山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)

1、精品文档 4欢迎下载 线性代数（经管类）综合试题一 （课程代码4184 ） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 遇1 % fl13 -2码i 坷i -如岛 22 321 叫2 眄3 1.设 D= 碍I如 二MO,贝y D= -吗1珂-如如 (B ) A. 2MB.2 M C. 6MD.6 M C.当 AE=O时，有 A=0或 B=O D.( AE)-1 =Ei1 A-1 =(a b 4.二阶矩阵 A *, | A=1，则 A1二 (d A. B. C. (B) a

2、 -加 c d D. 2.设A、B、C为同阶方阵，若由AE= AC必能推出 B= C,则 A 应满足 (D ) A.心 0 B.A = 0 c.| A= 0 D. | A和 3.设A, B均为n阶方阵，则 ( A) A.| A+AB=0，则 |H=0 或| E+B|=0 B.( A+B)2=A2+2ABhB? 族，则下列说法正确的是（B ）. A. 若两向量组等价，则 B. 若两向量组等价，则 c.若s = t ,贝y两向量组等价. D.若 r（ 片吗耳）二r （久卩厂久 ），则两向量组等价. 6. 向量组ffl线性相关的充分必要条件是（ C ）. A. 坷吗厂必中至少有一个零向量 B. 1“

3、2丿丁】中至少有两个向量对应分量成比例 C. 山12- 宀 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. 耳可由坷田线性表示 7. 设向量组有两个极大无关组耳与 %耳，则下列成立的是（C ）. A. r与s未必相等 B. r + s = m C. r = sD.r + s m 8. 对方程组Ax = b与其导出组Ax = o,下列命题正确的是（D ）. A. Ax = o有解时，Ax = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9. 设方程组 E十氐=0有非零解，则

4、k = （ D）. A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（D ）. A. | A0B.存在n阶方阵C使A二CC C.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 四阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余 子式的值依次为5，3,-7，4,贝S D = _-15. 12. 若方阵A满足A = A，且A吒，则|A二0 . Ml=- 13. 若A为3阶方阵，且 2 ,则|2A二_4. q o -i 2 2 -1 -2 6 14.

5、设矩阵 (31,4丿的秩为2,则t = -3. 15. 设向量 d = (6 , 8, 0)，卩=(4 , -3, 5)，则( #)二 _0. 16. 设n元齐次线性方程组 Ax = o, r(A)= r n,则基础解系含 有解向量的个数为_n-r_个. 17. 设 = (1 , 1, 0), ff2= (0 , 1, 1)，色=(0 , 0, 1)是 R的基， 则=(1 , 2, 3)在此基下的坐标为_ (1,1,2 ) 18. 设A为三阶方阵，其特征值为 1, -1 , 2,则A的特征值为 1,1,4. 19. 二次型(工小円)疋 C 4工宀“ 21円的矩阵A= 2 - 2 0 A -23

6、1 31 -b (I 2 0 2 20.若矩阵A与B=l0 0 4 彳丿相似，则A的特征值为1,2,3 精品文档 48欢迎下载 、计算题（本大题共 6小题，每小题9分, 共54分） 1+x 1 1-r 21.求行列式 i-y 的值 解: 1 + x 1 1 1 1 + x 1 1 1 1 1 -x 1 1 -x -x 0 0 1 1 1 + y 1 1 1 1十y 1 1 1 1 1 y 0 0 -y -y 1 0 x =xy 0 x 000 0 110 0 =xy c nI 1 0 0 y 0 1 0 0 11 y =x2y2 22.解矩阵方程: rl 1 -1? -2 1 1 X = 3

7、I 6 所以 A 由 AX=B# X二 AB二 3 = 3 0 3 1 6 1 1 1 -p T 解：令A= -2 1 1 ,B= 3 1 1 1 6 J 0 0 0 f Zlj-Xj +X, + =1 =可 + 召一号4 4j =2 24. a取何值时，方程组l吗+ 7-45+1114有解？并求其通 解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示). 解：对方程组的增广矩阵施以初等变换： -1 1 1 1 2 - 1 42 A= 1 2 -1 4 2 0 -53 -7- 3 1 7 -4 11 a .0 5- 3 7 a - 2 J 1 2 -1 4 2 0 -5 3 -7 -3 0 0 0

8、a 5丿 若方程有解，则r( A)=r (A),故a=5 当a=5时，继续施以初等行变换得: 1 5 3 5 0 6 5 7 5 0 4、 5 3,原方程组的同解方程组为: 5 0 4 1 6 = 3 - X4 5 5 5 3 3 7 3 - X4 5 5 3 5 Xi X2 X3,X 4为自由未知量, X3=X4=0得原方 程组的一个特解: 5 3 5 0 与导出组同解的方程组为: Xi X2 1 F 3 肆3 6 -5X4 7 T4 X3,X 4为自由未知量，令 X3 分别取 ，得到导出组的基础解系: ，所以, 方程组的全部解为v二 1 r 6、 5 -5 -5 3 3 7 +C1 +c2

9、 5 5 5 0 1 0 0 对于3=1，求齐次线性性方程组 得基础解系: 的对应于特征值% = 1的全部特征向量为：c 1 C式0） J丿 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量 0、 1 0 I J 0 1 0、 0 0、 以，A相似于对角矩阵，且P = 1 0 1 ,A = 0 2 0 0 1 1 0 0 1 26.用配方法将下列二次型化为标准形: f(xvx2lx =彳 + 2耳- + 4硒 - 4话 - 4些 解: f(xx2,x3) = Xr2x2 - x34x1x - 4x1x - 4x2x3 -4X/X2 _ X3)4(X2 _ X3)2 - 4(X2 _ X3)22X； -

10、x| - 4X2X3 = (X1 2 2 2 2x2 -2x3) -2x24x2x3 -5x3 = (X1 2x2 - 2x3)- 2 x2 - 2x2X3 X3) - 3x3 =(X1 - 2X2 - 2X3)2 - 2(X2 - X3)2 - 3x； 讨1 二 X12X2 _ 2X3 令/ 丫2 = X2 - X3 y3 = X3 X = y1 2y2 ，即 t*2=32*7 X3 = y 得二次型的标准型为: 2 2 2 y1- 2y2 - 3y3. 四、证明题（本大题共6分） 27.设向量坷二（）耳二（山）吗二（001），证明向量组 叫4吗是R3空间中的一个基. 1 1 证：因为_1

11、1 1 1 0 0 = 2式0，所以 1 1,3线性无关， 所以向量组：1, ：2, ： 3是R3空间的一个基 线性代数（经管类）综合试题二 （课程代码4184） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.若 三阶行列式 (C ). A. 1 D . -2 2.设A n阶方阵，则(川厅-柑成立的充要条件是(D). A. A可逆 B . B可逆 C .| A|=| B| D . AB=BA 3.设 A是A的伴随矩阵，则 (A). A . A ir4 B. A C. =

12、 A D. 才 n阶可逆矩阵, 4.矩 1 1、 1 2 I 2 3 秩为 2 ，则 入 (B). A. 2 5. 设3M矩阵A的秩r(A)=1 , 丄艮Y是齐次线性方程组Ax=o的 三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 (D). a.见几。丿 b . Arr尸 C.PP 7 7D .吐叩卩否卩丫 6. 向量；线性相关，则 (C ). A. k =-4B. k = 4 C . k =-3 D . k = 3 7.设U1, U2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个解 ,若辆C占是其 导出组Ax=o的解，则有 (B ). A. C1+C2 =1B . C1= C2 C . C1+ C2 = 0

13、 D . C1= 2C2 8.设A为n（n支）阶方阵，且A=E,则必有 (B ). A. A的行列式等于1 B. A的秩等于n C. A的逆矩阵等于E D. A的特征值均为1 9.设三阶矩阵 A的特征值为 2, 1, 1 ,则A1的特征值为 (D ). A . 1,2B. 2, 1, 1 C 1 1 .2,1D. 2,1, 1 10. 二 次 型 （兀兀石）-彳+ +时 是 （A ）. A.正定的B .半正定的 C .负定的 D .不定的 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分 11 1 11 3 1 4 12. 设A为三阶方阵，

14、且|A=4，则|2A二32, Jl 1 0、 广 110 0 0 2 0 2 2 13.设 A= 20 J ,B = 卫0 3J 0 0 10 -1 - 1 11 04 则 Ab 2 1 1 _5 _2J,则 A-1 = 14.设 A = -2 - 1 I. I 52丿 15. 向量#-（ 1：人纫表示为向量组召（h HE （4 I, 0）, 勾二（2I）的线性组合式为7 2e2 5e3. liq弓二0 近 + 隔一 2jq = O 16.如果方程组 工j fcq 有非零解，则k 2 3 18.已知实对称矩阵A=l 2 /（龙小占）二_f（x x2,x3） rx： ,写出矩阵A对应的二次型 -

15、3x3 x1x 3x1x3 -1 01 0 -1J 相似，则A=_E, 19. 已知矩阵A与对角矩阵A 20. 设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正 惯性指数为3,则其规范形为yj +y； +y - y4 二、计算题（本大题共 6小题，每小题 9分， 共54分） 的值. 21.计算行列式 =(x3y) i 0 0 0 y -y 0 0 =(x 3y)( -y)3 x + 3y y y y 1 y y y x + 3y x y y =(x +3y) 1 x y y x + 3y y x y 1 y x y x + 3y y y x 1 y y x 解：原式二 -1 0、 q r -1 2

16、【 1 0 2 22.设矩阵 A= 2 2 3J B= b 求矩阵 A1 B . 广1 1 0 1 1 q -1 0 1 1 解 (AB)= -1 2 1 0 2 T 0 1 1 1 3 2 2 3 2 1 0 1 4 13 1 -1 0 1 11 q 0 0 2- 9 T 0 1 0 -3 -10 T 0 1 0 3-10 卫 0 1 4 13 i0 0 1 4 13 J J 2 9 A B = -3 10 3丿，求k的值，使A的秩r(A)分别等于 1, 2, 3. 解：对矩阵 广1- 2 3k、 q -2 3k、 A = -12k -3 T 0 2k -2 3k 3 k - 2 3 0 2

17、k -2 3 - 3k2 ) -2 3k 、 (1 -2 A施行初等变换: 2k - 2 -3k2 0 6 0 0 0 0 k - 1 0 3k - 3 -3k 3k k - 1 (k +2)(k - 1) 当k=1时, 广1 0 0 0，矩阵A的秩r (A) =1； (1 当k=-2时, -3，矩阵A的秩r(A)=2； (1 当k- 1且k = -2时, 3k 1 1 ，矩阵A的秩r( A)=3. 24.求向量组 4 10 丿的秩和一个 极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示 解：将所给列向量构成矩阵 A，然后实施初等行变换 1 1 1 2、 广1 1 1 2、 广1 1 1

18、 2、 1 2 3 4 0 1 2 2 0 1 2 2 T T 1 3 7 10 0 2 6 8 0 0 2 4 4 13 20 3 12 18 （：1： 2： 3： 4）二 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 1 0 2、 2 2 1 0 0 2, 3, :r） = 3 ,向量组的一个极大无关组 为： ：1，：23,且有 4 = 2：j - 22 2： jq +2X2-214-3X4 =0 + 2=0 并用基础 25.求线性方程组l壬十3习-延+ 7习=0的基础解系， 解系表示其通解. 解：对方程组的系数矩阵 （或增广矩阵）作初等行变换: 12- 23 2 3-12 13- 57 -5

19、4 0 与原方程组同解的方程组为 X3,X 4为自 xi = 4X3 + 5X4 甘中 x2= 3x3 - 4x4 、 由未知量。 X3 X4 分别取 ,0得基础解系：Vi 5 3 ，V2 = -4 1 0 方程组的通解为： CiVi C2V2 J 4、 广5、 3 + C2 -4 1 0 1 I1 Ci (Ci , C2为任意常 数） 26.已知矩阵 求正交矩阵 P和对角矩阵A,使 F-iAP=A. 解：矩阵A的特征多项式为: 得矩阵A的所有特征值为1二2 = 03 = 3 对于1 = 2 =0，求方程组（0EA）x二O的基础解系 J 1 -1 -1 1 1、 -1 -1 -1 T 0 0

20、0 1 -1 -b t0 、 0 0丿 将此线性无关的特征向量正交化，得: 1 2 1 2 1 ,再标准化，得: 1 (1、 V 76 1 1 忑 0(2 = _76 0 2 i) v6 丿 1 对于3工将其单位化，得 解方程组（3E - A）x f 2- 1 - 1 q 0 一广 -1 2 - 1 T 0 1-1 ，方程组的基础解糸为。3 = 1 -1 - 1 2 1，鳥21 ：；2亠，亠6线性无关。 线性代数（经管类）综合试题三 （课程代码4184） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内

21、。错选、多选或未选均无分。 1. 当（D ）成立时，世 7阶行列式的值为零. A.行列式主对角线上的元素全为零 n(n-X) B. 行列式中有个元素等于零 C. 行列式至少有一个 (-1) 阶子式为零 D. 行列式所有 -1) 阶子式全为零 2. 已知人均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足 ABCE,则 下 列 结 论 必 然 成 立 的 是 (B ). A. ACBE B. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E 3. 设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( D ). A. ( AB-1 二A1 B1 B. c.(abt =aTbt D. 4.下列矩阵不 (B ). 1小 A. I

22、1 丿 B. I。 1丿 5.设A 是 4 (A+B)- 1二AUB1 |(血)*丄 1的 是 初等矩阵的 是 1 3 C. D. I2 1 丿 维向 量组，则耳松虫 (D ). A. 线性无关 B. 至少有两个向量成比例 C. 只有一个向量能由其余向量线性表示 D. 至少有两个向量可由其余向量线性表示 6. 设A为nmn矩阵，且n0B.A的每一个元素都大于零 C. HQ nD.A的正惯性指数为n 10. 设A,B为同阶方阵，且r(A) = r(B，则(C ). A. A与B相似B.A与B合同 C. A 与 B等价D.|H=| B| 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每

23、小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式 1 -1 -1 3 3 0 -3 24 12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为 （“3），其中是a的第j列， Ef 见还的）,则 | B|= _6_._ 13.已知矩阵方程AXfB,其中A= 1 - r -1 2丿亠 1 -1? ，B=b 0 丿 ,则 X=_ 14.已知向量组 觸=（爲他=山爲耳他=（1）丄） 的秩为 2,贝卩k = -2 15.向量的长度 16.向量一（厶-口）在基坷二二（I丄。）马二（IQ0）下的坐 标为 3-43 17.设是4元齐次线性方程组 Ax=o的基础解系，则矩阵A 的秩 r(A)= _1

24、 1 =o 18.设1 = 0是三阶矩阵A I1 的特征值，则a = 19.若f临范/J二彳+ 2 +掘+ 2! +41占+ 6砂梦是正定二 次型，则兄满足5._ 20. 设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵 B=A2+2A,则|B|= 360. 三、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54分） r 30 1 I 21. 设三阶矩阵A=l 2 0 3丿，E为三阶单位矩阵. 求：（1）矩阵A-2E及|人2曰；（”一2） 解：（1）A - 2E 3 ：1 L- 1 1 0 2 3 z2 0 0 0 ,0 I 0 0、 2丿 A - 2E 1 0 0 1 0 0 亠亠 ；1 -1 0 0 1

25、0 -1 2 1 0 0 1 z J 1 0 0 1 0 0 T 0 1 0 1 -1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0 10 0、 0-110 1101J 二（A - 2E）=| 1- 1 0 I1 2 1 丿 22. 已知向量组耳=輕2庙=（ (2)求二次型的秩和正惯性指数. f (x2, x3) = x；2x1x - 2x1x32xf - 4x2x3 - 3x； Xi2 =(X1 2丄2 X2_ X3)X2 -2X2X3 _ 4x| =(xi X2- X3)2(X； -2x 2X3 X 3) - 5X3 =(Xi X2 - X3)2- (X2 -X3)2 - 5xf y1 =

26、X1 X2 - X3 2 X 2_ X 3o y3 二 X3 X1 = y1 - y2 即収2 = y? + y3 X3 = y 2Xi(X2 - X3)(X2 - X3)2 1 -(X2 - X3)22x； - 4X2X3 - 3x3 得二次型的标准形为: (2)由上述标准形知：二次型的秩为 3,正惯性指数为2 四、证明题（本大题共6分） 27.已知A是n阶方阵，且（了-，证明矩阵A可逆，并求 证：由（A+E）2=0,得：A2+2A=-E,从而 A（A+2E）二-E,A（-A-2E）二E 所以A可逆，且AJ=-A-2E 线性代数（经管类）综合试题四 （课程代码4184 ） 一、单项选择题（本

27、大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 125 13-2 =0 1. 三阶行列 ). ). A. 2 B. 3 C. 2.设A， B均为n 阶非零方阵， A. ( A+B( AB) = A2-B2 B.( D. -3 下列选项正确的是 AB-1 1 1丿2 I-1 2丿 ,AB BA= (). 2 1 广-1 -公 r-l 2 3), %旳是齐次线性方程 组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=o的基础解系为 (). A.唧盘*0B. c. D. 的特征值为). A. 3，5

28、 B . 1，2C.1 Ar+r 住-皿 ，1， 2 D.3， 3， 5 (). A.如0B.存在n阶矩阵P,使得A=FtP C.负惯性指数为0 D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 alb I 0 2 = 11. 2 0 _ 12.设A为三阶方阵，且| A=2，A是其伴随矩阵，则|2舛 =02 13. 设矩阵A 14. 设a-（L（ 2X/?-（2J70），则内积（亿Q =. 15. 若向量吗不能由叫4线性表示，且 r（啊） =2，则 r（%）=. f旺+坷亠 3x4 = 3 =2xt 4-5x3

29、 + 2Xg 4- 4 = 16. 设线性方程组十巧十习有解，贝S t 17. 方程组X1 1 2 11化-（）的基础解系含有解向量的个数 是._ 18. 设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1 ,2,则| B|=. 19.设二次型的矩阵 则二次型 f(hX2) = 20.用正交变换将二次型 兀务耳可二*血 化为标准形为 y； X, 则矩阵A的最小特征值为 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 0 0 0 AAA y xy0. Oxy 00 x . * AB- - 000. 21.计算n阶行列式 q 1 广11 1 2 1 X = 2 0 卫2 1; I3 丿 22.解矩阵方程: 23.验证坷（血（W吗（山）是R3的一个基，并求 向量2）在此基下的坐标. 24. 设向量组叫耳吗线性无关，令 八=-咐$伤=坷-