《整式及其加减》全章复习与巩固(提高)知识讲解

1、整式及其加减全章复习与巩固(提高)知识讲解 【学习目标】 1进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示 2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的 联系 3、 会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律 4、理解并掌握单项式与多项式的相关概念； 5理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整 式的加减运算、求值； 6深刻体会本章体现的主要的数学思想-整体思想. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、代数式 n2 诸如：16n , 2a+3b , 34 -, (a b)2

2、等式子，它们都是用运算符号 (+、x、 *、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个 数或一个字母也是代数式. 要点诠释：代数式的书写规范： (1) 字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成”或省略不写； (2) 除法运算一般以分数的形式表示； (3) 字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； (4) 字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式； (5 )如果字母前面的数字是 1,通常省略不写. 要点二、整式的相关概念 1. 单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单 项式. 要

3、点诠释：(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数. (2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和. 2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 要点诠释：(1)在多项式中，不含字母的项叫做常数项. (2 )多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数. (3)多项式的次数是 n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式. 3. 多项式的降幕与升幕排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个 字母降幕排列.另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 这个多项式按这个字母升幕排列. 要点诠释

4、：(1)利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； (2)含有多个字母时，只按给定的字母进行降幕或升幕排列. 4. 整式：单项式和多项式统称为整式. 要点三、整式的加减 1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都 是同类项. 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： (1) “两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同； (2) “两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关. 2. 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不

5、变. 3. 去括号法则：括号前面是“ +”，把括号和它前面的“ +”去掉后，原括号里各项的符号都 不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改 变. 4. 添括号法则： 添括号后，括号前面是“ +”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括 号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变. 5. 整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减 号连接，然后去括号，合并同类项. 要点四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用 解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验

6、证 【典型例题】 类型一、代数式 1.某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价 5元该商场为促销 制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额 打九折付款八年级(5)班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x (x 10)本. (1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额 若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30本，试问小明应该选择哪一种优惠方 式才更省钱. 【思路点拨】 小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的， 把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小.

7、【答案与解析】 解：设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为 ： (1)代数式分别为： 25X 10+5(x-10), (25 X 10+5x) X 90% (2)把 x=30 分别代入两个代数式 ：25 X 10+5(x-10)= 25 X 10+5(30-10)= 350 (元) (25 X 10+5x) X 90%= (25 X 10+5X 30) X 90% =360(元) 所以选择第一种优惠方式. 【总结升华】 本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型. 类型二、整式的相关概念 2. (2016春?新泰市期中)下列说法正确的是() A. 1 - xy是单项式B . ab没有

8、系数 2 2 C.- 5是一次一项式D . - a b+ab- abc是四次三项式 【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项 式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项， 可得答案. 【答案】D. 【解析】 解：A、1 - xy是多项式，故 A错误； B ab的系数是1，故B错误； C- 5是单项式，故C错误； 2 2 . . D- a b+ab - abc是四次三项式，故 D正确； 故选：D. 【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项 式是多项式的项. 举一反三： 2 2 【变

9、式1】(2014?佛山)多项式 2a b- ab - ab的项数及次数分别是() A. 3, 3 B . 3, 2 C . 2, 3 D . 2, 2 【答案】A 2a2b- ab2 - ab是三次三项式，故次数是3,项数是3. 3 n 1 【变式2】若多项式(m 4)x x -5x-( n- m，2)是关于x的二次三项式，则 m= , n=，这个二次三项式为 . 【答案】-4, 3, x25x9 类型三、整式的加减运算 n +1 3.右 x y与 3 【答案与解析】 解：因为x3m _1 y与 3 3m 1 =5, 所以 |2n 1 =1. 当m = 2且n =1时， 2mx3m y (1

10、x5y2nA是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加 5 n 1 5 2n x5y2n 1是同类项, 5 m = 2, 解得 n =1. 5 2n 4525/425145 x y ) x y xy=( )x y x y . 35353515 【总结升华】 同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中,常数项也是同类项合并同类项时，若不是同类项，则不需合并 举一反三： 【变式】合并同类项. 2 2 2 2 (1) 3x -4xy 4y -5x 2xy-2y ； (2) 93291321 13 (2) 5xy x y xy x y xy-x y-5. 2424 【答案

11、】 2 2 原式=(3 -5)x(-4 2)xy (4 -2)y 2 2 -2x -2xy 2y (2)原式二 5 _ 9 _11 xy - x3y2- x3y2 _ x3y _ 5 I 44丿 V 22 丿 -x3y -5 . 4. ( 2015 春？无锡校级期中) 已知 x=2015，求代数式(2x+3) ( 3x+2) - 6x(x+3) +5x+16 的值”时，马小虎把“ 2015”看成了“ 2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？ 请你说明原因. 【答案与解析】 2 2 解：原式=6x +4x+9x+6 - 6x - 18x+16=22, 结果不含X,故原式化简后与 x的

12、取值无关， 则马小虎把“ 2015”看成了“ 2051”，但是他的运算结果却是正确的 【总结升华】 原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得 到最简结果，根据结果不含x，即可得证.此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运 算法则是解本题的关键. 举一反三： 【变式 1 】已知 A= x2 + 2y2 z2, B=-4x2+ 3y2+ 2z2，且 A+ B+ C= 0,则多项式 C为(). 2 2 2 2 2 2 A. 5x y zB. 3x 5y z C. 3x2 y2 3z2D. 3x2 5y2+ z2 【答案】B 【变式2】先化简代数式-a- la2 -(3a

13、2 -5a 1)-】a-5 ，然后选取一个使原式有 3133 JJ 意义的a的值代入求值. 【答案】？a a - (3a 5a 1) -a 5= 2 a -丄 a (3a -5a 1 a 5) 31313 JJ 333 2 1 2 2 16 2 12 2 16 a- a -(3a a-4) a-(a -3a a 4) 333333 2 / 8 216 八 28 2168 2 14/ a -( a a 4) a a a 4 a a 4. 3 3333333 当 a = 0 时，原式=0-0-4 = -4 . 2 2 【变式 3】(1) ( x+ y) 10 x 10y+ 25= (x + y)

14、10() + 25; (2) ( a b+ c d)( a+ b c d) = ( a d) + ()( a d) () 【答案】(1) x + y;(2) b + c, b+ c 类型四、化简求值 (1)直接化简代入 时，求代数式 (2)条件求值 (3) 15a2 4a2 + 5 a 8a2 (2 a2 a) + 9a2 3a的值. 2 已知(2a+ b+ 3) + | b 1 | = 0,求 3a 32 b 8+ (3 a 2b 1) a + 1 的值. (3)整体代入 (鄂州)已知m2亠m-1=0，求m3亠2m2亠2009的值. 【思路点拨】 对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后

15、再选择恰当的方法进行 求解 【答案与解析】 2 2 2 2 2 解：(1)原式=15a 4a + (5 a 8a 2a+a+ 9a) 3a =15a2 4a2 + (6 a a2) 3a 222 =15a ( 4a + 6a a 3a) 22 =15a ( 5a + 3 a) =15a +5a 3a=2 0a 3a 当i =时，原式=丨:=?_ 22J 4 J 2 (2)由(2a+ b+ 3) +| b 1 | = 0可知：2a + b+ 3=0, b仁0,解得 a= -2 , b=1. 3a 32 b 8+ (3 a2b 1) a + 1 =3a 3(2 b 8 + 3a2b 1 a) +

16、1 =3a 3(2 a 9) + 1 =3a 6a+27+ 1 =28 3a 由 a= -2 则原式=28 3a=28+6=34 m2m =1. m2 2m2 m2 2009 二 m3 m2 m2 2009 二(m3 m2) m2 2009 =m(m2 m) m22009 二 m m22009 = 1 2009 二 2010. 所以m3 2m22009的值为2010. 然后找到化简结果与已知条件之 【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简, 间的联系. 举一反三: 【变式】已知 邑逹=6，求代数式2(2a 一 b . 3(a b)的值. a+ba+b 2ab 【答案】 2a - ba

17、 b13 设p，贝U，原式=2 p亠 a b2a -bpp 31 又因为p = 6，所以原式=2 612丄. 62 类型五、探索与表达规律 6.如图，在2005年3月的日历上： 日 * 二 二 四 五 六 1 2 4 5 6 7 8 9 1() 11 12 13 14 15 16 17 18 19 日 21 22 23 24 25 27 28 29 30 31 (1) 任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为 ； a b (2) 用一个矩形框出四个数J，请用一个等式表示 a、b c、d之间的关系：； (3) 用一个十字框任意框出 5个数，设中间一个数为 a,则框出

18、的5个数的和为 . 【思路点拨】 日历上一竖列相邻的两个数相隔 7, 横行相邻的两个数相差 1，据此很容易 求出本题答案. 【答案】(1) x 7, x+ 7; (2) a = b- 1 = c 7= d 8;(3) 5a. 【解析】(1) (3)较简单； (2) b比a大1,所以b= a+ 1; c比a大7,所以c = a+ 7; d比c大1,所以d= c + 1. 由b= a + 1得a = b 1，由c= a + 7得a = c 7，由d = c + 1得c = d 1，将代 入得 a = c 7 =( d 1) 7= d 8. 由得：a = b 1 = c 7= d 8. 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系. 举一反三： 【变式】如图，是由边长为 1的正方形按照某种规律排列而成的： (1)观察图形，填写下表: 图形 正方形个数 8 图形的周长 18 推测第n个图形中，正方形的个数为 ，周长为.(用含n的代数式表示) 【答案】(1) 图形 正方形个数 8 13 18 图形的周长 18 28 38 (2)5n+3,10n+8 . 类型六、综合应用 7对于任意有理数x，比较多项式4x2 - 5x 2与3x2 - 5x-2的值的大小. 【答案与解析】 解：(4x2-5x2) -(3x2-5x -2) =4x2-5