圆中最值问题

1、与圆有关的最值（取值范围）问题引例1:【2012年武汉市中考】在坐标系中，点A的坐标为（3 , 0），点B为y轴正半轴上的一点，点 C是第象限内一点，且 AC=2设tan / BOC=m贝U m的取值范围是 .引例2 :【2013年武汉市元月调考试题】如图，在边长为 1的等边 OAB中，以边AB为直径作O D,以O为圆 心OA长为半径作O O,C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交O O于点E, BC=a , AC=b，求a b的最大值引例3:【2013年武汉市四月调考试题】如图，/ BAC=60，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心,PA

2、长为半径的圆P交射线AB AC于D E两点，连接DE贝懺段DE长度的最大值为（）.A . 3 B . 63.31BkyCOAx一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题， 主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1 .引例1:通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点 O A构成夹角的变化规律，转化为 特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2 .引例2:通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是

3、高中“柯西不等式”的直接运用；3.弓侧3:本例动点的个数由引例 1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、 动点关联上增加了题目的难度， 解答中还是注意动点 D、E与一个定点A构成三角形的不变条件 （/ DAE=60 ）, 构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“ 正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透二、解题策略1 .直观感觉，画出图形；2 .特殊位置，比较结果；3 .理性分析动点过程中

4、所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.【2013年武汉市中考】 如图，E、F是正方形 ABCD勺边AD上两个动点，满足 AE DF,连接CF交 BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 【2014年武汉市四月调考试题】如图，P为的O O内的一个定点，A为O O上的一个动点，射线 AP、AO分别与O O交于B、C两点.若O O的半径长为3, OP = 3，则弦BC的最大值为A. 2 3 .B . 3.C.6 .D. 3,2 .【2014年武汉市元月调考试题】.如图，扇形AOD中，/ AOD = 90, OA =

5、 6,点P为弧AD上任意一点（不 与点A和D重合），PQ丄OD于Q,点IOPQ的内心，过 0,1和D三点的圆的半径为 r 贝U当点P在弧AD上运动时，r的值满足（ ）A. 0 r 3B. r 3C . 3 r 3. 2D . r 3.2三、中考展望与题型训练 方法一、找出与圆的最近点、最远点（极端位置）1 .如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3,点D是平面内的一个动点，且 AD=2 M为BD的中 点，在D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是2.如图，O O的直径为4, C为O O上一个定点，/ ABC=30，动点P从A点出发沿半圆弧 Ab向B点运动（点P与点

6、C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为方法二、正弦定理如图， ABC 中，/ BAC=60，/ ABC=45 ,CBOPBC上的一个动点，以 AD为直径作OOAB=2 . 2 , D是线段方法三、柯西不等式在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O 0, P是O 0上一动点，且 P在第一象限内,过点P作O 0的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是.方法四、利用函数求最值如图，已知半径为2的OO与直线I相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点

7、P作直线I的垂线，垂足为 C, PC与OO交于点D,连接PA PB,设PC的长为x PD?CD勺值最大，且最大值是为时,方法五、借助对称求最值如图，已知，OO的直径CD为4,点A在O0上，/ ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，求BP+AP的最小值【题型训练】1如图，已知直线 I与O 0相离，0ALI于点A 0A=5 0A与O 0相交于点P,AB与O 0相切于点B, BP的延长线交直线I于点C，若在O 0上存在点Q,(2v x V 4)，则当 x=3使厶QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O 0的半径r的取值范围为 .2.如图，O M O N的半径分别为 2cm, 4cm

8、,圆心距MN=10cm P为O M上的任意一点，Q为O N上的任意一点,直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为，当P、3Q在两圆上任意运动时，tan34的最大值为（）.(D)3.如图，在 Rt ABC中，/ C=90,Q,则线段PQ长度的最小值是（A.理B . 2445AC=8).BC=6经过点C且与边AB相切的动圆与CA CB分别相交于点P、D .4.2(3题)(4题)ACD和等边 BCE O 0外接于 CDE5.如图，线段AB=4, C为线段AB上的一个动点,以AC BC为边作等边4.如图，在等腰 Rt ABC中，/ C=90, AC=BC=4 D是AB的中点，点E在AB边上运动（点 E不与点

9、A重合），线段EF长度的最小值为过A、D、E三点作O O, O0交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,则O 0半径的最小值为（）.A.4 B. 2 3 C. 3 2 326.如图，A、B两点的坐标分别为（2 , I一个动点，线段 DA与y轴交于点D. 2C.0）、（0 , 2） , O C的圆心的坐标为（-1 丘，则厶ABE面积的最小值是（2 二2,0），半径为1,若D是O C上的).7.如图，已知一个动点,A. 3A、B两点的坐标分别为射线AD与y轴交于点113& 如图/ BAC= 60O P交射线AB，半径长AC于 D、9、如图，已知线段0A交OO求/ OAP的最大值。10、如图，ABF

10、分别是AC、BXZ艮D.(7题)（-2 , 0）、（0 , 1） , O C的圆心坐标为 丘，则厶ABE面积的最大值是（）.103(0 ,-1)（8题），半径为1, D是OC上的1的O O与/ BAC的两边相切，P为O O上一动点，以E两点，连接DE则线段DE长度的范围为 .于点B,且0B= AB,点P是OO上的一个动点,P为圆心，PA长为半径的是O O的一条弦，点C是O O上一动点，且/ ACB=30。，点E、 BC的中点，直线EF与O O交于G、H两点，Rt AOB 中，OA=OB=3 J习，O O 的半径为 111、如图，在切线PQ （点Q为切点），求PQ的最小值12、在平面直角坐标系

11、xOy中，以原点0为圆心的圆过点 A （13, y=kx - 3k+4与O O交于B、C两点，求弦BC的长的最小值。y13、设AB是。0的动切线，与通过圆心 0而互相垂直的 两直线相交于A、B,O 0的半径为r，求O曲OB的最小值14、如图，圆O与正方形ABCD勺两边AB AD相切，E与圆AB=7求DE的最大值15、如图，在。O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q,已知： O半径为二聞/ ABC=，求 CQ的最大值16、在平面直角坐标系xOy中，已知点A (6, 0)， 点B (0，6)，动点C在以半径为3的。0上，连接OC过O点作ODLOC OD与OO相交于点D (其中点C、 时针方向排列)，连接AB.ACBC,当点C在OO上运动时, 的面积的最大值.1117、如图所示，已知 A(,yj , B(2, y2)为反比例函数y图像上的两点,2x动点P（x,O）在x正半轴上运动，当线段 AP与线段BP之差达到最大时，点 P的坐标是（1A.（护）2C.（3，）218、如图，定长弦B.(1,0)5（,0）2CD在以AB为直径的。O上滑动（点C、D与点A B不重合），M是CD的中点,D.过点C作CP!AB于点P,