切比雪夫滤波器设计(20201209221553)

1、切比雪夫滤波器设计 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此, 当通带的边界处满足指标要求时， 通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将 精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的 系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 H(j ) H(j )| (b 图1切比雪夫I型滤波器的振幅特性 (a) N=3, 2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性 (b) N=4, 2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性 |H(j ) N为奇数 $(j )| N为偶数 图2切比雪夫II型滤波器的振幅特14 (b 切比雪夫滤波

2、器的振幅特T生就具有这种等波纹特1生。 是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波 器；振幅特性在通带内是单调的 它有两种类型：振幅特性在通带内 在 阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际 用途。图1和图2分别画出了 N为奇数、偶数时的切比雪夫 1、切比雪夫I型滤波器的基本特点 I II型滤波器的频率特性。 a2()H(j)2 1 N 现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为 为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。/ p为对 截止频率P的归一化频率5 P为截止频率，也是滤波器的通带带宽(注：切比

3、雪夫滤波 器的通带带宽并不一定是3dB带宽)。Cn(X)是N阶切比雪夫多项式定义为 其中COS 1(x)为反余弦函数; 定义如下所示 cos(Ncos x) 0 x 1 Cn (X1 )ch(Nch x) ch(x)为双曲余弦函数；ch i(x)为反双曲余弦函数；它们的 chx ch 1(x) arcch(x) ln(xx21) 上式可展开为多项式的形式如表1所示： 由表1可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式 为 Cn 1 (x) 2xCn(X)Cn 1 (x) 图3示出了 N=0, 4，5时切比雪夫多项式的特性。由 图3可见： N Cn(X) 0 1 1 X 2 2x2 1 3 3 4x 3

4、x 4 8x4 8x2 1 表1切比雪夫多项式 2 当 xl 时，|CN(X) 1，且具有等波纹幅度特 性。 Cn(X)是双曲余弦函数，随着 调增 加。 再看函数 2厂 /、2 0 N(X),是小于1的实数， Cn(X)的值在 x1之内，将在 222 0至之间改变。而1 Cn(X)的函数值在 X1之内，将在 2 至1之间改变。然后将1 92 Cn(X)取倒数， 即可得切比雪夫 型滤波器幅度平方函 数。2 根据以上所述，在 1的区间 外， 1 H(j)在接近1处振荡，其最 x而单 Cn(x) 图3切比雪夫多项式曲线 大值为1，最小值为 增大, 25n( ) ? 1,贝y H(j )很快接近于零。

5、图57画出了切比雪夫 I型滤波器振幅特性曲 线从中可以看出：振幅特性H(j)的起伏为1:上因少所以在J 1 时，H(j) r，即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不对应 41r 3dB的衰减。 1切比雪夫多项式的零值在0 x1的间隔内。 2、切比雪夫I型滤波器设计方法 要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：何确定这三个参N。下面研究如 数，具体步骤如下： (1) 将实际频率归一化得 再根据已知的p s，幅度平方函数 |H(j )|2 1 2cn( 确定 代入 (2)确定和 定义通带波纹 (即通带衰减 (以分贝为单位)为: ioig 2l0ig 22 Cn( H(j ioig ioi

6、g 2cN(P) 22 SN心 22 Cn( p) 10 p10 22 Cn( s) 2ch2 Nch 1( s) 因为P 1CN(1)1,所以 1O10 其中 ch2 Nch 1(s) ch la) ch J) 1O10 1 1O10 1 这样可以求出和N,其中ch 1(x) in x . x2 1 o 10% 1 10P7t1 3、综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下: (1)计算归一化频率 (2) 根据通带波纹(通带衰减)Pdb，按照210斋1式计算； (3) 根据阻带起始频率s，阻带衰减s和。按照N 式计算滤波器的阶数N; (4)根据滤波器阶数 N,查表得归一化原型切比雪夫滤

7、波器系统函数 H (p)；根据 H(p) 1 的低频特性求出待定系数 do，注：当N为偶数时，H (0):;当N为奇数时，H (0) 1 !2 (5)去掉归一化影响根据截止频率p 按照H (s) H ( p) p卫式计算切比雪夫滤波 P 器的系统函数H (s)； s 0.5rad /s，阻 4、举例说明 已知通带波纹为ldb，截止频率p 0.3rad / s，阻带截止频率 带衰减大于15db，试设计满足上述性能指标的切比雪夫I型低通滤波器。 解：已知 pO.3，p1dB，s0.5，s 15dB (1) 计算归一化频率p P1， s s 1.6667。 p (2) 计算。 p 2 10 而 110.1 1 0.2589 (3) 计算滤波器的阶数N; 1O10 1 |101P1 1015 1 10。川 28757 ch 1 (a) ch1(s) 1 需)2.8013 选定N=3。 H(P); (4) 根据滤波器阶数N,查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数 H(P) p 0.9883 p 1