可以共面，例如 EF/ GH故甲是乙成立的充分不必要条件.2.关于直线a, b及平面a , （3 ,下列命题中正确的是（）A.若a/ a, aA 3= b,贝9a /bB.若a 丄 3 , ma ,贝U ml3C.若a丄a ,

2、 a/ 3 ,贝9 a丄3D.若a / a , b丄 a,贝U bL a解析：选C A是错误的，因为a不一定在平面 3内，所以a , b有可能是异面直线;B是错误的，若 a丄3 , m/ a ,则m与3可能平行，可能相交，也可能线在面内，故B错误；C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直.3.已知空间两条不同的直线 m n和两个不同的平面 a , 3,则下列命题中正确的是 （ ）A.若m/a,n/3 ,a/3 ,则ni/ nB.若m/a,n丄3 ,a丄3 ,则ni/ nC.若mla,n/3，a丄3，则mL nD.若mla,

3、n丄3 ,a丄3 ,则mL n解析：选D若m/ an/3 ,a/ 3 ,则m与n平行或异面，即 A错误；若m/n丄3 , a丄3，贝U m与n相交或平行或异面，即B错误；若ml a, n /卩，a丄3，则m与n相交、平行或异面，即 C错误，故选D.4.如图，在三棱锥 P-ABC中，不能证明 API BC的条件是（）A. API PB API PCB. API PB BCL PBC. 平面 BPCL平面 APC BCL PCD. API平面 PBC解析：选B A中，因为 APL PB API PC PBA PC= P,所以API平面PBC又BC?平面PBC所以APL BC故A正确；C中，因为平面

4、 BPCL平面 APC平面BP6平面 APC= PC,BCL PC所以BC丄平面APC又AP?平面APC所以APL BC故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出 AP丄BC故选B.5.如图，以等腰直角三角形 ABO的斜边BC上的高AD为折痕，把厶ABDA ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论: BDLAC BAC是等边三角形； 三棱锥D-ABC是正三棱锥； 平面ADCL平面ABC其中正确的结论是（）A.B .C.D .解析：选B 由题意知，BDL平面ADC故BDL AC正确；AD为等腰直角三角形 ABC的斜边BC上的高，平面 ABDL平面ACD所以AB= AC= BC

5、 BAC是等边三角形，正确； 易知DA= DB- DC结合知正确；由知不正确.故选B.6. （2018 全国卷I ）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.3*34B.C.D.解析：选A 如图所示，在正方体 ABCDABCD中，平面 ABD与 棱AA, AB, AD所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与 AiA, AB,AiD平行，故正方体 ABCEABCD的每条棱所在直线与平面 AB D 所成的角都相等.如图所示，取棱 AB BB, BC, CD, D D, DA的中点E, F, G, H M N,则正六边形EFGHMN在

6、平面与平面 ABD平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN=x sin 60=牛3故选A.4、填空题7. （20 1 8 天津六校联考）设a , b为不重合的两条直线，a ,卩为不重合的两个平面, 给出下列命题:若 a / a 且 b/ a ,贝U a / b；若aLa且a丄卩，贝U a / 3 ；若a丄3 ,则一定存在平面Y ,使得Y La, y丄3；若a丄卩，则一定存在直线I，使得I丄a, I /卩. 其中真命题的序号是.解析：中a与b也可能相交或异面，故不正确. 垂直于同一直线的两平面平行，正确. 中存在y，使得Y与a ,卩都垂直，正确. 中只需直线I丄a且I?卩就可以，正确.

7、答案：&若P为矩形ABCC所在平面外一点，矩形对角线的交点为O, M为PB的中点，给出以下四个命题： OM/平面PCDOMZ平面PBCOM平面PDAOMZ平面PBA其中正 确的个数是.解析：由已知可得 OMZ PD二OMZ平面PCD! OMZ平面PAD故正确的只有答案：9.如图，/ ACB= 90 DAL平面 ABC AEL DB交 DB于 E, AF1 DC交 DC于 F,且AD= AB= 2,则三棱锥 D-AEF体积的最大值为 .解析：因为 DAL平面ABC所以DAL BC又BCL AC DAO AC= A,所 以BCL平面 ADC所以 BCL AF又AFL CD B8 CD= C,所以

8、AF丄平面DCB所以 AFL EF, AFL DB又DBL AE AEO AF= A,所以DBL平面 AEF所以DE为三棱锥D-AEF的高因为 AE为等腰直角三角形 ABD斜边上的高，所以 AE= ;2 ,设AF= a , FE= b ,则厶AEF的面积S= 1ab 2Xa2+ b212=x 222=1（当且仅当a= b= 1时等号成立），所以（VDKAEF）max=x x3 2、2 =6 .解：（1）证明：连接BD交AC于点O,连接OE在厶 PBD中 , PE= DEBO= DO 所以 PB/ OE又OE平面ACE PB?平面ACE所以PB/平面ACE由题意得AC= AD所以VP-ACE=

9、VP-ACD= ；VP-ABCD241 1=;X Sabcd PA4 31 1=4X3X2X11.如图，在直三棱柱 ABCABC 中，AB= AC= AA= 3, BC= 2, D是BC的中点，F是CG上一点.(1) 当GF= 2时，证明：BF丄平面 ADF(2) 若FD丄BD,求三棱锥 B1-ADF的体积.解：(1)证明：因为AB= AG D是BC的中点，所以ADL BC在直三棱柱 ABCABC中，因为BB丄底面ABC AD?底面ABC所以ADL BB. 因为B8 B B= B,所以ADL平面 BBCC因为B F?平面B BCG 所以ADL B F.在矩形 B BCG中，因为 G F= CD

10、=1, B C = CF= 2,所以 Rt DCF Rt FCB,所以/ CFD=Z CBF,所以/ B FD= 90所以B FL FD因为AR FD= D所以B F丄平面 ADF(2)由(1 )知 ADL平面 B DF CD= 1, AD= 2 ：2 , 在 Rt B BD中，BD= CD=1, BB = 3 ,所以 B D= :BD+ BB =1 0.因为FDL B D,所以 Rt CDF Rt BBD,所以D= CD,即 DF1 0 =,BD BB33 .10X2. 2 =罟1 1 1所以 V-ADF= yA-BDF= 3SBDF AD= 3X 2X12. (2018 石家庄摸底)如图，在多面体 ABCDPI中 ,四边形ABCD 和 CDPE都是直角梯形， AB/ DC PE/ DC ADL DC PDL平面 ABCD AB= PD= DA= 2PE CD= 3PE F 是 CE的中点.(1) 求证：BF/平面 ADP(2) 已知O是BD的中点，求证：BDL平面AOF证明：取PD的中点为G,连接FG AG F是CE的中点， FG是梯形CDPE勺中位线,/ CD= 3PE FG= 2PE FG/ CDCD/ AB AB= 2PE AB/ FG AB= FG即四边形ABFG平行四边形， BF/ AG又BF?平面ADP A(?平面ADP BF