勾股定理知识点梳理

1、精品文档 勾股定理知识点梳理 1. 直角三角型有哪些特殊的性质 ；角，直角三角型的两锐角互余；边，直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在 Rt ABC中，a2 b2 c2 ；面积，两种 计算面积的方法。 2. 如何判定一个三角形是直角三角形呢？ 有一个内角为直角的三角形是直角三角形; 两个内角互余的三角形是直角三角形；如 果三角形的三边长为 a、b、c 满足 a 6 d，那么这个三角形是直角三角形 10欢迎下载 3 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形

2、有关。 4. 互逆命题的概念 这样的两个命题叫做互逆 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5. 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2c2中，a , b , c为 正整数时，称a , b , c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 , 8,15,17 ； 9,40,41 等 6.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠

3、，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD， (b a)2 c2，化简可证. 方法 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c2 2 大正万形面积为 S (a b) a 2ab b 所以a2 b2 c2 方法三: S梯形 2(a b) (a b) , S弟形 112 、 2S ade S abe 2 ab c，化简得证 22 b a 一.典型例题 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 Rt ABC中，

4、/ C=90 已知 a=6,c=10，求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知 c=25, b=15，求 a. 注意勾 思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中， 股定理的变形使用。 举一反三 【变式】：如图/ B=Z ACD90 , AD=13, CB12, BC=3,则AB的长是多少？ 类型二： BC的长. 勾股定理的构造应用 已知：在 八冲円。中，乙E二60， AC = 70 ， AB = 30 .求: 思路点拨 则有 角的直角三角形，为此作 二二-己于 D, 2、如图， D BD=-AB = A5 ZEAUf2，再由勾股定理计算出 AD DC的长，进

5、而求 出BC的长. 举一反三 【变式1】如图，已知： 一-一；匕，二宀一J丄，-】二匚一于 / A=60, AB=4, CD=2 求：四边形 【变式2】已知: 积。 ABCD勺面 类型三：勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 向走了：以到达B点，然后再沿北偏西30方向走了 500m到达目的地 A点出发，沿北偏东 P求证：. (1) 求A C两点之间的距离。 (2) 确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工 厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门

6、【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过, 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小 于CH如图所示，点 D在离厂门中线0.8米处，且CDLAB, 与地面交于H. (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网 改造，某地有四个村庄 A、B、C D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村 庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下， 哪种 架设方案最省电线. (1) (2) 思路点拨：解答本题的思路是： 最省电线就是线路长最短， 通过利用勾股定理计算线路长, 然后进行比较，得出结论. 举一反三 【变

7、式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只 蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程. 解: （提问：勾股定理） AC=；-上 上一1一 =二皿 10.77（ cm）（勾股定理）. 答：最短路程约为1 0.77cm. 类型四：利用勾股定理作长为而的线段 5、作长为认:、，；、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1的等腰直角三角形，斜边长就等于/ ，直角边为 /和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作丄。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和

8、1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3,作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1 原命题：猫有四只脚.（正确） 2 .原命题：对顶角相等（正确） 3 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确） 4 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。 解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确） 3. 逆命题：到线段两端

9、距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果 ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC的形状。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常 要用到。 举一反三【变式1】四边形 ABCD中，/ B=90, AB=3, BC=4, CD=12 AD=13求四边形 ABCD的面积。 【变式2】已知： ABC的三边分别为 mo n）,判断 ABC是否为直角三角形. 分析：本题是利用勾股

10、定理的的逆定理, 只要证明：a2+b2=c2即可 证明: （嵌一冲丫 + （如龙），-丰河4 +中心 =胸* +加f + = （wsa+wa）a 所以 ABC是直角三角形. vm n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 【变式3】如图正方形 ABCD E为BC中点，F为AB上一点，且BF=： AB 请问FE与DE是否垂直？请说明。 经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是 3: 4，斜边长是20,求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设 未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值

11、进而求面积。 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组） 求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。 【变式2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+3,求n。 思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（） A、8, 15, 17 B、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断, 【变式5】四边形ABC

12、D中，/ B=90, AB=3, BC=4 CD=12 AD=13 求四边形 ABCD的 面积。 类型二：勾股定理的应用 A 2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30,点A处有 一所中学，AN 160m假设拖拉机行驶时， 周围100m以内会受到噪音的影 响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？ 请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h ,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小 于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并

13、计算其长度。(2) 要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到 拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD- 100(m), BD= 60(m), CD- 120(m)。 拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/s t= 120nr 5m/s = 24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。 总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作 辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反

14、三 【变式1】如图学校有一块长方形花园， 有极少数人为了避开拐角而走 “捷径”， 在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了 花草。 解析：他们原来走的路为3+4= 7(m) 设走“捷径”的路长为 xm,则-=- 故少走的路长为 7 5 = 2(m) 又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 (1) 直接写出单位正三角形的高与面积。 (2) 图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD勺面积是多少?

15、 3)求出图中线段 AC的长(可作辅助线)。 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化 为直角三角形问题来解决. 3、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DEL DF,若BE=12, CF=5求线段 EF的长。 的 a 思路点拨： 现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在冋一三角形中，所以关键是线段 的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD. 总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可 以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放 在同一直角三角形