一道课本概率习题的推广

1、一道课本概率习题的推广浙江省象山中学张宗余 315700在新教材第二册(下a)第141页“排 列、组合和概率”的小结与复习中有这样一 题“将并排的5个房间安排给5个工作人员 临时休息，假定每人可以进入任一房间，且 进入各个房间是等可能的，求每个房间恰好进入1人的概率。”分析：由于每个人可以 进入任一房间，进入哪个房间有5种等可能的方法。根据分步计数原理，5个人进入5个房间共有55种等可能的方法。每个房间中房间恰女?进住1人”改为“恰有5个房间各入彳1 1人”，情况又如何？分析：题中的5个房间可以在6个房间中c5任意选取，其总数有 c6种，对选定的5个房间，按上述的分析可知有 5!种分配方式，所

2、以恰有 5个房间入住 1人的概率为p立65将纵向推广1推广到一般情况1 :将恰好各进去1人，相当于对5个人进行全排并排的n个房间安排给n个工作人员临时列，其排法的种数是 5!,因此，每个房间休息、(n n),假定每人可以进入任一房间,p恰好进入1人的概率：5!2455625且进入各个房间是等可能的， 求指定的n个房间各恰好进住1人的概率。p于是n!纵向推广1 :将并排的6个房间安排给5个工作人员临时休息， 假定每人可以进入任 一房间，且进入各个房间是等可能的，求指定的5个房间恰好进住1人的概率。分析：每人有6个房间可供选择，所以 5个人住的方式有65种，指定的5个房间各 有1人住，其可能总数为

3、5人的全排列5!,c 5!p -65于是。纵向推广2：将上题中的“指定的 5个分析：每人有n个房间可供选择，所以 n 个人住的方式有n71，指定的n个房间各 有1人住，其可能总数为n人的全排列n !,将纵向推广2推广到一般情况2：将并排的n个房间安排给n个工作人员临时休息、(n n),假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的， 求恰好有n个房间，其中各住1人的概率。分析：每人有n个房间可供选择，所以n研究生入学考试试题)个人住的方式有 n7小，题中的n个房间可分析：若把人解释为每人的生日，把房间. cn以在n个房间中任意选取，其总数有cn解释为一年365天中的每一天，由推广到一种，对

4、选定的n个房间，按上述的分析可知2 的结论得有n !种分配方式,所以恰有n个房间入住pc365 r!365r365!365r 365 r !p1人的概率为cn n! n!nn nn n n!o365364365 r 1365r注：这是一个古典概型中的一个很典型的1211 365365“分房问题”，事实上不少实际问题多可以进一步引中：有r个人,(r 365 ),问归结为它的模型。例如，若把人解释为质点,把房间解释为相应空间中的小区域，这个问题就是统计物理学中的maxwell-boltzmann质点运动问题。横向推广1 :设有m个不同的质点,每个质点以等可能落与m (m m)个空间小区域(每个小区

5、域能容纳的质点数是没有至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？分析：这个例子是概率论历史上有名的“生日问题如果直接求p (a)比较麻烦，我们利用对立事件就转化为 横向推广2所得的结论：a= r个人中至少有两个人的生日相同限制的)，求某预先指定的 m个空间小区域各含一个质点的概率。分析：由推广到一般情况1的结论得:横向推广2:设有r个人，r 365 ,并设每人的生日在一年 365天中的每一天的 可能性是均等的，问此r个人有不同生日的概率是多少？(武汉理工大学2001年硕士a= r个人中的生日全不相同365!p (a) =1 p ( a) =1 365r 365 r !应用：在新教材第二册(下a)

6、第120页习题10.5 (6) 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是多少？分析：令r=2 ,利用引申的结论：365!2 一a、3365365 2!p (a) =1 p ( a) =1 365 3641=1 -3652= 365 o注：当然这道例题本身并不需要这么麻烦，而且方法较多。但对于不同的一些r值，计算得相应的p (a)值如下表：r102023304050p0.120.410.510.710.890.97上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两人的生日相同”这件事情发生的概率，并不如大多数人直觉中想象的那么小，而且相当大。由表可以看出，当班级中的人数为23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级