一元二次方程根与系数地关系(韦达定理)(20201210015722)

1、实用文案 标准文档 一元二次方程根与系数的矢系(韦达定理) 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 一元二次韦达定理 应用 方程的求 根公式 【内容分析】 bc X X2，为 X2 aa 说明：(1 )定理成立的条件 0 (2 )注意公式重Xi X2 的负7与 a 韦达定理：对于一元二次方程ax2 bx 求代数式的值求待定系数 构造方程 解特殊的二元二次方程组 二次三项式的因式分解 cO (aO)，如果方程有两个实数根Xi 一的符号的区别 ,x2，那么

2、根系尖系的三大用处 (1 )计算对称式的值 例若Xi,X2是方程好2x 2007 0的两个根试求下列各式的值: 解: 2 2 1 (1)X1x2 ；(2) Xi X2 由题意，根据根与系数的尖系得: 2 Xi 22 X2 (X-l X2 )2X-IX2 Xi 1Xi X2 2 X2 X1X22007 (3) (Xi 5)(X25)； Xi X2 2 2) 2( 2 2007 (4) | Xi X2|. (Xi 5)(X2 5)X-1X2 5(x-i x2)25 IXi X2|%(X1 X2)2 (XiX2)2 4AXa 说明: 2, X1X2 2007 2007)4018 20075( 2)2

3、51972 (2)2 4( 2007) 2 2008 利用根与系数的尖系求值，要熟练掌握以下等式变形: X12 X22 (Xi X2)2 2乍2, (Xi X2)2(Xi X2)2 4X1X2, Xi X2 X1X2 |Xix2| (Xi X2)2 4XiX2 , XiX22Xi2X2 XiXa (Xi X2), X；X23(Xi X2)3 3XiX,XiX等等.韦达定理体现了整体思想. 【课堂练习】 1 .设xi, X2是方程2x2 - 6X + 3= 0的两根，则xi2 + X22的值为 2 .已知 Xi, X2是方程 2X2 7X + 4 = 0 的两根，则 Xi+ X2 =, XiX2

4、= , (Xi - X2) 2= 1 3 已知方程2X2 3x+k=0的两根之差为2:，贝U k=; 4 .若方程x2+(a 2 - 2)x - 3=0的两根是1和一 3，贝U吐 ; 5 .若矢于X的方程x2+2(m 1 )x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数那么m 的值为 6 设Xi,X2是方程2X? _ - 6X+3=0的两彳、根，求卜列各式的值 (1)Xl2X2+XlX22 1 1 (2) XiX2 7 已知冷和X2是方程2X?gx 仁0的两个根，禾U用根与系数的矢系，求下列各式的 值： 1 1 2 2 X1 X2 (2)构造新方程 理论：以两个数 为根的一元二次方程是 例解

5、方程组x+y=5 xy=6 解：显然，X, y是方程ZZ5Z+6二0的两根 由方程解得zi=2,z 2=3 原方程组的解为 xi=2,yi=3 X2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 (3)定性判断字母系数的取值范围 例一个三角形的两边长是方程 三边长为2，求k的取值范围。 解：设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为 的两根，则c=2 由题意知 =k2-4 X2 X2 0, k 4 或 k W-4 为所求。 【典型例题】 例1已知矢于啲方程x(k1)x 2 1 2 4k 1 0，根据下列条件，分别求出k的值. 方程两实根的积为 5 ； (2)方程的两实根X!, X2满足I

6、XX2. 分析：由韦达定理即可求之；有两种可能，一是 X2O,二是 Xi X2, 所以要分类讨论. 解：(1)T方程两实根的积为5 2 1 2 34 2 Q K k (k1)2 4(； k21) 4 1 I 2 彳口 X1X2 k 15 4 所以，当k 4时，方程两实根的积为5. 由I Xi |X2得知： 当X1 0时，为X2，所以方程有两相等实数根，故k 当 x-iO 时，Xi X2x-i X2 0 k 1 0 k 1，由于 1不合题意，舍去. X1, X2 满足 I X1 I X 3 Ok，故 k 2 综上可得，k 3时，方程的两实根 2 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件, 求待定字

7、母的值，务必要注意方程有两实 根的条件，即所求的字母应满足 例2已知 X, X2是一元二次方4kx2 4kx 程 （1）是否存在实使（2为X2） （x 数 10的两个实数 根. 2x2）成立？若存在，求出k的值; 2 若不存在，请您说明理由. X2 X2 X-| 2的值为整数的实数 k，使（2 为 X2） （为 元二次方程4kx2 4kx k 1 （1）假设存在实 3 2X2)2成立. 0的两个实数根 4k 0 (4k)24 4k(k 1) 16k 又X!,X2是一元二次方程4kx2 4kx k 10的两个实数根 Xi X2 NX2 1 kl 4k 1,2, 注意到ko, (2Xi %2)(为

8、2X2) k9 2(Xi2 X22) 5x-|X2 2(X1 x2) 9xi X2 4k 不存在实数k, 使(“ 2X2 彳成立. X2XX ) Xi X2 1 22 2 1 Xa X2)2 4k Nx2 NX2 k1 要使其值是整数，只需k 1能被4整除，故k X-i X2, 要使一 一 2的值为整数的实数k的整数值为2, 3,5 . X2 Xi 说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明 存在， 否则即不存在. 4 （2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法. k1 （1 k） x22x 1 0有两个不相等的实数根，则 22 方程X? (2m 1)

9、xm2 2 2x 8x 7 0的两个根，则这个直 一元二次方程根与系数的矢系练习题 A. k 2 B. k 2,且 k1 C. k 2 D. 12,且1 2 若N,X2是方程2X 2 6x 30的两个根 ，则 1 1 的值为 () 片 X2 1 9 A 9 B 9 C 2 D 2 3.已知菱形 ABCD的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且0A、 OB的长分别是矢于X的 1一元二次方程 k的取值范围是（） A. 3 B . 5 C . 5或 3 D .5或 3 4 .右t是一兀二次方程ax bx c 0 (a 0）的 根， 则判别式 2 b 4ac和完全平方 式 M (2at b） 2的矢系

10、是 （ ) A. MB . M c. M D.大小尖系不能确定 5 .若实数a b，且a, b满足a2 8a 5 0,b2 8b 50 ，则代数式匕一的 a 1 b 1 值为（） A .20 B . 2 C . 2或 20 D. 2 或 20 6 如果方程 (b c)x2 (c a)x (a b) 0的两根相等，贝 II a,b, c之间的尖系是 30的根，则m等于（ 7 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 角三角形的斜边长是 8 若方程 2x2 (k 1 )x k 3 0的两根之差为1，则k的值是 22 9 .设X1, X2是方程xpxqo的两实根，X1 1 ,X2 1是尖于x的方

11、程xqxpO 的两实根，贝IP = , q = 2 ,c= 其值都不可 10 已知实数 a, b, c 满足 a 6 b,c ab 9，贝 ij a= , b = 11 对于二次三项式x2 10 x 36，小明得岀如下结论：无论x取什么实数 能等于10 您是否同意他的看法？请您说明理由. 12 .若n 0,尖于x的方程x2 (m 2n)x有两个相等的的正实数根, 值. 2 13 .已知矢于x的一元二次方程x (4m 1)x2m 10 . (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； 、1 1 1 (2)若方程的两根为Xi ,X2，且满足 X1 X2 2 2 1 2 14已知矢于X的

12、方程x(k1)x -k1 0的两根是一个矩形两边的长. 4 (1) k取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是，5时，求k的值. B组 2 1 已知矢于X的方程(k 1)X2 (2k 3)x k 1 0有两个不相等的实数根X1,X2 (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k， 使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存 在，请您说明理由 2 已知矢于X的方程X2 3xm0的两个实数根的平方和等于11 求证：矢于x的方 程(k 3)x2 kmx m2 6m 4 0有实数根 Xi, X都大于1 22 3 若Xi,X2是尖于x的方程x(2k1)xk10的两个实数根, (1)求实数k的取值范围； 心、Xi若一 1 ，求k的值 X2 2 答案 1