第三章连续时间系统的频域分析

1、第三章连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法( 6.36. 4)信号分解的目的：将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化电路分析与运算，总响应二单元响应之和。1 正交函数集任意信号f (t)可表示为n维正交函数之和：f (t)二 Cig(t)C2g2 (t)C r gr (t) Cn9n (t)八 Crgr (t)r z4原函数t2 f 0,gi t , g2 T gr t相互正交：:gm(t) gn (t) dtjKm,gr t称为完备正交函数集的基底。一个信号可用完备的正交函数集表示，正弦函数集有许多方便之处，如易实现等，我们主要讨论 如何用正弦函数集表

2、示信号。2 能量信号和功率和信号(6.6 -)设i t为流过电阻R的电流，瞬时功率为P(t)i2(t)R一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R二1傢则在整时间域内，实信号Tow lim jf2 (t) at讨论上述两个式子，只可能出现两种情况:f(t)的能量，平均功率为:朕:f2 (t)dt0 :伊：(有限值)P二0(有限值)W =满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。3 帕斯瓦尔定理设gr(t*为完备的正交函数集，即t2:七2tf2 t dt C： g： r T切t dt Cr gr (t) 2 dt r 3 t|此式称为帕斯瓦尔定理P331 式(6-81)(P93, P350)

3、左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。物理意义：一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之 和。、周期信号的频谱分析一一傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有两种形式 0三角形式:f (t) = a0 亠一a. cosn t bsin n t n 二Q0=Co 亠一 Cn COS (n it n)指数形式：f(t)二.F(n i)e-(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性n , F (n ,八谐波性：(离散性)谱线只出现在刀i处，唯一性：f(t)的谱线唯一(3) 两种频谱图的关系三角形式：5 n 单边频谱指数形式：F (noi) 国,双边频谱1两者

4、幅度关系F (n斜)二一 Cn(rf 0)Fo=Co=ao2指数形式的幅度谱为偶函数Fg)二|F(-n 叫)指数形式的相位谱为奇函数(n ,) = -(-n J引入负频率对于双边频谱，负频率(n rj,只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？T f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共辘对与，才能保证f (t)实函数性质不变。(5)对特殊信号不一定满足上述三个性质od例如：冲激序列、订住)二a r. (t nT) (n为整数)的付里叶级数n=-joa分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定 值，傅里叶级数存在。即1 T21F(n J = 1 t叫T

5、 丄UTf (t)= T(t)”n=jT(t)的频谱，有离散性，谐波性，无收敛性，频带无限宽周期信号的功率1. 描述周期信号的平均功率二各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦尔定理) 0f (t) =do t ancosn 北 bn sin n 北n 4平均功率：1 T 2P 芥 0 f2 (t) dtCn是三角形式傅里叶级数的余弦形式中振幅值。 总平均功率二各次谐波的平均功率之和对于指数形式的傅里叶级数巴，2,2p= f (t) dt二送 If送 |Fn|三、典型周期信号的傅立叶级数本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论其频谱的特点频谱结构已知矩形脉冲信号的脉宽为脉宽为，脉冲高度为E,周期为三角形式的谱

6、系数f t是个偶函数=0,只有, an指数形式的谱系数F (n、 )_f(t)e$ dt 二T 2包络线按抽样形状变化tsa(x)抽样函数Sa(x)=空仝：当-0时，空哇一 1频谱是离散的F刀i 是n i的函数，只在 4的整数倍有值（谐波性）其最大值在 n = 0处，为一。Ti幅度J1谱线间隔TiE当Ti r 时，Sir*电非周期信号。矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性对比波形：1 1T i S T 2S T3 =1sn F （ngZ rXZZZr%X2兀、0J1J F(n%) * umijj ujzfitl频带宽度nd t周期矩形脉冲信号的频谱每当一一=m （ m

7、取整数）时，通过零点。其中第mt一个零点在一，即n i,此后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在2T第一个零点以内。信号一般主要集中在低频段。定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：2 -IB或B f ,带宽与脉宽成反比。TT1对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。系统的通频带 信号的带宽，才能不失真四. 非周期信号的频谱分析一傅里叶变换傅里叶变换当厂：时，f(t):周期信号非周期信号谱系数：F(n门二右$ f(t厂fdt(1)Ti F n i = =单位频带上的频谱值1 Tif当t r

8、：:时， 一 lim y iTi：1 lm$ f (t) e一Jn %tTi,2f (t) ej StF |壷：称为频谱密度函数，简称频谱函数。由f(t)求F0称为傅立叶变换。F0 般为复信号，故可表示为FC ) = |F( )|ej |Ff )|-:幅度频谱C厂：相位频谱反变换f t应是F Q的反变换。f(t)二丄 F yi td2兀5傅立叶变换对tdt = F f (t) 1f(t) = 1 Fe,方丫 -F J f (t)l2兀s称为付里叶变换对，简写 f t TF，其中f(t)称为原函数，F()称为象函 数。傅立叶变换的特殊形式F 力II F -。宀二T jX实部 虚部f(t)二 fe

9、 t fo t实信号偶分量奇分量Fi I f (t) e仁dt 一Sf(t) f(t)I Cos t 一 jsin t dtqq=2o fe(t) cos tdt -qqj2 0 fo(t) sin tdt实部oORQ : 2 fe (t)cos tdtN OqqX- 2 0 fo(t) sin tdtF佃卜 B佃沪+ (X P2亠、 -X (4)-二 tg 1R)虚部关于的偶函数关于的奇函数关于国的偶函数关于的奇函数f t偶函数(奇分量为零)一尸为实函数，只有R),相位一 :f t奇函数（偶分量为零）一为虚函数，只有X ,相位-一奇偶虚实性傅里叶变换的物理意义f (t)为实函数，、1f(t)

10、 一 f 佃 eJ9tdod eJ tJ 9-TT F ej ( ) ej h2：_ j 丄 _FQ sin t 亠iQ id- 2工一F (7) cost 亠Q2F iQ) cos rt 亠 Id2T八=f F ( jcoslot + 0 )dod coS t -求和振幅正弦量由上式可得出，非周期信号可分解为：1无穷多个幅度为无穷小(一|f(b ilcT )的连续指数信号之和，占据整个频域，2兀0 : 一乂 T 8 ;1无穷多个振幅为无穷小(一丨F (4)1111(4)的连续余弦信号之和，频域范围:傅里叶变换存在的条件f t dt二有限值充分条件即f(t)绝对可积，F存在。所有能量信号均满足

11、此条件。当引入函数的概念后，允许作变换的函数类型大大扩展了。f(t)五. 典型非周期信号的频谱矩形脉冲(cot )幅度频谱：FF (们)=ESa 4 I相位频谱:单边指数信号F 心I Ee tuteTtdt310-TI2咒卜4兀/i直流信号Ef (t) =E 一： ：口丁 t :f t不满足绝对可积的条件，不能直接用定义求利用矩形脉冲的频谱求极限。E 2 二、：Q i时域无限宽，频带无限窄。当 f t = 1 时，F 1 I 2 二一,t0t 各频谱函数卷积的笃二倍3. 作用卷积定理：揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯理论中有重要作4. 应用：用时间卷积定理求频谱密度函数求fd的傅立叶变换

12、。求系统的响应f(t) g(t)h (t) 1g(t )二 f (t% h(t)5. 调制原理与频分复用调制：将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高频段上的过程。图 1为幅度调 制 9 (AM)o解调将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。图4所示为同步解调-m 0G( JAJ- /mA-2C0c- m 2 a 1 FOm2 a2g频分复用所谓频分复用，就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传 输 体制。发信端：调制，将各信号搬移到不同的频率范围。收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调再利用一个低通滤波器（带宽 （4）KQ|2U 滤除再2附近的分量，即可取出ft,完成解调。八. 周期信号的

13、傅立叶变换周期信号：f t h傅里叶级数-F n i离散谱非周期信号ft-傅里叶变换-F连续谱COSot 门（八亠心0正弦信号：sin otr j 门（1）丿（1、fT t 丿 F n i e n=joo一般周期信号：OQQQFr 八 f nr F kjn 儿 L2 F n、n、_n0a可见：1 fT t的频谱由冲激序列组成；位置：二n j谐波频率 强度：2” ： F n 1 ,与F（n i）成正比，离散谱2谱线的幅度不是有限值，因为尸表示的是频谱密度周期信号的F 只存在于 F处，频率范围无限小，幅度为:由尸求F n v :T1Fo再 fo tej PtF ( “钳)=-y )Ti二 n单位冲

14、激序列的*h(t)0)Q)0 )，-2 Ti 2Ti t 0t t 八 t-nT 八 F nr 严一eJnltT1 no八八.n 1-n in joo)Fn 1 -T1 i|F (阿 jTi-24-4 T t的频谱密度函数仍是冲周期矩形脉冲序列的傅氏变换 f(t)E1 1 1 1_T“-y/o% in 41、F()二 EySa - n 4I 2丿九. 抽样信号的傅立叶变换f(t)p(t)g(t )理想抽样（周期单位冲激抽样）连续信号抽样信号ftfs t6(t)抽样脉冲一 bop(t)二 t (t) - (t 一 nTs) i f Z2 (一 ns)qqfs(t)二 f(t)、T(t)八 f (

15、nTs)(tnTs)频域：F,iQ i： F If t 丁 t F iQ i r2江若接一个理想低通滤波器，其增益为T,截止频率Ts滤除高频成份，即可重 现原信号。抽样定理f“二2是最小抽样率，称为奈奎斯特抽样率1T“ 是最大抽样间隔，称为奈奎斯特抽样间隔2 m一个频率受限的信号ft,如果频谱只占据- .0 - 的范围，则信号ft可用等间隔的抽样值来唯一地表示。其抽样间隔必须11不大于丄，即Ts2fm（其中=rfm）,或者说最低抽样2fm频率为2f.o抽样定理的应用-时分复用用于时分复用，在同-时间里传送不同信号。匕系统函数H(j)RO 响应信号的傅氏变换Eo 激励信号的傅氏变换物理意义表征系

16、统固有的性质或特性h t为冲激响应，取决于系统本身的结构，描述了系统的固有性质。H也仅仅决定于系统结构，H 是表征系统特性的重要参数。系统冲激响应的傅立叶变换(th 1,当 e(tH (t)时，r(t) = h(t),此时R( ) =E( )H( ) = HO,即 h(t),H(),或 h(th H (j ),系统的频率响应特性H( )= H( )ej()H (厂国：系统的幅频特性C )八：相频特性系统的功能系统可以看作是一个信号处埋器：当激励信号的频谱密度 函数为E 时,则响应的频谱密度函数便是 Ho系统改变了激励信号频谱。E(a)二|E|电皿 Hg) = H ) e傀RQ) = E (4) | Hg)3)= %J+%)系统可以看作是一个信号处埋器：H 是一个加权函数，对信号各频率分量进行加权。信号的幅度由H()加权，信号的相位由-修正。对于不同的频率-,有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程利用系统函数2求响应系统的无失真传输