[学科竞赛]放缩技巧及不等式证明方法总汇

1、不等式放缩技巧及证明方法(构造法) 1 一、裂项放缩 n 2 例1.(1)求v =r4k2 -1 的值; 解析：(1)因为 2 4n2 -1 所以导 2 j _J = 2n (2n -1)(2n 1) 2n1 2n 1k 亠4F _1 一 _2n：M _2n 1 因为1 7 M n2 4 所以 l |.1111 i 25 L厂1 +2巧弋十八+2n2n书产1七=3 常用放缩技巧 =2 1 2n _1 丄 2n 1 1 cH 1C2(n 1)n(n-1)n(n-1) n(n -1) (3) T 丄-Cr n! H(n _r)! 1 ：7! ：r(r _1) 1 1 6(-2) 1 (1 1)n

2、n ：1 1 5 n(n-1) 2 (5)1 2n(2n V) 2n-1 (6),1 a n +2 TH 1 (7)2(%和 1 :-/n) 寸n -2( .nn -1) (8) 2 1 2n 1 _2n 3 1 1 nn 1n 2 (2n 1) 2 -(2n - 3) 2 1*1 !_J1 k(n 1 -k) n 亠1 -k k n “1 n(n T 亠k) (10) n (n 1)! n ! 一 1)! (11) 1 22 n 412 nJ)= n 2 1 1 2 -/-2 (11) 2n (2n -1)2 2n 2n (12) (13) (14) (15) 一 /)(2n /)：可 -1

3、)(2 -2) 一(2n 1)(2n1) 歹 J -(1 订) 解析:构造函数后即可证明 例 12.求证：(1 1 2) (12 3) ：1 n(n 1) e2n 解析：l叭I叠加之后就可以得到答案 n (n *) * 函数构造形式皿.1) 2_x,x。)厂),31(x 0)(加强命题) 例 13.证明：In 2 ln 3 ln 4 忖：In n :凹 1) (n .二N*, n .1) 4 解析:构造函数f (x) =ln(x _1) (x 1) 1(x .1),求导，可以得到 _2,令 f(x) .0 有 1 ：x ：2,令 f(x) 1) 例14.已知 1 n )an 证明 解析: 1

4、an1 乂而不总 然后两边取自然对数，可以得到 ln % 5 -n(n 1) 1 )In a 2n 然后运用ln(1 x) :：:x和裂项可以得到答案) 放缩思路：1111 a”+g号)an占na”十应(1 4 号)岛 an n Jn池7疋ln an 1止an乞宀计 1 1 -(_)n 工仲a fin a：) * (J)=心”勺-2耳补：2 ji 匕 i i 2n1 _1n 2 即 In an -In a1 .：:2=- an .；: e2. 注：题目所给条件ln(1 .x) :：x ( x 0)为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用 结论2nn(n -1)(n

5、_2)来放缩： 1 1 . an 1 -1而护而了=3 1叩丽詁 1)= 11n Ln丄 11 ln(ani.n(an1)：1n(1一) 一 =、 Ing 】。ngY)(a”乍In 乍：J L n(n J)n(n _1)三1 三 i(i)n 即 ln(an 4) ：1 Tn 3= an ：3e1 ：e2. 例15.(2008年厦门市质检)已知函数f(x)是在(0,七c)上处处可导的函数，若xf(x)f(x)在x0上恒成立. (I)求证：函数 f(x) 上是增函数； g(x) _丄2在(0,七也 (II)当 x .0, X2.0时,证明:f(xj f(X2)叮 f(X1 X2)； (HI)已知不

6、等式ln(1亠x).咲在x且x _-0时恒成立， 求证：In22 n32 丄 In42一 2 ln(n 1)2n(nEN*). 尹尸 沪(n：；1T2( n：；1)( n：；2) 解析:(I) g(x)0,所以函数g(x) _竺在(0,：)上是增函数 X )因为g(x)d在:上是增函数，所以 X f(xj X1 :竺丄. -x2x1 亠 x2 X1 f(X1 亠 X2) 15 f(X2) X2 X2 f (X1 X2) 1 X2 (3) f(X) f(X *2 卜*n)f(). 1 X2 - -XnX1 X2 -Xn x1 X1 f(X卷一.亠x”) f (X2) X2 f化亠X2亠-Xn)

7、f(X1X2)一 、 ：；XX2.= (X2) ：x 两式相加后可以得到f (x1) f (x2) ：:： f (x1 x2) Xn f(x” Xn n)2 ，有 -却”22 P32令42右心1)2 丄A 1 2232( 2 l n一一 (n -1)22 1 3 2 (n -1)n. n 12 2(n -1)(n -2) n 1 n(n -1)2. (n41)22(n 41)(n 42) (n三N ). ?严 X2 心)十 x n ,f(x1 -X -Xn) X一 +x2 扌一+x”Xt 4x2 十你” 相加后可以得到： f (X1) f(X2)亠、f(Xn) :： f (X1 X2 亠亠 X

8、n) 所以 X1InX1- X2 InX2 X3InX3亠亠x”InXn：:(捲x亠x”)In(X1x亠x”) (方法二)ln(n -1)2_ ln(n 1)2 ln4 A _|n4J) (n 1)2 (n 1)(n 2) _(n 1)(n 2) - n!：2 1 1 ln(n 1)2 42- 我市 n In 4 (n 三N ). 又1n4 1 .肖所以和22和32和42 占1一)2 .亍# 例16.(2008年福州市质检)已知函数f(xUInx.右a严,b泮,证明：f (a)十a 4b) In 2 (a 4b) _f (b). 解析：设函数 g(x) =f(x)亠f(k -x), (k 0)

9、 f (x) _xln x, g(x) _xlnx：(k _x)ln(k _x), 0 :x ：k. x .g (x) =lnx：；1n(k _x)=ln , k 令g(x) 0,则有三.1 二迸 0二2：x：k. 函数 .)上单调递增，在 g(x)在 丁 (0 k上单调递减. 迈 g(x)的最小值为 即总有 k g(x)亠gg). k _ln 2) _ f (k) _k ln 2, g(2) =f(2).f(k_) =kln =k(ln .g(x) _f(k) -k ln 2, 即 f (x) - f(k _x) _f(k) _kln 2. 令 x -a, k _x -b,则 k y 川b.

10、 .f(a) f (bf (a b) _(a b)ln 2. f(a) (a b)ln2 _f (a b) _f (b). 三、分式放缩 姐妹不等式：P . _ (b .a 0, m .0)和-:_ (a . b . 0, m . 0) a a ma am 记忆口诀小者小，大者大” 解释:看b,若b小，则不等号是小于号，反之. 例19.姐妹不等式：(1 .1)(1，!)(1害)(1 的)2n 1和 (1_1)(1_1)(1_1)(1丄厂：1也可以表示成为 1 6 2n :j2n 亠 1 2462n *2n 北 解析：利用假分数的一个性质 b b亠m可得 a 十(b 5 .) 76 5 一 4

11、3 一 2 an- 2 6 一 5 4 一 3 (2n1) 2n 11 3 5 .2n _1 2n _2 4 6 2n 6. 2n 2 ) 5 2n -1 2n 1 即(1 1)(1 厶(1(1 5 1 1 ) 2n 1. 2n 1 11 例 20.证明：(11)(1)(1)(1 47 解析：运用两次次分式放缩： 3n -2 )2 3 3 n 1. 258. 3nV 369 _ _1二- 1 4 7 3n -22 5 8 3n 3-1 (加 1) 258, 3n -14 710. . 3n 1 !T! !1! 147 3n2369 (加2) 3n 相乘，可以得到： 4 7 10 3n也 2.5

12、8 2 5 8 3n 1 4 7 3n 3n -1 ，(3n +1) 3n -1 所以有(1 1)(1 1)(1 丄厂(,3 3n 1. 473n -2 四、分类放缩 例21.求证：1.1丄.1 n 232n 2 -1 1 (1 4) -1244 解析:1 -1 -1，:;. 232 z 111、1n门1、n （尹 尹 ： 卜尹）一尹 二（1尹）2 例22.（2004年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系xoy中，y轴正半轴上的点列；A 与曲线y=.：2x（ X 0） 上的点列 :Bn ：满足 0An =OBn =1，直线 An Bn 在 x轴上的截距为an .点 Bn的横坐标为bn，n

13、三N”. (1)证明anan+4, n N * (2)证明有n0轻N1*1，使得对0hn0都有巴+5屮 b1b2 .bn 1 0 ），由|OB1得: 22朽冷我需二,又直线ABn在X轴上的截距为an满足 an 工2bn4 =04bnan= 冷 T2n2bn丄品2A0,bn bn 1 -2n2bn _ bn bnQ+n 莎) n 1 _n 2bn =bn 2 2bn 4 兔 显然，对于1 .斗.0，有anan1 .4,n. N* *n 拮卡我冷+1 2 | Cn -n 2n 1 W 1 2n 1 丄1n 1 d n22n 1 1 S 12 2 1 2n 1 n 22 n 1 n 0,. cn,n

14、N 设 5 川 qn N*，则当 n =2k -21 k N 5于厂j头14 2$22 pH 2k-k?-1 2 都有： 0 bn J4017-1 1 且二 Sn Sn2008 bn02 2 2 2 所以，取 n0 =24009 -2，对-n n _匹 b b2 也0， y 兰 _nx43 n 表示的平面区域为d”,设D内整数坐标点的个数为an .设 S二1弓（3 AG1弓 亠丄 2n- 2 2n Sn111- an 1.an 2a2n 当n _2时，求证:丄.丄.丄.丄 7n 11 a a? 33a?*36 解析容易得到an J3n,所以，要证1111 7n 11只要证S”日.丄丄7n 11

15、，因为 a1a2a3 a? 362 一 2 32n 一 12 -1 2诗2）二罟，所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25.已知Xn1=，X1“求证：当一2时，5卫一尹 八“i 1. 解析:通过迭代的方法得到 Xn 2兰点，然后相加就可以得到结论 1 例26.设S _sin1! +sin2sinn!,求证:对任意的正整数k,若k细恒有:ISn+k - S1IC n2rn 解析：kg伴警22 哆卫I 込工込型沁k型丄丄1, 2“ 12 n 22“ k2“ 12 n 22 n k 所以 又 2n =1 -1)n =C0 C：卜-FC： n 六、借助数列递推关系 :2n 2 -1 例27.求证：1亠1

16、 3亠1 3 5 “ .亠1 3 5 (2n电 22 42 4 6246 ；2n 解析：设a二1 3 5 (2n _1)则 n 2 4 6 ； 2n an 1a2( n V)an 1 =2 nan a，从而 2(n +1) an =2(n，1)an 1 2nan，相加后就可以得到 a1 a-：!；an =2(n -1)an 1;-2(n -1)11 ;-(2n -2)11 所以11 31 3 5 2+2 4 6 十 、2n* J、2n42 13-(2n-1L.科 _1 2 4 6 .2n 例28.求证:2黑害144宀.1_1 解析：设a 1 3 5 .(2n J)则 a n = n 2 4 6

17、 .2n 2n 41从而 日1 =2(Tan=2(n 1)1回 1 =(2n 1总 a. J从而 an 1 =2(n 1) 1an1.(2n 1)an,相加后就可以得到 13 d Ha?亠an -(2n 汨总 1 J3d ：-(2n 1) , 2n 1 _1 -v2n：；1 2 例29.若a1十n1 an =n 1,求证:丄丄.丄2(1_1) a1 a2an _ 解析：an 2 an 1 =n 亠2 =a“ an 1 =- =a“ 2 _a“ an + 所以就有程才一2 七、分类讨论 例30.已知数列an的前n项和Sn满足Sn =2an (-1)n,n _1.证明：对任意的整数 m .4，有

18、11 a4a5 解析:容易得到 an =3 2心.(j， 由于通项中含有 当n _3且n为奇数时 (-1)n，很难直接放缩，考虑分项讨论: 3113242n- an an , 一2(2勺；1 2n-1) _2 22n；：2n2n -1 3 2n -2n r 3 ( 11 )(减项放缩)，于是 222n 3- 2 2n 2“ 丄 n -2n I 当m 4且m为偶数时丄.丄二丄 丄).(11) 已4 已5am a4a5 a6am A am 且+3(4心十+亠)=1 1 _丄)且 =7 2 2 (23 242m 丿 2 2 4 ( 2 八2 8 8. 当m .4且m为奇数时1 111 111 (添项

19、放缩)由 知1 1 1 丄-亠1 丄丄 a4 a5a m a4 a5am am 194 95 丄.丄丄由得 am am 1 8 证。 八、线性规划型放缩 例31.设函数f(X).若对一切x三r, _3 af (x) b乞3，求a - b的最大值。 X2七 解析:由(f(x)丄)(f(1)4)= ?(X F)知(f(x)(f(1) _1) _0即-2f(x1 22(x 42)22 由此再由f(x)的单调性可以知道f (x)的最小值为_1，最大值为1 _2 因此对一切xR,-af(x) 3的充要条件是, -3 也3 即a , b满足约束条件a b _3, a乜 11 才b _卫 1 p.a b 吵

20、 由线性规划得，a Jb的最大值为5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 Sn = J1 2 + J2 3 十八 +、；n(n -41).求证 n(n4) 2 :SnQ 解析：此数列的通项为ak k(k +1),k =1,2,n. *： k(k 书二k，k :s(e +1)2 # 例 37.已知 f(x)二x 丄，求证:f(1) f(2) f(3) v ,f(2 n) ,2n(n -1)n x 解析：(k l)(2n 1 _k1) -k(2n 1 _k)k 2n 112(2n d _k) 2 k2n 1 _k2n d _kk k(2n 1_k) 其中：k 二 1,23，,2n,因为 k 2n

21、k(1 _k) _2n -(k _1)(2n _k) _0 = k(2n 1 _k) _2n 所以 11 所以(k )(2n 1 _k) 2n 2 k2n 1 _k 一 从而f (1) f(2) f (3- f (2n)2 .(2 n 2)2n,所以 f (1) f (2) f (3)：f (2 n) . 2n(n 1)n. 例38若k .7,求证：S _!. n 1 n 1 3 nk -12 解析：2Sn =(1) (- n nk -1n 1 nk _2n 2 1)讦一必(1) n k3n k 1 n 因为当x 0, y 0时，x y _2 xy, - 1 _ 2_，所以(x - y)(丄丄

22、)_4 所以丄川1，当且仅当x x y/xy 二y时取到等 所以2S 4n(k _1) 所以 Sn 44. J：；nk 二 n -1 -nk _2 n ；：；nkn k _1 _n 亠nk 所以 11 .斗.=2丄？所二 1 .k _1 k 1k 12 n 例 39.已知 f (x) =a(x -x)(x -X2)，求证：f(o)f .亘. 2 解析:f(0).f(1)细心J皿寻 例 40.已知函数 f(x)=x2-(- 1)k2lnx(k N*) .k 是奇数，n N*时, 求证:f x)n- 2n-1 f (xn) 2(2n- 2). 解析：由已知得f (x)三x -(x .0)， x (

23、1)当n=1时，左式=(2x ?) _(2x ?) -0右式=.二不等式成立. xx n _2,左式=f (x)n 2n f (xn) =(2x 2)n 2n(2xn 三) xx =2n(C1xni -Cn2xn- - 召-C：-). X _X _ 令 S 二C1x：2 Cn2xn4 | Cnn 由倒序相加法得: _2(鼻 CC；丄)=2(2n -2)， 所以 S _(2n -2). 所以f (x)n -2n f (xn) -2n(2n -2)成立.综上，当k是奇数，nN 时，命题成立 例41.( 2007年东北三校)已知函数f(x) =ax _x(a .1) (1)求函数f (x)的最小值，

24、并求最小值小于 o时的a取值范围; 17 令 S(n)=cf(1)c2f(2) Cn1f(n_1)求证：s(n).(2_2).f 1 (1)由f (x)-axIna_J,f (x)-_0,即：ax Ina-_1,ax,又a-.1Jog a In a 同理：f (x) .-0,有 x._logal n a, 所以f (x)在(_.：: log a I na)上递减，在(Jog a I na,J上递增； 1 -In In a 所以 f (x)min =f( jog a In a): In a 1 In In a m1 若f(x)min ：0,即0,则In In a ”_1,. Ina 1 .a的取

25、值范围是1 ：a :-e (2)S(n)二C；(alna j) C；(a2lna _1)侶-也：丄(an =na _1) ：(C：a 亠C：a2亠C；容刁 Ina-(C：亠C：C；丄) ：(a anT C：(a2 an2K7HC：L(an1 a)lna_(2n /) n _a2(2n _2)lna _(2n _2) n n 二(2n _2)(a2 Ina J) =z(2n _2)f (), 所以不等式成立。 例42. (2008年江西高考试题)已知函数11raT ,-0对任意正数a证明: f (x)寿作切a旳品8飞，f 1 ： f x ：2 解析:对任意给定的a .0，x - 0,由 1 1

26、1 f(X)： 8_ ax 若令b - ，则abx =8，而111 axf (一)、先证f X .1 ；因为 1 丄，1 丄，11 ， *厂严a Fa面 又由 2 a b x _2 . 2a 2bx _44 2abx =8，得 a b x _ 6. 所以111111_ 3 2(a b 亠 x) (ab ax bx) f1 x 11 b_ (1 x)(1 a)(1 b) 9 - (a b x) (ab ax bx) 1 (a b x) - (ab ax bx) abx ” =1 (1 十x)(1 +a)(1 出b) (1 - x)(1 - a)(1 - b) (二八 再证 飞 严；由、式中关于

27、“小的对称性，不妨设xHab 则0b2 所以x _a _5,因为 1_ 1 -：b ：1 19 (ii)、当a比7，由得 (n) .a J时，证明吕1 ； 一，1 一2鸟总 2 ：32 （山） 丄时，证明冷. 解析：an =a（虫r 一 （过程略）. a 证明(II):由 a =1 知 a“ + =a； a a2町,弘诘. 当-解析：_ +1卡一 +1=丄 +1 十+: V 3 13 2 13 21473 2- 1 时，ak2经专， 二（即血1）ak厂占担即Y J专佝Y J痘 证明（山）：由a =知 （ak -ak 1）ak 2 =何-a Ja： 1恰表示阴影部分面积, 显然 （aka； 1.

28、：玄x2dx 乞(a* -3k屮a” 丰龙Qk -3k 訥a：十占 J x2dx 0时sin x :x有 |sin x| x | (iii)当 x ：:0 时,-x -0,由 (ii)可知:|si nx|：|x| 所以综上有|sinx|x|(x2R) 十四、使用加强命题法证明不等式 (i) 同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧，也可以是右侧)进行加强.如要证明f(x)：:A,只要证明f(x)：:A-B(B 0),其中 B通过寻找分析，归纳完成. 例59.求证:对一切n(n三N*)，都有 k kJk 解析：11”11111 kJk 尺Jk(k2-1)V(k-1 )k(k+1) (ii)

29、假设当 n = k(k 31)时，ak 1，则 n = k 比(k 31)时，akf +ak+ =1 +ak2 ,. 2 从而 ak 十2= an +1,所以 0 兰ak+1 所以综上有 0 _an ：1,故 an 1.a； .0=an1 .an 因为an1.a/=1_an1 则日2a/=1a2,a3异=1_a3,an1 a/ =1_an 1 ,相加后可以得到： an ；-a： = n (a? +a3 半八 +an*=)Sn + = n -an，所以 Sn=n_1_a.n_2,所以S“.n_2 因为an； +an + =1 *an即证 1 _1_1_ A2an，从而 為丰+1二经，有一1一 a

30、t所以有 仝=日：1，从而 2a2 _2n 耳2 _an 丰1+an 丰2an (1 七3)(1 an)(1 - an 1)2an 2an 丄 47 (1 T)(1 -a2)(1 乜3)(1 an)(1an1) 1 an 1，所以 2 - 1 ：a2 n 1 - x (1 x)2 n =1,2,111 , 即证223n 1 x _3n(1 - x)2 A 0,设t _ 1所以即证明 3n -_1 x t2 2t J 1 x (1 x)2 : n 1 1 x (1 x)2 2 2,2 3亏亠N 1 1 22-=3 323n 2_x 3 a, 原不等式成立. -取 1 x =- n 1 3n 丿

31、n 11 3 、 n a a2 川.a” A_ .原不等式成立. n2n2 1 厂1 n 1 TT 十四、经典题目方法探究 探究1.（2008年福建省高考）已知函数f （x） =1 n（1 x） _x .若f （x）在区间0, n（n三N*）上的最小值为bn ,令 an =ln(1 n) _bn.求证：空口 .a1 a3a2nl , 2a1 _1 a2 a4 11117 例6、求证：1歹孑川 证明： 1 1 1 2 nn(n T) n T n 1 111.1.1111、5/11、7 三右二2 : V ()(). 122232n22223n-1n42n4 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放

32、缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对 待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 7、利用基本不等式放缩 例7、已知an =5n-4，证明：不等式. 5amn - aman 1对任何正整数 m,n都成立.证明：要证.5amn - aman -1，只要证 5amn - 1 aman 2 a man 因为 amn =5mn 4 , aman = (5m 4)(5n -4) =25mn 20(m n)16 , 故只要证 5(5mn 4) .1 25mn 20(m n)16 2 aman , 即只要证 20m 20n _37 2话；. 因为 2 aman _ am - an

33、=5m 5n -8 :：: 5m 亠5n - 8 亠(15m T5n -29) = 20m 亠2On - 37 , 所以命题得证 本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2 aman空am - an放大即可. 8、先适当组合,排序，再逐项比较或放缩 例8、.已知i , m n是正整数，且 1 v i m(1+ n) m i m 证明：对于 1 v i w m 且 Am = m ( m- i +1), n n -1 n n 由于 mv n,对于整数k=1, 2，i 1, m -k , m 所以 绎.,即miAn nm n m (2)由二项式定理有： (1+mn=1+Cnn+c2 m+c；m, (

34、1+n)m=1+Cm n+Cmn2+Cm n： i ii ii Ai i Ai 由(1)知 mA； n Am (1 v i w mv n )，而 cm= m ,Cn ： i! n i! mCn ni Cm(1 v mv n) riC； = n0C1, m；=nCm=m- n, riC； C：， mmmmn+1 m： 1n n mC： n CR , m C： 0,mC； 0, 1+C n+C2 ：+C； ： 1+C： n+Cn2+C： nm, 即(1+n)n (1 + n):成立. 构造函数法证明不等式的七种方法 因此下面的前四 (其实高考中证明不等式时十有八九都需要构造函数， 种方法必须掌握)

35、 1、禾U用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中 的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证 得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】已知函数f(x) =1 n(x1)-x，求证：当x w -1时，恒有 1 1In(x 1) f (x)恒成立，且常数 a, b满足ab,求 证:.a f (a) b f (b) 【解】由已知 xf(x)+f(x)0 构造函数 F(

36、x)=xf(x), 则F(x)二x f (x) + f(x)0,从而F(x)在R上为增函数。 a b F(a) F(b)即 a f (a) b f(b) 【警示启迪】由条件移项后xf (x) f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)二xf (x), 求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf (x) . f (x)，则移项后xf (x) 一 f(x)，要想到是 一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 5、主元法构造函数 例.(全国)已知函数 f (x)二 ln(1 - x)x, g(x)二 xln x (1)求函数f(x)的最大值； a十b 设 0 : a : b,证明：0

37、： g(a) g (b) - 2g() : (b - a) In 2. 2 分析：对于(II )绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下 所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证 的不等式构造恰当的函数，禾U用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等 式的目的.证明如下： 证明：对 g(x) =xln x 求导，则 g(x) = In x 1 . a +b 在g(a) g(b) -2g()中以b为主变元构造函数， 2 a x a 亠 Xa 亠x 设 F(x)二g(a) g(x

38、)-2g(),则 F (x)二 g (x)-2g() =lnx-ln 2 2 2 当0；：x：a时，F(x) : 0,因此F(x)在(0,a)内为减函数. 当x a时，F (x) 0,因此F(x)在(a/ :)上为增函数. 从而当x二a时，F(x)有极小值F(a). a十b 因为 F(a) =0,b a,所以 F(b) 0,即 g(a) g(b)-2g()0. 2 又设 G(x) = F (x) 一 (x - a) In 2.则 g(x) = ln x - ln -1n 2 = In x -1n(a x). 当x 0时,G(x) ：0.因此G(x)在(0,上为减函数. 因为 G(a) = 0,

39、ba,所以 G(b) 0 时,f(x)1+x 解：(1)f (x) = aexx, f(x )在R上为增函数， f (x)对xR恒成立， 即axe - 乂对xR恒成立 记g (x)=xe x, Ug ( x ) = e7xe -x =(1-x)e , 当xl时，g(x)V 0,当xVl时，g(x)0. 知g(x)在(-g ,1)上为增函数，在(1,+ g)上为减函数， g(x)在 x=1 时，取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e, a 1/e, 即a的取值范围是1/e, +g) 1 记 F(x)=f(x) (1+x) = exx2-1 - x(x 0) 2 贝U F (x)=e x

40、-1-x, 令 h(x)= F (x)=e x-1-x,贝V h (x)=e x-1 当x0时，h (x)0, h(x)在(0,+ g)上为增函数， 又 h(x)在 x=0 处连续, h(x)h(0)=0 即F (x)0 , F(x)在(0,+ g)上为增函数，又F(x)在x=0处连续, F(x)F(0)=0, 即 f(x)1+x . 小结：当函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转 化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 m f (x)(或m ： f (x)恒成立，于是m大于f (x)的最大值(或

41、 m小于f (x)的最小值)，从而把不等式恒 成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法. 7. 对数法构造函数(选用于幕指数函数不等式) 、1 丄 1* 例：证明当x 0时,(1 x) x ： e 2 证明 对不等式两边取对数得(1 +-)ln(l +x) 1 +寺， * 化简为 2(1 +x)ln(l +x) 0) C(x) =2x-21n(l 几又珥门(x0) 由定理2知“在(O.+oo)上严格单调增加，从而(J C(0) =0 (x0) 丈由)上连续，且r(x)o得心在0, + )上严搖单调增加*所Wf(M)o)=o (X 0) r 即

42、2k+xj -2(1 +x)ln(l +x) 0t2x+xj2(1 +x)ln(l +x)t 故(Wx)1* 0) 8. 构造形似函数 例：证明当b a e,证明ab ba 分析此题目具有第指禹数形式，对不尊式两边分别取对8得込Mn虬整理为=111“台叭在此基 aD 础上抿据“形似”构造辅肋函数f(x) =ylnxt再根据函数的单调性证明之. 证明 不等武两边取对数得bJna alntb可化为丄Ina 亠血* flo 令心)#lnx忸然心)在(6皿)内连续并可导， P( x) rim + 丄丄=( I Lnx) e) xX K X 由定理得心)在&+内为严格单阔递减. 由 b a e H f(

43、 a) f(b) 丫所以丄liw -Inb sb1na atnb. SD 故 J Ab* 例：已知m n都是正整数，且1 ： m . n,证明：(1 - m)n (1 n)m 证明：原不等式竽价Ttn(1+m)ln(1 + H令 mn x2,则 x r i x - (1 + V)inf I + a ) x- -V ln(1 + x) a l - ln(l + rv) xl ln(l + v)j j (挥，=；屹 :=；=；/(), 1口(】+廿M 成 【思维挑战】 1、 (2007 年，安徽卷)设 a _ 0, f (x) = x _1 一 In2 x 2a ln x 求证：当x 1时，恒有x

44、 In2x2alnxT， 2、( 2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数 1 -3a2 In a， f (x)x2 2ax, g(x) = 3a21n x b,其中 a0，且 b 2 求证： f (x) _ g(x) x 3、已知函数f(x) =1 n(1 x)，求证：对任意的正数 a、b， 1 +x 恒有 In a -1 n b _ 1 - b. a 4、(2007年，陕西卷)f (x)是定义在(0, +s)上的非负可导函数，且满足 Xf(X)- f (x) W 0,对任意 正数a、b,若a b,则必有() (A) af (b) bf (a)(B) bf (a) af (b) (C)

45、 af (a) f (b)(D) bf (b) f (a) 【答案咨询】 2ln x 2a2ln x 1、提示：f (x)胡-2 仝，当x 1, a-0时，不难证明1 2 f (x) . 0,即f(x)在(0, ：)内单调递增，故当x . 1时， f (x) . f (1) = 0 ,当 x 1 时，恒有 x In2 x -2a ln x 1 2、提示：设 F (x)二 g(x) - f (x)二丄x2 2ax3a21n xb 则 F (x)二 x 2a _ - 2x = (x -a)(x 3a)(x .0). a . 0 ,当 X = a 时，F (x) =0 , x 故F(x)在(0,a)

46、上为减函数，在(a,=)上为增函数，于是函数F(x)在(0, ：)上的最小值是 F(a)二 f (a) _g(a) = 0，故当 x 0时，有 f (x) - g(x) _ 0，即 f (x) _ g(x) 3、提示：函数f (x)的定义域为(-1,二)， (xV 1 2 (1 x) x 2 (1 x) 49 当-1 ： x ： 0时，f(x)：0，即 f (x)在 x (-1,0)上为减函数 当x - 0时，f (x) 0 ,即f (x)在x (0, ：)上为增函数 因此在x = 0时,f (x)取得极小值f (0) = 0，而且是最小值 x1 于是 f (x) _ f (0) = 0,从而

47、 In(1 x)，即 ln(1 x) _ 1- 1+ x1+x 令1 x=a 0,贝叮-1 -b 于是In a_1-b bx 1 ab a K 因此 In a -In b _ 1 - a 4、提示：F(x)二型 ,F (x)二xf(X)2 f(X)乞0，故卩仪)=型在(0, +m)上是减函数，由a ： b xxx 有 3 工型二 af (b) 0、b0、c0 ,求证：.a - ab bb - bc c - a ac c ,当且仅当 b a c 时取等号。 证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形， 使 OA = a, OB = b, OC = c,Z AOB= / BO

48、C=60 如图（1）, 则/ AOC = 120 AB= Ja2 _ab + b2 , bc= Jb2 -bc + c2 ,ac= Ha2 + ac+ c2 由几何知识可知： ab + bo AC , - a2ab b2 b2 -be c2 . a2 ac c2 当且仅当a、b、C三点共线时等号成立，此时有 111 absin60bcsin60acsin120，即 ab+bc=ac 2 2 2 11 1 故当且仅当时取等号。 ba c 四、构造椭圆证明不等式 例 5: 求证： 一电乞.4 -9x2 -2x _ 213 3 3 证明： .4-9x2的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。 53 是令 y = . 4 9x2 （y _ 0），则其图象是椭圆 x2 y + 44 9 2 =1 一的上半部分, 设 y-2x= m，