初三相似三角形的基本模型

1、精锐教育学科教师辅导讲义授课类型T （相似三角形的基本类 型。）C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日 期时段教学内容、同步知识梳理知识点1:相似证明中的基本模型B知识点2:相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合 等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.如图：AD平分乙BAC交BC于D，求证：BD _ AB .DC ACEA证法一：过 C作CE II AD，交BA的延长线于 E . 1 ZE，/2 Z3 1 Z2 , = E AC =AE 3 AD II CE ,BDDCBABEB

2、AAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A型图的基本模型.E证法二；过B作AC的平行线，交 AD的延长线于E .J = . 2 =. E，AB = BE BE II AC ,BD BEDC _ACABAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型.知识点3:相似证明中的面积法图1：山字”型C图2 :田字”型图3：燕尾”型面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题. 常用的面积法基本模型如下：1Sa ABC2BCAHBCacd1CDAHCD2如图:1Sa ABCBCAHAHAO2Sa BCD-1BCDG_ DGOD2如图:如图：SA ABDSA ABDSa aed

3、ABADABADTTSa ACESa aedSa aceAEACAEAC、同步题型分析题型1:与三角形有关的相似问题解析： D 一忙 At；例1 :如图，D、E是 ABC的边AC、AB上的点，且 AD .AC = AE AB，求证: ADE = B .；DAE = BAC二 ADAE s ABAC例2：如图，在ABC中,二 _ADE =AD_BC于D，CE_AB于E， ABC的面积是 BDE面积的4倍，AC =6，求DE的长.解析：上；_CJ_二 ABD ACBE.BE _ BC BD AB丁 一EBD = CBA/- ABED BCA题型2:相ABAC似中的角平分线问题例1 :如图，AD是厶

4、ABC的角平分线，求证:BDCD。解析： : m 打；丁.丁 CE / AD 二上1 = /E,=又/ AD平分厶5且CJ Z1 = Z2 .= Z3 ?二 AE = AC,由 CE/ AD 可得：,AE CDAB BDACCD解析：连接AM ,由已知条件可知DAE = 90 ,XACM = AC AD + ADAC CAM =?A例2:已知 ABC中，.BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，求证:9二 AAMC s,* AB _ BMAB _ AMJC CCM* AB BMAC _ CM *田J上/ AD門K： - AE CD.AB _ BDCCD例3：已知：AD、AE分别为.SBC的内

5、、外角平分线,解析:2题型3： a二be型结论的证明例 1 :如图，直角 ABC 中，AB _AC， AD _BC，证明： AB2 二 BD BC， AC2 二 CD BC，2AD 二BD CD.解析：AB 丄川 t?, AD _BC-+- MBD s ACAD s ACBA* ABD s ACADABDC竺.如=3AD CD=BD CD同理可得，JB2 =BD BC, = =C: =CD BCAB BCAC BC例2:如图，在 厶ABC中，AD平分.BAC ,求证：FD2 二FB FC .AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F ,ABDCF解析:连接4F/ EF垂直平分4D,AF =

6、 DF./ Z4 = DAF .艮卩 Z4 = 2+ Z3 , 又 V Z4 = _l + Z5 , Z2 + Z3 = Zl + 5 V ADBAC . A Z1 = Z2 ,二-3 =,又 T ACFA = 4FB ,ACFA AFB t A FA2 =FC*FB.又 T AF = DF ,二 FD2 =FBFC题型4、三角形内接矩形问题例1、 已知，如图，ABC中，AC =3，BC =4，C =90 ，四边形DEGF为正方形，其中D，E 在边AC，BC 上, F , G在AB上，求正方形的边长.解析:C由勾般定理可求= 5,由AB CH = AC BC可得=由 ACDE SCAB 可得=

7、, AB CH设正方形的边长为x则上=,解得.52.437三、课堂达标检测检测题1 :如图，在正方形 ABCD，点E在AB边上，且AE： EB= 2 : 1, AF丄DE于 G交BC于 F, 则厶AEG勺面积与四边形 BEGF勺面积之比为（）A 1 : 2B、1 : 4第1题图C检测题2、如图，已知DE/ BC CD和 BE相交于点 O Soe : S的B = 4: 9，则 AE： EC()A、2 :B、2 : 3检测题3、在 ABC中, D为AC边上一点，/ DBC=Z A, BO 6 , AC= 3,则CD的长为（）B、答案：1、C2、A3、C一、专题精讲构造相似辅助线一一双垂直模型例1：

8、在厶ABC中, AE2怎,AO4, BO2，以AB为边在C点的异侧作 ABD使厶ABD等腰直角 三角形，求线段CD的长.答案：解：情形一:连接CD-过点D作AC边上的高袋DE,交CA的延长 钱于点尽V 氏 JC=4, BC=2-:、AC BC=AB:， AACB= $0 ? 又T DE丄匚& 且刃D为等腰直角三埠形”A AD=.iB , AACB=E= 90， EDA+AE.4D= 90,二酮c十亠* - EtA C =L 阿D.4 l，:、厶3空CS川A AE=BC=2. DE=AC=4v在中，CD= -Jed2+CE2 = 2AJ，情形二：逹接C7. D f? BC边上的高浅M空CS羽廷辰

9、我于点F，T AB=lj5r JC=4-月Ot彳L+百匚：呻F. .JGS-90 a丈；DF_5为等長直鬼三童略:,BD=A8. _CS-_F-90: . _一坯OlFBE 90.-生亡+肚冊：._BAO_FED+/, DBCBA v?. DF=BC=2, mO4.彳D/.在 RtDFC F . CD=ylFD-CF- - T情形三：知圉+当二QK=9(T时：*连接CD.过点D BC边上的高线DP、交CB的延氏线于点H 过点且作貢线尸。边上的高线交卩D于点0+/ AB=14l ,BC=2二 AC-BCAB11 S0 *乂T DECE. ABD为等雯直角三隹形”/. AD=BD AP=LQ= 9

10、0= * azpzij+z.w= 90 - AODAJrBDP=W 2二 ZQAAEHDP*:.AOADAPDB- AQDP. DO=BP例2:在厶ABC中, AC=BC / ACB=90,点M是AC上的一点，点 N是BC上的一点，沿着直线 MN折 叠，使得点 C恰好落在边 AB上的P点求证：MC NC=APPB.连接PC,过点P作PDL AC于D贝y PD/ BC 根据折叠可知MNL CP/ 2+Z PCN90 / PCI+Z CNIM90/ 2=Z CNMZ CDPZ NCPM90 PD MCN MC CN=PD DC PD=DA MC CN=DA DC/ PD/ BC DA DOPA P

11、B MC CN=PA PB方法二：如图,过M作MDLAB于D,过N作N巳AB于EMD _PD _ PM由双垂直模型，可以推知 PM0 NPE则PE 胚 PN ,MD+PD_PM根据等比性质可知 PE+NE PN，而 MDDA NE=EB PM=CM PN=CN - MC CN=PA PB例3:已知，如图，直线 y=-2x+ 2与坐标轴交于 A B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形 ABCD使得矩形的两边之比为 1 : 2。求C D两点的坐标。构造相似辅助线一一A、X字型例4:如图： ABC中,D是AB上一点，AD=AC BC边上的中线 AE交CD于AS _.F求证:ACDF答案:证明:（方法

12、一）如图延长AE到M使得EMAE,连接CM/ BE=CE / AEE=/ MEC BEAA CEM- CMAB / 仁/ B AB/ CM/ M=Z MAD / MCFZ ADF MC ADFCF _CM:.二一 jzCMAB AD=ACCF CM AB_ 亠上（方法二）过D作DG/ BC交AE于G 则厶AB0A ADG CEFA DGFAB_BE_ CF_CE_二二，二二/ AD=AC BE=CECF_BE_AB_二一工二例5:四边形 ABCDK AC为AB AD的比例中项，且 AC平分/ DABBE _ BC2求证： -二 J1 答案:证明:过点D作DF/ AB交AC的延长线于点 F,则/

13、 2= / 3/ AC平分 / DAB/ 仁/2/ 仁/ 3 AD=DF/ DEf=Z BEA / 2=Z 3 BEAA DEFBE AB AD=DFBE AS丄一 AC为AB AD的比例中项匸一匚AD AC即上_又/仁/ 2 ACBA ABCAD _ AC _ CD _-._f 亠亠BC2 _ AB AC _ ABBC2 _ BE-J 二n47例6:在梯形 ABCDK Ab/ CD AB= b, CD= a, E为AD边上的任意一点， EF/ AB且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：丝1a+bDE “常+戲(1)当时，EF= 一 ;当一工时，EF=匚：;DE ：3(3)

14、当时，EF=当一一时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的般结论，并给出证明.答案：证明：过点E作PQ/ BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q/ AB/ CD PQ/ BC四边形PQCB口四边形EQCF是平行四边形CQ AP AE二 PB= EF=又 AB= b , CD= a AP= PBAB= EF-b, DQ= DGQC= a-EFci - EF EF-b込警例7:已知：如图，在 ABG中, M是AC的中点,求 BN NQ QME、F是BC上的两点，且 BE= EF= FC连接MF M是AC的中点，EF= FC1- MF/ AE且 MF=AMA BEWA BFM BN BM

15、= BE BF= NE MFBE= EF： BN BM= NE MF= 1:2 BNNM= 1:1 设 NE= x,则 MF= 2x, AE= 4x： AN= 3x / MF/ AEA NAQA MFQ. NQ QM= AN MF= 3:2 / BNB R F CNM= 1:1 , NQ QM= 3:2 BN NQ QM= 5:3:2相似类定值问题例&如图，在等边 ABC中, M N分别是边AB AC的中点，D为MN上任意一点, 线分别交AC AB于点E、F.1 * 1求证二二-二.BD CD的延长答案：证明:如图，作 DP/ AB DQ AC则四边形MDP和四边形NDQ（均为平行四边形且 D

16、PC是等边三角形 BP-CQ= MN DP= DQ= PQ M N分别是边AB, AC的中点 MN= 1 BC= PQ DP/ AB DQJ AC CDPA CFB BDQA BECDP_CP DQ_BQ_三DP 严CP BQ _BC+PQ _3/ DP= DQ= PQ= 1 BC= AB_L+J_3. AB （一三 二一二）= 丄亠丄二打止例9:已知：如图，梯形 ABCD中，AB/ DC对角线 AC BD交于Q 过0作EF/ AB分别交 AD BC于 E、F。丄丄-丄求证：厂C-答案：证明：/ EF/ AB AB/ DC EF/ DC AQL ACD DQE DBAEO_AE_ EO_DE二

17、一一二，二一二SO EO AE DE .二1 1 1h二.二二 ?例:10 :如图，在 ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形 EFGH勺四个顶点分别在 ABC上。1 1 11求证：二 -2_二 J .答案：证明：/ EF/ CD EH/ AB 一1_1,丄二 AF0A ADC CEHh CABAE _EF CE _ EH二，上r 一止/ EF= EHEH EF EF EF CE AE1=1d二 1AB CD AB CD AC AC1 1abcd1fJ_+厶 _1 例11:已知，在 ABC中作内接菱形 CDEF设菱形的边长为 a.求证：AC BCa .答案：证明：/ EF/ AC DE/ B

18、C 一 BF0A BCA AEDo ABCBEEFDEAEAB血,BCABEFDEBEAEAE+BEH卜一=ACBCABABAB/ EF= DE= a1 1 1 1 / J .一线三角等题型:例12 ( 2010年绍兴中考)如图，已知在矩形ABCD中，AB=2 , BC =3 , P是线段AD边上的任意一点(不含端点 A、D )，连接 PC，过点P作PE _ PC交AB于E .(1) 在线段AD上是否存在不同于 P的点Q，使得QC _ QE ?若存在，求线段 AP与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；(2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在解：(1)假设存在这样的点 Q/ PEL

19、 PC/ APE/ DPC90/ D=90/ DP(+Z DCP90/ AP匡/ DCP又A=Z D=90 AP0A DCP， AF?DF=AE?DC同理可得AC?DQAE?DC AQDQAP?DR 即 AC? (3-AQ =AP? (3-AR, 3AC aQ=3AP_ aP , aP aQ=3AP- 3AQ (APAQ (AP- AQ =3 (AP- AQ ;/ APAQ AP-AO3 (2 分)/ APAQ AP，即P不能是AD的中点，2当P是AD的中点时，满足条件的 Q点不存在.当P不是AD的中点时，总存在这样的点 Q满足条件，此时 ASAQ=3. （1 分）（2）设 AP=x, AE=

20、y，由 AP?DP=AE?DC可得 x（ 3 - x） =2y,2 I: 2 1 y=_x （ 3 - x） = - x +=x= - （x - ） + ,2 2 22 2 8当x=；（在0 vxv 3范围内）时， y最大值=;2S而此时BE最小为,8又TE在AB上运动，且 AB=2, BE的取值范围是 BEZ C, Z AMZ AEF AEAM当 AE=EM时,贝U ABEA ECM CE=AB5 , BE=BC- EC=6 - 5=1,当 AM=EM时,贝U Z MAEZ MEA Z MAEZ BAEZ MEAZ CEM 即 Z CAZ CEA又/ C=Z C CAEA CBACE 二C

21、ACCB cm BE=6 25_11.=；若AE=AM此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0. BE=1 或 1 或 0.6(3) 解：设 BE=x ,CH二 CE BEAB即:CK_6 - x二 5CM=J_+tx=丄(x 3) 2+ 1,5 555.AM5 CMl ( x 3) 2+兰,55当x=3时，AM最短为二，5又当 BE=x=3= C时，2点E为BC的中点， AEL BC此时，EFL AC EMJce2 _ di 古普，AE* :12 二卫 6、专题过关【题1】如上图,AB _ BD，CD _ BD，垂足分别为 B、D，AC和BD相交于点 E，EF _ BD，垂足为F .证

22、明：11ABCD_ 1-EF答案：(BF+DF)/ DFAE/EFBF/DF+1=ABEF(BF+DF)/ BF=CD EFDFBF+1=CDEF推出 BFDF=(AB-EF)/ EF 代入 2ER( ABEF)+1二CDEF = A( ABEF)二 CDEF= 1-EF7AB二 EF7CD =1 =EF(1/ ABH/CD= 1/EF= 1/ ABM/CD【题2】 如图，已知AB/EF/CD，找出Sabd、Sbed、S BCD之间的关系，并证明你的结论答案：1/SABDE=1/SABB1/SABDC 以A E C三点坐高于BD三条高依然 存在1题中关系 共用底边BD高的比等于面积比。【题3】

23、(2012年成都中考)如图，.ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形， BAC =/EDF =90， DEF的顶点E与 ABC的斜边BC的中点重合将 DEF绕点E旋 转，旋转过程中，线段 DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q (1)如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：.BPE B.ICQE ;(2 )如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：.BPE s.；CEQ ;并求当解：连接PQ ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形, / B=Z C=Z DEI=45/ BEQ/ EQCZ C, 即/ BEF+Z DEF/ EQC/ C,/ BEF+45=Z EQ

24、+45 / BEP：/ EQC/ B=Z C=45 BP0A CEQ卜=丁， BP=a, CQ=十 BE=CE23 BECE- ：a,2 BC3y j a, AB=AC=BC?sin 453a, AQCQ- AC ：a, PA=AB- BP=2a,2在 Rt APQ中, PQ i.d三、学法提炼1专题特点：从基本图形入手，能顺利找出解题问题的思路和方法，能帮我们 尽快找到添加的辅助线。2、解题方法：寻找适当的辅助线，方法有平行型（A、X型）、相交线型、双垂型 及一线三角等。3、注意事项：在解题过程中要注意比例的基本性质的运用，即等积变换、等比 代换、等线代换。能力培养综合题1:( 1)如图1,

25、点P在平行四边形 ABC啲对角线BD上，一直线过点P分别交BA BC的延 长线于点 Q S，交AD CD于点R T.求证：PQ- PR = PS - PT(2)如图2,图3,当点P在平行四边形 ABCD勺对角线 BD或DB的延长线上时，PQ- PR = PS - PT 是否仍然成立？若成立， 试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)；答案：(1)证明：在平行四边形 ABCD中, AD/ BC/ DRP/ S, / RDB/ DBS DRPo BSPPR_DP才三同理由AB/ CD可证 PTSA PQBPT_DPPR _ PT R 三 : i 二一1(2)证明：成立，理

26、由如下：在平行四边形ABCD中 , AD/ BC/ PRD/ S, / RDP/ DBS DRZ BSPPR_DP三一壬同理由AB/ CD可证 PTDA PQBPT _ DP二 T7PR _ PT综合题2:已知：如图， ABC中, AB= AC AD是中线，P是AD上一点，过 C作CF/ AB延长BP 交 AC于 E,交 CF于 F.求证：BP = PEPF .答案：证明： AB= AC AD是中线， ADL BC,BP=CP/ 仁/2又/ AB(=Z ACB/ 3=Z 4 CF/ AB/ 3=Z F, / 4=Z F又/ EP(=Z CPF EPCA CPFsp = pc匸二 B= PEPF

27、即证所求综合题3:如图，已知 ABC中, AD, BF分别为BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E, 交BF于G,交AC延长线于 注 求证：| |dE=E(?EH答案：证明：DELAB _丄二一二二=90 _丄二一二丄二=90 1 AD0A DBEAS_=DEdE=ae be/ BFL AC90 I二一二厶 90。且_丄亠- BE&A HEAB_EO_三-一三亠 = 二 dE=eg eh综合题4:已知如图，P为平行四边形 ABCD勺对角线 AC上一点，过 P的直线与AD BC CD的延 长线、AB的延长线分别相交于点 E、F、G H十工 PE PH求证： PF PGA答案：证明：

28、/四边形ABC曲平行四边形 AB/ CD AD BC/ 仁/2, / G=Z H, / 5= / 6 PAWA PCGPH PA rc rc又/ 3=Z 4 APEA CPFPE PA茁 1CPE PH综合题5:已知，如图，锐角 ABC中，ADL BC于D, H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点 P,且/ BPC为直角.求证： PD= AD- DH。答案：证明：如图，连接 BH交AC于点E,/ H为垂心 BE! AC/ EB(+Z BC=90 ADL BC于 D/ DAC/BCA90:丄 EB(=Z DAC又/ BDH/ADC90 BDHh ADC即 BDLDC 二 AD_DHAD

29、L BC BD _ ADDH_ - DC，/ BPS直角,PD= BD- DCPD= ad- dh综合题6:已知如图，CD是 Rt ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。 求证：ACLCF = BC_DFB证明：/ CD是 Rt ABC斜边AB上的高，E为BC的中点 CE：EB=DE/ B=/ BDE/ FDA/ B+/ CAB90, / ACD/ CAB=90 / B=/ ACD / FDA=/ ACD/ F=/ F FDAA FCD FD ADFC - CD/ ADC/ CDB90 / B=/ ACD ACD CBD AD ACCD BC FD 二 ACFC BC即

30、 acLcf 二 BC_DF综合题7:如图，在Rt ABC中, CD是斜边AB上的高，点 M在 CD上, DHL BM且与AC的延长线交 于点E.求证：(1) AEMA CBM (2) AELCM =AC_CDB答案：证明：(1) / ACB= Z ADC= 90/ A+ Z ACD= 90Z BCM Z ACD= 90 Z A= Z BCM同理可得：Z MDI4 Z MBDZ CMB= Z CDBH Z MBH 90+ Z MBDZ ADE= Z AD(+ Z MDH 90+ Z MDH Z ADE= Z CMB AEBA CBMAE AD(2)由上问可知：，即AE&M =ADLCBCB C

31、M故只需证明ACCD =ADCB即可 Z A= Z A, Z ACD=Z ABC ACSA ABC AD 二 CD，即 acLcd 二 adLcb AC BC aEcm acj(d综合题8：如图， ABC是直角三角形，Z ACB90, CDL AB于D, E是AC的中点，ED的延长线与 CB的延长线交于点 F.（i）求证：fd2=fbLIfc.（2）若G是BC的中点，连接 GD GD与EF垂直吗？并说明理由FD_FB答案：（1）将结论写成比例的形式,-r-，可以考虑证明 FDBA FCD（已经有一个公共角Z F)Rt ACD中, E是AC的中点 DE=AE/ A=Z ADE/ ADE=/ FD

32、B/ A=Z FDB而/ A+Z ACD90/ FCDZ ACD90 Z A=Z FCD Z FCD=Z FDB而 Z F=Z F FBDA FDCFD_FB_ FD2 二 FBLFC(2)判断：GD与 EF垂直Rt CDB中 G是 BC的中点， GD= GB Z GDBZ GB而 Z GBDZ FCD=90又/ FC!=Z FDB( 1 的结论) Z GDBZ FDB90 GDL EF综合题9:如图，四边形 ABCD DEFGTE是正方形，连接 AE CG,AE与 CG相交于点 M CG与 AD相 交于点 N.求证：AN|_DN = CN_MN .答案：证明：由四边形 ABCD DEFG都是

33、正方形可知， Z ADCZ GDE90。，则Z CDGZ AD匡Z ADG90 在和H中4D-CDGD=DEZCDG = AADE丄则 Z DAIMZ DCN又/ ANIMZ CND ANIVb CNDAN_CN则丁二匚丁 ANLDN 二 cn_mn综合题10:如图，BD CE分别是 ABC勺两边上的高，过 D作DGL BC于G分别交CE及 BA的延 长线于F、H。求证：(1)DG?二 BGLCg ；(2)BGLCG 二GF_GH答案：证明：找模型。(1) BCD BDG CDG勾成母子型相似。DCGDG BGCGDG- DG2 =BgUcG(2)分析：将等积式转化为比例式。BGCG =GF

34、GH n 匹=竺一 GH CG/ GFC/EFH 而/EFH/H=90 / GFC/ FCG90。/ H=Z FCG而/ HGBZ CGF90 HB&A CFG BG GFGH CG bGcg 二 GF_GH综合题11： . ABCA DEF是两个等腰直角三角形， / A=Z D=90 DEF的顶点E位于边BC的中 占上八 、一I* (1) 如图1,设DE与AB交于点 M EF与AC交于点N,求证： BEMb CNE(2) 如图2，将 DEF绕点E旋转，使得DE与 BA的延长线交于点 M EF与AC交于点N,于是，除 (1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.答案：(

35、1 )证明：/ ME聊 / NEC= 180 45 = 135 = / MEBF / EMB-Z NEC= / EMB又/ B=Z CM BEMh CNE(2) CONA EON证明：/ OENZ C= 45 Z COE= Z EON.A COEA EON综合题12:如图，四边形 ABC刖四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分别交AC CD于点P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1除外）；（2）求 BP PQ QR解：(1) BCNA BER CQNA DQR ABNA CQP DQNA ABP(2) / AC/ DE BCPNA BERBP_PC _BC.二 H

36、T TT四边形ABC和四边形ACED都是平行四边形 AD=BC AD=CE BC=CE即点C为BE的中点BP_PC _BC _ 1，汙二又 AC/ DE CQNA DQRPQ=PC.H点R为DE的中点 Df=REPQ = PC = PG = QR = DRBP PQ QR= 3: 1: 2综合题13:如图，在 ABC中, ADL BC于D, DEL AB于E DF丄AC于F。求证:AE ACAF AB答案：证明：/ ADL BC DEI AB ADBA AEDAS AD AD= AEAB同理可证：AD= AF AC AE AB= AF ACAEACAFAB二、能力点评在解决综合性的问题时能将复

37、杂图形划分为几个基本类型，并要注意数形结合思想和分类讨论思想 及方程思想的应用。学法升华一、 知识收获1、相似证明中的基本模型ABEC2:相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合 等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.方法总结(1)梅涅劳斯定理梅内劳斯(Menelaus,公元98年左右)，是希腊数学家兼天文学家.梅涅劳斯定理是平面几何 中的一个重要定理.梅涅劳斯定理：X、Y、Z分别是 ABC三边所在直线 BC、CA、AB上的点.贝U X、Y、Z共线的充分必要条件是:CX BZ AYXB ZA

38、 YC根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上.证明:(1)必要性，即若X、Y、Z三点共线，则CXXBB、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c .贝UBZZAAY =1 .YCCXXBc BZ b b， ZA aY，三式相乘即得CBBZ AY c b a1 ZA YC b a c(2)充分性，即若CXXBBZ AY =1，则 X、Y、 ZA YCZ三点共线.设直线XZ交AC于Y ,由已证必要性得：CX BZ AY *XB ZA YC又因为CX BZ AY =1 XB ZA Y

39、CAY AY，所以.YC YC因为Y 和 Y或同在AC线段上，或同在 AC边的延长线上, 比重合为一点，也就是 X、Y、Z三点共线.并且能分得比值相等，所以梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CXXB旦乙、ay三个比中，已知其中两个ZA YC可以求得第三个.二是证明三点共线.(2)塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线.塞瓦(G- Gevd647-1734 )是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理.塞瓦定理：从 ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX , BY , CZ .则AX , BY , C

40、Z共点的充分必要条件是BX CY AZ .XC YA ZB充分性命题：设 ABC的三条塞瓦线 AX , BY , CZ共点，则必有BX CY AZ .XC YA ZB必要性命题：设 ABC中，AX , BY , CZ是三条塞瓦线，如果BX CY AZ =1 ,则 XC YA ZBAX，BY，CZ三线共点.我们先证明充分性命题.如图，设 AX , BY , CZ相交于P点，过 A作BC边的平行线，分别交 BY , CZ的延长线于B , C .由平行截割定理，得燮 AB ,21=匹,AC 上面三式两边分别相乘得：XC AC YA AB ZB BCBX CY AZ1XC YA ZB我们再证明必要性命

41、题.假设AX与BY这两条塞瓦线相交于P点，连CP交AB于Z.则CZ 也是一条过 P点的 ABC的塞瓦线根据已证充分性命题，可得BX CY AZ i，由因为BX CY .AZ，进而XC YA ZBXC YA ZB可得AZ AZ 所以AZ AZ，因此AZAZ 所以Z 与 Z重合，从而CZ 和 CZ重合，于是Z B ZBAB AB得出AX , BY , CZ共点.塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三 线共点问题第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以 得出六条线段比例乘积等于 1的关系式利用这个关系式可以证明线段之间的比例

42、式或乘积式.三、技巧提炼本节常见误区有（1）相似三角形中对应边及对应角找不准。（2）在运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似时容易把两边的夹角和其中一边的对角混淆。（3）在确定两个三角形相似时由于对应元素的不确定可能会出现多种结论，往往 考虑问题欠全面，出现漏解现象。课后作业、选择题1 如图所示,ABC中，DE/BC,若 AD= 1, DB= 2,贝U DE 的值为（） BCA 232 .如图所示,B. 14 ABC中 DE/ BC,第1题图D. 12C 13若AD： DB= 1 : 2，则下列结论中正确的是 （）第2题图A. DE BCB ADE的周长 1 .ABC的周长C ADE的面积

43、_1MBC的面积一 3D ADE的周长.ABC的周长3.如图所示，在 ABC中/BAC= 90, D是BC中点，AE! AD交CB延长线于E点，则下列结 论正确的是（）第3题图 AE3A ACB B.A AEBA ACDC. BAEA ACED AECA DAC4.如图所示，在厶ABC中 D为AC边上一点，若/ DBC=/ A, BC 6 , AC= 3,则CD长为（）A.1B.5 .若P是Rt ABC的斜边BC上异于B, C的一点，过点D.P作直线截厶ABC截得的三角形与原 ABC相似，满足这样条件的直线共有 （）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.如图所示， ABC中若DE/ BC EF/ AB则下列比例式正确的是 （）A.AD DEDB BCC.AE BFEC FC7 如图所示，O O中，