高中不等式所有知识及典型例题(超全)

1、一.不等式的性质：二.不等式大小比较的常用方法：1 .作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2 .作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基 本的方法。三.重要不等式221. （1）若 a,b r,则 a.2 b2 2ab（2）若 a,b r,则 ab a一b-（当且仅当 a b 时取“二”）22. （1）若a,b r*,则a_b 题 （2） 若a,b r*,则a b 2而（当且仅当a b时取“二”） 22若a,b r*,则abab(当且仅当a

2、b时取二”)2,-1.3.若x 0 ,则x - 2 (当且仅当x 1时取“=”); x一， 1,一 .一 “若x 0,则x 2 (当且仅当x 1时取“二”)b时取“=”)x若x 0,则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当axxx若ab 0,则a b b a2 （当且仅当a b时取二”）11若 ab 0 ,贝u a b 2即 a b b a b a4.若 a,b r,则(a_b)225.a3+b3+c33abc (a,b,cr+)a+b+c3 3/abc （当且仅当a=b=c时取等号）；2或2 - -2 （当且仅当a b时取二”） b a1 上一一一一一，.一6. n (a1+a2+

3、an)ga1a2l an (ar ,i=1,2，n),当且仅当 a1=a2= =an取等方;变式：a2+b2+c2ab+bc+ca;ab (a+b)2(a,br+);abc( a+b+c)ab-（当且仅当a b时取二”） 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛 的应用.(a,b,cr+)23a+b2a2+b22 b.(0a b)7.浓度不等式b nanb bn0,m

4、0; a a+m应用一：求最值11例1:求下列函数的值域(1) y=3x 2+ 21(2) y=x+x解题技巧:5技巧一：凑项 例1：已知x ,求函数y 4x 24，的最大值。4x 5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数, 技巧二：凑系数例1.当口时，求y x(8 2x)的最大值。2技巧三： 分离 例3.求y -一少二(xx 1使其积为定值。1)的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 44= t 5当 x -1 ,即 t=x4 1 口时,t=2即x= 1时取“=”号)技巧五：注意

5、：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数a 一f (x) x 的单x调性。例：求函数y-2-jl的值域。x2 4解：令,x2 4t(tx2 5x2 4x2 411- t 1(t 2)x2 4 t1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。一一 1 .因为y t -在区间 t1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为52,2.已知0 x 1,求函数条件求最值y jx(1 x)的最大值.；3.2 ,求函数y jx(2 3x)的最大值.31.若实数满足a b 2 ,则3a 3b的最小值是分析:和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b定值，因此考虑利

6、用均值定理求最小值,解:当3a变式：若iog4 x log 4 y2 ,求-的最小值.并求x,y的值 x y3a 和3b 都是正数，3a 3b 和 2d3a 3b 2g3ab 63b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性， 否则就会出错。一一 192:已知x 0, y 0,且一 一 1,求x y的取小值。 x y技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 +5=1,求x产干 的最大值.-a 2+ b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故米用公式ab得，0vb15令 t=b+

7、1,1t2/t -竿=8ab 18法二：由已知得:1 y y 1830-ab = a+ 2b.当且仅当t=4,即b=3, a= 6时，等号成立。30- ab 2 ab令 u= ab. 质 372则 u2+ 25 u-300, -52 u3721 , ab力点评：本题考查不等式 圣 vab (a,b r)的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知2不等式ab a 2b 30 (a,b r)出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式 2 痴(a,b r ),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 2变式：1.已知a0, b0, ab (a+ b) =

8、1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方的最值.a 2 + b 2a-2,本题很简单5、已知x, y为正实数，3x+2y= 10,求函数 w= v3x +v2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，弓也v3x +v2y 0, w2=3x+2y+273x 的=10+2标 遍 010+(灰)1 2 (0 )2 = 10+(3x+2y)= 20 w0回=2水应用二：利用基本不等式证明不等式1 .已知a,b, c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca1)正数 a, b, c满足 a+b+c= 1,求证：(1 a)(1 b)(1 c

9、)8abc例6:111已知 a、b、c r ,且 a b c 1。求证：一 1 一 1 一 18abc分析:1 1 a不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个2-bc ,可由此变形入手。 a解：q a、b、c1r , a b c 1 o - 1 a2 .阮a1 d 2、ac同理一 1 b b2”连乘，又12 . ab1 oc c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得当且仅当a1 ,，一-时取等号。3应用三：基本不等式与包成立问题19例：已知x0,y0且1 91,求使不等式x ym包成立的实数m的取值范围。x y19,x y9x 9y ,10y 9x ,解：令x yk,

10、x 0, y0, - 1,l 1. 1x ykx kyk kx ky103一一1 2 3 0 k 16 , m ,16k k应用四：均值定理在比较大小中的应用：1 a b、例：右 a b 1,p lga lgb,q (iga ig b), r lg()，则 p, q,r 的大小关系是-2 2(2)不等式(x 2)jx2 2x 3 0的解集是3或 x 1);g(x) 0的解集(答:x| x (3)设函数f(x)、g(x)的定义域都是r,且f(x) 0的解集为x|1 x 2, ,则不等式f(x)gg(x) 0的解集为,1)u2,)；(4)要使满足关于一 24x 3 0和 x6xx的不等式2x* 2

11、 9x a 0 (解集非空)的每一个x的值至少满足不等式 8 0中的一个，则实数a的取值范围是.4.分式不等式的解法：(答：7, 81)分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 般不能去分母，但分母包为正或恒为负时可去分母,最后用标根法求解。解分式不等式时, 如(1)解不等式25 xx2 2x(2)关于x的不等式axb 0的解集为(1,),则关于x的不等式(答:(1,1)u(2,3);；父上0的解集为x 2|x|a的解集|ax+b| c-c ax+bcax+b1c或 ax+b0)和|x-a|+|x-b|0)型不等式的解法方法一：

12、利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想;方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例1:解下列不等式：(1).x2 2x1(2). -3x或x2-2x3或x0或0vx1原不等式的解集为x | x0 或 0vx3 解法2 (数形结合法)作出示意图，易观察原不等式的解集为x | x0 或 0x3 第(1)题图第(2)题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为x|x1或x3知x4 .7.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函

13、数增减性为基础，分类讨论是关键.”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别 说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如,22（1）若loga2 1,则a的取值范围是（答：a 1或0 a -）;332（2）解不等式-aj x（a r） ax 11 .、_1,、（答：a 0时，x|x 0； a 0时，x|x -或 x 0； a 0 时，x| x 0或 x 0） aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax b 0的解集为（，1）,

14、则不等式 12 0的解集为（答：（1,2） ax b5 .绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b| |a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a, b不共线时，a+b|a|+| b 它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b| |a b| |a|+|b|中“二”成立的条件分别是：不等式|a|-|b| |a+b|0,左侧“二”成立的条件是ab&0且|a| |b|;不等式|a|-|b| |a-b| |a|+|b| ,右侧“二”成立的条件是ab0且|a|引b| 。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|

15、|a-b|+|b-c|, 当且仅当（a-b）（b-c）时，等号成立。例1.已知 0, x a , y b ,求证2x 3y 2a 3b 5 .例2.（1）求函数y x 3 x 1的最大和最小值；（2）设 a r,函数 f x ax2 x a（ 1 x 1）.若a 1,求f x的最大值例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？6 .柯西不等式a1bla2b2anbn2a12a2a22h2

16、b；b22aibir, i 1,2 n等号当且仅当ai a2an 。或bi kai时成立（k为常数，i 1,2 n）类型一：利用柯西不等式求最值1 .求函数y 士 5瓜二t +凯。-2k的最大值一：.无-1之。且10-2m0 ,函数的定义域为kel5,且1y = 5乂 1 -k*/s x j5- 彳 0由y 一标丁而kitr布丁，127得力10-2汽-2&70 即5j10 2m 261 0 ,解得 27,127.27时函数取最大值，最大值为 痘.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2229+2 .设立、上、亡为正数且各不相等，求证： 。十8 。十门 a十

17、3十c= 2g+a+r）（t +十-）=【（窗 + 为+3+|7）+匕+0/7 + 1 +）：4_1 ra +/?人+e 。+1。+8 b -c 4+煌之 q + 1 + 1j 9又直、b、二各不相等，故等号不能成立力十二 匕十厘 白十3十亡。类型三：柯西不等式在几何上的应用6. aabc的三边长为a、b、c,其外接圆半径为 r,求证：+/ +c2x+ + ）36sin 3 a sin5 sin 3 （7. n 。1 4qsin w = i -证明：由三角形中的正弦定理得2衣，所以sn 达 口14戍2141于是左边=s +方* + 1)(4+-一 4)336汽：sin 2 a sin 3 si

18、n 3 c七.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是:分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。作差（商）后通过 ）.1常用的放缩技巧有：-1n(n 1)1.k 1 jk 2, k k如(1)已知a b c,求证：a2b b2c (2)已知 a,b,c r,求证：a2b2 b2c211(3)已知 a,b,x,y r ,且1,x y,a b1 jk2c a2 2c a求证:（4）若a、b、c是不全相等的正数，求证:(5)已知 a,b,c r,求证：a2b2(6)若 n n,求证：,(n 1)2 1(n 1)(7)已知|a|b | ,求证:（8）求证:|a| |b|a b|l 4n1n(n 1)k . k,22ab bc,ay2 2c an2abc(axx ab . blg|a| |b| .?|a b|2ca ;c) ；匕?b c a1g 1g aabc(a b c);lgb lgc；八.不等式的包成立，能成立，恰成立等问题：不等式包成立问题的常规处理方式？（常应用函数 方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1 ）.包成立问题xminxmax若不等式f x a在区间d上包成立，则等价于在区间d上f若不等式f x