高等代数教案-1.1数的基本知识

1、第一章 多项式理论课题1.1 数的基本知识授课时间授课时数2学时教学目的及要求1. 使学生了解数的整除性质, 带余除法和数的最大公因数的求取方法;2. 使学生了理解并掌握数的互素概念与性质, 了解算数基本定理;3. 使学生理解数域和数环的定义和判定方法.教学重点1. 数的整除性和互素性;2. 数域和数环的概念和判定方法.难点1. 数的整除与互素的概念和基本性质;2. 数域和数环概念的理解.教学方法讲授法教学的主要内容和过程注记常用数集: 自然数集合: N; 整数集: Z; 有理数集: Q; 实数集: R; 复数集: C.定义1 设, 若存在, 使等式 (1)成立, 则称整除, 或被整除, 用记

2、号表示; 若满足(1)式的整数不存在, 则称不能整除, 或不能被整除, 用记号表示.如果, 我们说是的因数或约数, 而是的倍数. 由整除的定义, 易得下述结果:定理1.1.1 若且, 则.定理1.1.2 若且, 则有.注1: 由于整数加法满足结合律, 故定理1.1.2可以推广为任意有限多个整数的情形.定理1.1.3 (带余除法) 若, , 则存在唯一的使, . (2)定义2 设若, , 并且对任意的, 只要且就有, 则称是和的一个最大公因数.注2: 定义2包含两层含义: (1) , 说明同时是和的因数, 可称为和的公因数; (2) 说明是和的任意公因数的倍数, 表明了的最大性.注3: , 由于

3、, 故是和的公因数, 很显然, 是和的最大公因数.注4: 设, 如果, 则是和的最大公因数.教学的主要内容和过程注记定理1.1.4 设满足, , 则两组数与有相同的最大公因数.由定理1.1.4立即可的:定理1.1.5 对于任意的, 和的最大公因数都存在.注5 .定理1.1.5的证明过程给出了求两个数的最大公因数的方法.定理1.1.6 设是和的最大公因数, 则是和的最大公因数.注6 定理1.1.6一方面表明和的最大公因数不唯一; 但另一方面又揭示了虽然和的最大公因数不唯一, 但是它们之间只是相差一个符号. 通常我们用符号表示和的正的最大公因数 与定义2类似, 可以给出任意有限多个整数的最大公因数

4、:定义3 设, , , 如果, , 并且对, 只要, , 就有, 则称是的最大公因数. 通常用符号表示的正的最大公因数. 如果, 则称互质或互素.定理1.1.7 设是, 则和互质存在使 . (3)定理1.1.8 设. (1) 若且, 则; (2) 若, 且, 则.定义4 设且, 如果不能写成两个比小的正整数的乘积, 则称是质数或素数.注7 由定义4, 显然可得: 是质数除了和以外没有其它的正因数.定理1.1.9 设是素数. (1) 对任意的有或; (2) 对, 或.定理1.1.10 (算数基本定理) 任意一个大于的整数都可写成有限个素数的乘积, 即. (4) 其中是互不相同的素数, 是正整数.

5、 如果不考虑因数的次序, 该分解式是唯一的. 由于任意两个整数的加, 减和乘的结果还是整数, 所以可以说在整数集Z上可以进行加, 减和乘法三种运算, 并且其结果还在Z中. Z的这种特性通常我们称为Z关于加, 减和乘法三种运算是封闭的. 一般地, 我们有如下定义:定义5 设是一个非空的数集, 如果关于加, 减和乘法三种运算封闭, 则乘是一个数环.注8 显然, Z, Q, R, C均为数环, 分别称Z为整数环. 但N不是数环, 因为它对减法不封闭.例1 由数字组成的单元素集合是一个数环.定理1.1.5证明重要!教学的主要内容和过程注记例2 设是正整数, 则集合是一个数环. 值得注意的是: 整数环Z

6、关于除法运算是不封闭的, 但是数环Q, R, C关于除法运算都是封闭的, 于是, 我们又有定义6 设是一个含有非零元素的数环, 如果关于数的除法运算(除数不为0)也是封闭的, 则称是一个数域.注9 显然数域是特殊的数环. 数环Q, R, C均为数域, 分别称为有理数域, 实数域和复数域. 但整数环Z不是数域.例3 设, 则是一个数域.设是任意一个数域, , 则由定义6可知, , , , , 所以每一个正整数. 又由于, 所以可得. 而任意一个有理数都可以写成两个整数的商(有理数的定义), 所以. 由此我们便得定理1.1.11 任何一个数域都包含有理数域.注10 定理1.1.11说明: 有理数域是最小的数域.例3需要给出详细的验证过程!作业P9 第9题, 第10题参考文献1. 张禾瑞,郝丙新,高等代数（第四版）,高等教育出版社,1999年.2.北京大学数学系,高等代数（第三版）,高等教育出版社,1999年.3.北京大学几何与代数教研室代数小组,高等代数