导数参数问题(解析版文科)

1、含参数导数问题、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f (x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法：第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0, 0成立，则a=(1)求函数yf (x)的图像在1处的切线方程;e(2)(I)f/(x)求y f (x)的最大值；设实数a 0，求函数F(x)f (x)定义域为0,1 -1 nx2af (x)在a,2a上的最小值xfj)ef/(1) 2e2函数yf (x)的在x1处的切线方程为:e

2、ec2c2e x 3ey e 2e2(x 1)，即 y(n)令Jx)0得xe当 x (0,e)时，f/(x)当 x (e,)时，f/(x)fmax (x)f (e)1e(川)a 0,由(2)知：0 , f(x)在(0,e)上为增函数0，在(e,)上为减函数F(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减.F (x)在 a,2a 上的最小值 f min (x) min F (a), F (2a)F(a) F(2a) Elnf2 2当 0 a 2时，F(a) F(2a)0, fmin (x) F(a) Ina1当 2 a 时 F (a) F (2a) 0, fmin (x)F (2a) In

3、2a23、设a为实数，已知函数 f(x) lx3 ax2 (a21)x.3(1)当a=1时，求函数f(x)的极值.(2)若方程f (x)=0有三个不等实数根，求a的取值范围(1)依题有 f(x) !x3 x2 ,3故 f xx2 2x x x 2 .由x,000, 222,f x+00+f x/极大值极小值/得f x在x 0时取得极大值f 00 , f X在x 2时取得极小值f 2 3(2) 因为 f xx2 2ax (a2 1) x (a 1) x (a 1),所以方程f x0的两根为a- 1 和a+1,显然，函数f (x)在x= a 1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.因为方程f(x)

4、 =0有三个不等实根，解得 2 a 2且a1.1 23(a 2)(a 1)0,所以f(a 1)0,即 f(a 1) 0,3(a 2)(a 1)20,4、 方程x3 3x m 0在0,1上有实数根，则 m的最大值是 132f (x)-x (1 a)x 4ax 24 a5、 设函数3，其中常数a1(1)讨论f(x)的单调性；若当x寸，f(x)0恒成立，求a的取值范围。(1) f (x) x22(1 a)x 4a (x 2)(x2a)由a 1知，当x 2时，f (x) 0,故f (x)在区间(，2)是增函数；当2 x 2a时，f (x)0，故f (x)在区间(2,2a)是减函数；当x 2a时，f (

5、x)0,故f(x)在区间(2a,)是增函数。综上，当a 1时，f (x)在区间(，2)和(2a,)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(2)由(1 )知，当x0时，f (x)在 x2a或x0处取得最小值。f(2a) i(2a)3 (1a)(2a)24a 2a24 a4 32a3 4a224 a33f(0)24aa 1,a 1由假设知f(2a)0,即4a(a3)(a 6)0,解得 1a0成立，则 a=解：曾鬥邇i咸.辻珮商战*曲所H从止门一粽上4E|1 r/42.已知a是实数，函数f(x)o2ax 2x 3 a.如果函数yf(x)在区间1,1上有a 0 ,f (x) 2x 3，显然在上没有零点

6、,所以a 0令4 8a 3 a 8a2 24a 4 0得a -当a-时，y f x恰有一个零点在1,1 上;2当f1 gf 1a 1 a 50 即 1 a5 时,零点，求a的取值范围.2解：若y零点在1,1上;3 .721,1上有两个零点时也恰有一个解得aa8a224a 4 0a 08a2 24a112a0112af 10因此a的取值范围是a 1或3.设函数 f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8，其中 a R。(1)若f(x)在x 3处取得极值，求常数a的值； 若f(x)在(,0)上为增函数，求a的取值范围。解：(I) f(x) 6x26(a 1)x 6a6(xa)(x 1).因f

7、(x)在x3取得极值， 所以f (3)6(3a)(3 1)0.解得a经检验知当a 3时,x 3为f(x)为极值点(n)令 f (x)6(x a)(x 1) 0得x1 a,x21.3.当a 1时，若x (,a)(1,),则f (x)0,所以f (x)在(，a)和(1,)上为增函数，故当0 a 1时，f(x)在(，0)上为增函数.当a 1时，若x(,1)(a,),则f (x)0,所以f(x)在(,1)和(a,)上为增函数，从而f (x)在(，0上也为增函数.综上所述，当a 0,)时，f(x)在(，0)上为增函数325.已知 f(x) ax bxcx在区间0,1上是增函数，在区间(,0),(1,)上

8、是减函数,又2f(2)(I )求 f (x)的解析式；(n )若在区间0,m(m 0)上恒有f (x) wx成立，求m的取值范围5.解：(I)f (x) 3ax2 2bx c，由已知 f (0)f (1) 0,c 0,3a 2bc解得0, b0,3a.22f (x) 3ax 3ax,13a3a332, a2,f(x)2x 3x2422(n)令 f (x) w x，即 2x3 3x2 x w 0 ,1 x(2x 1)(x 1) 0 ,0 w x w 或 x 1 .21 又f (x) w x在区间0, m上恒成立，0 m w -.26.已知x 1是函数f (x)m, n R, m 0 ,32mx

9、3(m 1)x nx 1的一个极值点，其中(I )求m与n的关系式；(ii)求f (x)的单调区间;(III )当 x1,1时，函数yf (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m，求m的取值范围.6.解(I) f (x)23mx 6( m 1)xn因为x 1是函数f (x)的一个极值点,所以f0,即 3m 6( m1) n 0,所以n3m 6(II )由(I)知,2f (x) 3mx6(m 1)x 3m 6 = 3m(x 1) x 12当m 0时，有1 1 -，当x变化时，f(x)与f (x)的变化如下表:mx,1 ? m1 2 m1三1 m11,f (x)00000f(x)调调递减极小值

10、单调递增极大值单调递减2 2故有上表知，当m 0时，f(x)在 ,1单调递减，在(1,1)单调递增，在(1,)mm上单调递减.2(III )由已知得 f (x) 3m，即 mx 2(m 1)x 20又m 0所以x22(m1)x20 即 x?(m1)x 0,x1,1mmmm设 g(x) x22(1-)x2其函数开口向上，由题意知式恒成立，mmg( 1)01 222044所以Jmm解之得m又m0所以m 0g(1) 01033即m的取值范围为么,0310.已知函数f(x) x32 axx1, a R .(I)讨论函数f(x)的单调区间;(U)设函数f(x)在区间 -,-内是减函数，求a的取值范围.3

11、 310.解：(1)f (x) x3 ax2 x 1求导：f (x)23x 2ax 1当a2 3时， 0f(x)在R上递增当a23 , f (x)0求得两根为x即f(x)在 ,a & 3递增,a 4a1 _3a y/a2_333递减,a .a 33递增3a a2 3 7(2)3 3，且 a2 3a Ja2 313_ 311设 a R，函数 f (x) ax3 3x2.(I)若x 2是函数y f (x)的极值点，求a的值；(U)若函数g(x) f(x) f (x)，x 0,2，在x 0处取得最大值，求a的取值 范围.11解：(I) f (x) 3ax2 6x 3x(ax 2).因为x 2是函数y

12、 f(x)的极值点，所以f (2)0,即6(2 a 2)0，因此a 1 .经验证，当a 1时，x 2是函数y f (x)的极值点. 4分(U)由题设，g(x) ax3 3x2 3ax2 6x ax2(x 3) 3x(x 2).当g(x)在区间0 ,2上的最大值为g(0)时，g(0) g(2), 即 0 20a 24 .故得 a - . 9 分5反之，当a -时，对任意x 0,2,5g(x) - x2 (x 3) 3x(x 2)53x(2x2 x 10)(2x 5)(x 2) 13(I )讨论f(x)的单调性；(n )若当x0寸，f(x)0恒成立，求a的取值范围。15.解： (I) f (x) x 2(1 a)x 4a (x 2)(x 2a)由a 1知，当x 2时，f (x)0，故f (x)在区间(，2)是增函数;当2 x 2a时，f (x)0,故f (x)在区间(2,2a)是减函数；当x 2a时，f (x)0，故f (x)在区间(2a,)是增函数。综上，当a