初高中数学衔接课程(5)——一元二次不等式与分式不等式讲义

1、的关系构造方程时，未知数要换成异于X、y的字母，如z初高中数学衔接课程第五讲方程与不等式5.1二元二次方程组解法方程X2 2xy y2 x y 60是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。其中x2, 2xy , y2 叫做这个方程的 二次项，x, y叫做一次项,6叫做常数项。我们看下面的两个方程组：2.2cc22“x4y x 3y10, xy 20,2xy10;x5xy 6y0.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。F面我们主要来研究由一个二元二次

2、方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元 法来解。解方程组x2 4y2 4 0, x 2y 20.例2解方程组xy7,xy12.解：由，得x 7y.把代入，整理，得2y7y 120解这个方程，得y13,y24。把Y13代入，得%4 ；把y 4代入,所以原方程的解是x4,.x2 3,y13,y24.x1 3】解方程组y11(1)xy28(2)O得 x23。解：由，得x= 2y + 2,把代入,整理,得8y2+ 8y = 0,即y(y+ 1) = 0。解得y 0, y?二一1 把y 0代入，得X1 = 2；把y2= 1代入，得X2=

3、0。所以原方程组的解是为 2, ；X2 0,y1 0,y21.说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消 元法来求解分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x、 y看成是方程z211z 280的两根，则更容易求解。说明：(1)对于这种对称性的方程组 x y a，利用一元二次方程的根与系数xy b(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解x 4X 4，则必有解y 7【例4】解方程组2 X2 Xy25(x y)xy y243(1)分析：注意到方程x2 y25(x y)，可分解成(x y)(x y 5)0，即得x y 0或x y 50，则可得到两个二元

4、二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程。【例5】解方程组2x xy2xy y124(1)分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数 项，可得到一个二次三项式的方程.例 6】解方程组xy X 33xy y 8(1)分析：注意到两个方程都有xy项，所以可用加减法消之，得到一个二元次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.例7 .解下列方程组：(1)y x 5,X2 y2625;(2)x y 3, xy 10;(2)( 3)2 2L仏154y X 3;(4)y22x,x2 y2 8.5.2、一元二次不等式及其解法初中阶段已经学习了一元一次不

5、等式和一元一次不等式组的解法。高中阶 段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。本讲先介绍一些高中新 课标中关于不等式的必备知识。1 .形如ax2 bx c 0(或 0)(其中a 0)的不等式称为关于x的一元二次 不等式。2 . 一元二次不等式ax2 bx c ax2 bx c (a 0)及一元二次方程 ax2 bx c以二次函数y x2 x 6为例：(1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与 x轴的交点是( 3或2时，y 0。就是说对应的一元二次方程 x2根是x0(或 0)与二次函数0的关系(简称：说X2x当解是3当x 3或 x 2时，y 0，对应图像位于0的解是x 3或x 2

6、。x 2时，y 0，对应图像位于x轴的下方。就是说x2 x2。一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,X一般地，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象。如果图象与x轴有两个交点(x1,0),( x2,0)，此时对应的一元二次方程有两不相等的实数根x,X2(也可由根的判别式0来判断)。那么(图 1) :; ax2 bx c 0 (a 0) x 为或x x22i ax bx c 0 (a 0)Xi x X2 如果图象与X轴只有一个交点(,0)，此时对应的一元二次方程有两个2a相的实数根xx x2(也可由根的判别式0来判断)。2a那么(图 2) :

7、:ax2 bx c 0 (a 0) x !I2a ,ii| ax2 bx c 0 (a 0) 无解； 如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0来判断)。那么(图3) :;ax2bx c0 (a0)x取一切实数：|IIi；ax2bx c0 (a0)无解；如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积， 则求出两根x,x2 那么0 型的解为x x,或x X2(俗称两根之外)；“ 0”型的解为X! x X2(俗称两根 之间)；【例1】解不等式x2 x 60。【例2】解下列不等式：(

8、1) (x 2)(x 3)6(2)(x-1)(x+2)(x-2)(2x+1)分析：要先将不等式化为 ax2 bx c 0(或0)的形式，通常使二次项系 数为正数。【例3】解下列不等式：(2) x2 4x 40(3) x2 x 20(1) x2 2x 80【例4】已知对于任意实数x , kx2 2x k恒为正数，求实数k的取值范围例5、函数y = x2 2ax+ 1(a为常数)在一2 x1上的最小值为n,试将n用a 表示出来。分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关， 于是需要对对称轴的位置进行分类讨论。解：T y= (x a)2+ 1 a2, 抛物线y = x2 2a

9、x + 1的对称轴方程是x = a。 若一2 a 1时，由图2.3-3可知,当x = 1时，该函数取最小值n= -2a+2。4a 5, a 2,综上，函数的最小值为n 1 a2, 2 a 1,2a 2, a 1.图 2.3 3yi.x丄a/2 O厂(1)5.3分式不等式的解法1,简单分式不等式【例1】解下列不等式:x 22x 3说明:转化为整式不等式时，一定要先将右端变为 0。 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号:x3(x 2) 12 0x20或3(x 2) 1 x2、可化为1 .去分母化分式方程为一元14x【例2】解方程害x 2 x24分析：去分母，转化为整式方程 说明：(1)去分

10、母解分式方程的步骤： 把各分式的分母因式分解； 去括号，元二次方程的分式方程一次方程2x 2在方程两边同乘以各分式的最简公分母； 把所有项都移到左边，合并同类项；解一元二次方程；验根。2 用换元法化分式方程为一元二次方程2【例3】解方程说2分析：本题若直接去分母,会得到一个四次方程，解方程很困难。但注意2到方程的结构特点，设x 1y，即得到一个关于y的一元二次方程。最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法解方程xy的值，而没有求到原方程的解,说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 即x的值。2 2【例4】解方程8(x2 2x)1)11 .x 1 x 2x分析：注意观察方程特点，可以看到分式

11、2 2=与七互为倒数。因此,说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整 式方程，体现了化归思想.3、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.1 平方法解无理方程【例1】解方程.x 7 x 1分析：移项、平方，转化为有理方程求解.说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根.【例2】解方程 3x 23分析：直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转 化为上例的模式，再用例4的方法解方程.2.换元法解无理

12、方程【例3】解方程3x2 15x 2 x2 5x 12分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大.注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现： 3x2 15x 3 3(x2 5x 1).因此，可以设、x2 5x 1 y，这样就可将原方程 先转化为关于y的一元二次方程处理.说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理 方程，体现了化归思想.4、含有字母系数的一元二次不等式【例1】求关于x的不等式m2x 2 2mx m的解。【例2】已知关于x的不等式k2 kx x 2的解为x 1，求实数k的值。2分析：将不等式整理成ax b的形式，可以考虑只有当a 0时，才有形如 x b的解，从而令-1 。aa 2课堂小练(2) x x2+ 6V 0;2(4) x 6x+ 9+ 2在OWxW2上的最大值k。+ 2x 30；2(5