第二章导数与微分(20201207202653)

1、第二章 导数与微分一、教学目标与基本要求1. 理解函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义；了解导函数与函数在一点的导数的区别和 联系；会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在；了解导数的几何意义 及平面曲线的切线和法线的求法。2. 掌握常数、基本初等函数及双曲函数与反双曲函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数的 求导法则。3. 理解高阶导数定义； 掌握两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式； 综合运用基本初等函数的高阶导数公式， 两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数。4. 理解隐函数定义并会求隐函数的一阶、二阶导数；掌握反函数的

2、求导法则。5. 掌握参数方程所确定的函数的一、 二阶导数的求导公式； 会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、 除、 乘方、开方运算的函数的导数。6. 理解微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系；掌握基本初等函数的微分公式；理解微分形式的不 变性；了解微分在近似计算及误差估计中的应用。7. 理解函数在一点处可导、可微和连续之间的关系。二、教学内容与学时分配第一节 导数的概念，计划 3.5 学时；第二节 函数的和、差、积、商的求导法则，计划 1.5 学时；第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则，计划 3.5 学时；第四节 初等函数的导数问题，计划 1 学时；第五 节 高阶导数，计划 2.5 学

3、时；第六节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数，计划 3.5 学时； 第七节函数的微分，计划 2.5 学时；第八节 微分在近似计算中的应用，计划 1.5 学时；共计 20 学时。三、重点与难点1. 导数的概念与几何意义及物理意义；2. 可导与连续的关系；3. 导数的运算法则与基本求导公式；4. 微分的概念与微分的运算法则；5. 可微与可导的关系。四、内容的深化与拓宽1. 导数概念的深刻背景2. 复合函数的求导法则的应用3. 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数 的高阶导数。4. 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面的曲线切

4、线与法线的问题及相关变化率问题。五、教学手段以教师讲解为主，辅以学生练习，适当提问增强学生互动，引发学生积极思考。六、注意内容1. 对导数与微分概念的理解2. 求导及求微分方法的灵活运用3. 对函数在一点处可导、可微和连续之间的关系的理解。七、参考书目八、思考题与习题 2-1导数的概念一、导数产生的背景1. 非匀速运动物体的速度问题2. 平面曲线的切线问题例1.力学中的线密度问题非匀速直线问题和曲线的切线的斜率都归结为如下的极限：lim f(Xo_勺一丄勺.这里 x与x 0xf (xo x) f (xo)分别是函数y = f (x)的自变量的增量和函数的增量y。二、导数的定义1. 导数定义2.

5、 左、右导数定理：f x0a f x0f x0a3. 导函数导函数定义显然导数f(X0)是导函数f(X)在x X0处的函数值，即f(X0)f (x) x x0。三、求导数举例1. y C,x R( C 为常数)(C)02. y xn( n为正整数)nn 1(x ) nx一般地，对于幕函数(x )x 1例 1. (x3)3x21(=) (xy)1 1 2 =x221JJ2 22、xxlx11x01（自变量对其本身的导数为1）3.三角函数 y sin x(sin x) cosx同理：(cosx) sin x4.指数函数 y ax(a 0, a 1)(ax)ax l na特别的，(ex) ex例 2

6、. (4x)4xln45.对数函数y In x(x 0)1(In x)x例 3. Ioga x(a 0,a1,x0)，求 y解: y loga xlim匹x 0lOga x1ln aln limx 01(log a x) xln a1例 4. (log 5 x)x l n 5四、导数的几何意义1,1处的切线方程例5.求曲线y x2上任意一点处切线的斜率，并求在点五、导数存在的必要条件定理：若f X在点Xo可导的必要条件是它在点 X0连续。另一方面，如果函数在某一点连续，却不一定在该点处可导。见下例:例6. y x在点x 0连续，但不可导。例7.讨论yn .1x sin , xx 0(n N)在

7、点x 0连续性和可导性。0 ,x 0例&已知ya bx, xe x, x0 .在x 00可导，求a, b之值。 2-2函数的和、差、积、商的求导法则求导法则：1. ux v xu xv x例1.2y xsin x cosx1,求 y。例2.设y a0nn 1xa-ixLan必an，求 y。通常，多项式的导数仍是多项式，其次数降低一次，系数相应改变。2. (u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)c(v(x)。例 3.设 u C(C 为常数)，v v x 可导，则(Cv(x)(C) v(x) C(v(x)通常，常数因子可以提到导数符号外面。例 4.设 y ax b，则 y (ax

8、b) (ax) (b) a(x) a。即线性函数的导数为一个常数.直线的切线就是它本身。例 5. y log a x,求y。例 6.已知 y (x 1)(x2)(x 3)，求 y % 33 u(x)u (x)v(x) u(x)v(x) (v(x) 0)v(x)v2(x)例 7. y cotx，求 y。1例8.设函数v x可导，且v x0,证明v(x)v(x)v2(x)例 9. y e x，求 y 。例 10. y secx，求 y。一般地，(1)n若函数u X ,V X均可导，则( ui (x)i 1nd 门ui (x)或 ui (x) i 1dx i 1n dui(x)1 d x(2)(u(

9、x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)n(ui(x)i 1nu1(X)u2(X)ui (x) un(x)i 1d-ui(x)d x i 1nUi(x)U2(x)i 1警 un(x)d x(3)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x) 2-3反函数的导数、复合函数的求导法则、反函数的导数定理：设单调函数y在区间I内可导,x 0,则它的反函数x在相应的某区间J内单调、可导，且f(X)1o(y)该定理说明：一个函数单调、连续、可导，则它的反函数存在，且单调、连续、可导。例 1. y arcsinx 1 x 1，求 y。例 2. y arccosx 1 x 1，求

10、y。例 3.设 y arctanx x (,)，求 y。二、复合函数的导数定理：设u x在点x处可导，y f u在对应点u u x 处也可导，复合函数 y f x 在U x内有定义，则y fx 在点x处是可导的，且亠 d y d y d u(f( (x)f ( (x) (x)或d x d u d x例 4. y sin ax ,求 y。例 5. y e 5x，求 y。1x例6.证明：in7.ln(x . x a )，8.sin2 ，求 y。9.yCOt才，求y。1)10.11.12.sin fIn.x2 1,|x|cos2ln1 x1,求 y。,x ( 1,1),求 y。可导，写出下列函数关于

11、 x的导数y=cos f x f x2)3)In fy 3f(x)4)f sinxsinx cosx5)6)f ln xy1 f (ln x)-x13.证明：在a, a内可导的奇（偶）函数的导数是偶（奇）函数. 2-4初等函数的导数问题(C)0;(x )(sin x) cosx;(cos x)(tan x)sec x;(cot)(secx)secxtan x;(csc x)(ax)ax ln x;(e ) e1(ln x)-;(log a x)常用的基本初等函数的求导公式xsin x;2CSC x;cscxcot x;xx1(arcsin x)(arcta n x).厂x211 x2(1 x

12、1); (arccos x)x (,) ; (arccot x)1 x211 x2(1x1);x (,).、函数的和、差、积、商的求导法则设u u X ,v v x都可导，则(1) (u(x)v(x) u (x) v(x)(2) (Cv(x)(C)v(x) C(v(x)C(v(x)(3) (u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)(4) 回u(x)v(x)2 u(x)v(x) ,(v(x) 0)v(x)v (x)三、复合函数的求导法则x处也可导，复合函数y f设u x 在点x处可导， y f u 在对应点 u uU x内有定义，则y f x 在点x处是可导的，且 (f( (x)

13、 f ( (x) (x)或字 乎乎。d x d u d x 2-5 高阶导数一、高阶导数的概念n阶导数概念f x在区间I上n阶连续可导无穷次连续可导例1.求幕函数y xn， n N的高阶导数” rn例2. y ax b的高阶导数例3.多项式R(x) axn a/1 L a* 1X an的高阶导数。例4.求y ex的各阶导数。例5.求y ax的各阶导数。例6.求y In X的各阶导数。1例7.求y的高阶导数。X例8.求y sinx,y cosx的各阶导数。例9. yIn si n x ,求d2ydx2例 10. yesinx，求 y例11.dx试从dxydy、高阶导数的运算法则设f x ,g x

14、有直到n阶的导数，则(1)(f (x)g(x)(n) f (n)(x) g(n)(x)n莱布尼兹公式(f(x) g(x)(n)Cn f(n k)(x)g(k)(x),其中 ckk 0n!k!( n k)!例12.,100十d求 100dx1x2 5x 6例13.设yx2 sin x,求 y 80。例 14.证明 f xarcsinx 满足下式(1 x2) f (n 2)(x) (2n 1)xf(n 1(x) n2f (n)(x)0。 2-6 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的求导法则如果由方程Fx,y 0确定隐函数y fx可导，则将y fx代入方程中，得到F x, f x0

15、对此方程两边关于 x求导： F(x, y) 0然后，从这个式子中解出y ,就得到隐函数dx的导数。例1.求由方程F(x, y) xy ex ey 0x0所确定的隐函数的导数 y ,并求y x 0。2 2例2.求椭圆占 1在点(x,y)处的切线方程。a b二、参数方程求导法则 参数方程求导法则:dy设X yx(t) t y(t) tI，右y y (t)，x (t)存在，且 x (t)dtdto,则 dyy(t)x tdt dx dt例3.xa cost 亠求椭圆，在t 时的切线方程。ybsi nt22 2 2例4.星形线x73ya3的参数方程为3 .acos tasin t(t三、取对数求导法例

16、5.求y例6.设y例7.设y四、隐函数、数等的导数。3参数方程确定的函数的高阶导数xsinx的导数。(1 x)(1 2x)(1 x2)，求 y。(1 5x)(1 8x)(1 x4)3 一 2 1 X . 32.x 2 sin xcos x，求 y。1 x2例8设x2xy y4，求乌。dx9.xyx ye ，求10.tan(xy),11.12.ln(1t2)求叭t arctantdx3a(tsi nt)d2ya(1si nt)，求菽。oxyxy求马。dx13.已知2y爲，x(t)，曲)均有二阶导数,求乎。对y f x两边同时取对数后对方程两边关于x求导，常用来求一些复杂的乘除式、根式、幕指函 2

17、-7 函数的微分、函数的微分1. 微分的概念f x在点Xo处可微定义2. 可微与可导的关系定理：f X在点Xo可微f X在Xo可导,且A f Xo 。也就是说,f X在点Xo处可微性与可导性是等价的，且f x可微,则y f xo x o x，故dy f Xo x。例 1. y x，求 dy。该例说明：自变量的增量就是自变量的微分，函数的微分可以写成：dy f x dx 或 df x f x dx此外，当X为自变量时，还可记 X2 dx2， xn dxn等。微商3. 微分的几何意义二、基本初等函数的微分公式和微分的运算法则1. 微分的基本公式2. 函数和、差、积、商的微分法则d(u v) du

18、dvd(cu) cdud (uv) vdu udv/U、 vdu udv,d()2 (v o)vv3. 一阶微分形式不变性(复合函数微分法则)当u为中间变量时的微分形式与 u为自变量时的微分的形式相同，均为dy f u du，这种性质称为函数的一阶微分形式不变性。例2.求y x3在x 2处的微分，以及当 x 0.1时在x 2处的微分。dx例3.已知y f x的反函数是x y ，f x在I内单调、可导，且f x O，则(y) 存在，dy/、 dx 11/亠+工(y)(作为商来看)。dy 业 f (x)dx例4设x y24y，求鱼。dx例 5设 X(t) , x(t),y(t)存在,求 9。 y y(t)dx 2-8 微分在近似计算中的应用f x在处的导数存在，且很小时，有y f x0x(1)即 f(xx) f(x)y f (Xo)x或f(x x) f(