几种特殊函数的图象及应用

1、几种特殊函数的图象及应用函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函数、绝对值函数也常常出现.这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这 类函数的基本图象特征，便能起到事半功倍的效果.本文介绍四个最常见的函数模型及其图象特征, 并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数 图象，迅速找到解决问题的切入点和解题思路.先了解这四个基本函数:一皿 1 一 一，1 一函数y=（图1）;函数y=x十一（图2）；一一1函数y = x （图3）；函数y = x （图4）.从函数的图象很容易看出函数的对称性、单调

2、性、值域等性质，下面看它们各自的应用.c，一，一 e-一11一、形如y=a+（c*0 ）的函数可利用函数 y =（或y = ）的性质.当c0时，函x -bxx.cc数y=a+的图象可看成由函数 y=一的图象左右、上下平移得到，在区间（-8,b）、（b,+g）上x -bxcc分别递减；当c0)在10,收)上单调递增，求实数 k的取值范围.kx - 1 kx - 1解析：令f (x) = lg t,t =,由复合函数单调性及题意可得：t =需满足两个条件：x 1x 1t在xw 10,-he )上单调递增；t a0在xw 10,依)上恒成立.上 k kx -1 k -1考虑 t 二二 k -x -1

3、(x = 1)k =1时，f (x) = 0不合题意，舍去;k 1时，t在g,1 )(1,-he比均递减，不合题意，舍去;0 k 1 时,t在(叱1 )(1,+8 )上均递增，二t也在10,收)上递增，且当 x=10时,110 )综上所述，实数k的取值范围是,1 i.10例2已知awr,函数f (x) =2ax2+2x3a在区间-1,1上有零点，求实数a的取值范围.解析：“函数f (x) =2ax2 +2x-3-a在区间-1,1上有零点”等价于“方程2ax2 +2x3 a = 0 12x2-1.一区间-1,1上有解 .显然a =0 ,可得一=,令t=3 20 )的函数 x1 一，y = x 的

4、性质.类似地，如图 6,函数y=ax 区间（*,0）、（0,+oc）上分别递增.其中， 必和12由2*=9% a 1. a x时解得.例4函数f (x )=ax2 + (14a)x+4a(a21)在区间l 2,2】上的最大值、最小值分别为m、m ,记g(a) = m +m,求g(a)的最小值.,. .13解析：由题得f x的对称轴x = 2- -= i-,2 i,2 a il2-1.1 8 8a 1m=f(-2)=16a-2, m=f 2 - - i = 0时，函数 y=axb|+c在区间（一0,b上递减、在区间b,）上递增；当a 0,b 0 .,. 2-,一例6 若关于x的不等式x m2 -

5、 x-1至少有一个负数解，求实数 t的取值范围.2解析：考察函数 y=2-x与y=|x-11的图象，如图 7,当t在区间、 一，. 2 一.(ti12)内变化时，两函数的图象在 y轴左侧有交点，x 2-x-1至少有y =| x 11经过点 p(0,2),解得 t2=2,所以 tw 9,2 i.,4时12 -个负数解.当t = t1时，两图象相切，由 =0,可求得t1 =精品资料五、综合应用.求实数a的取1 2,例 7 已知函数 f (x) = x | xa |-2 ,当 xw (0,1时，f(x)-x -1 恒成立, 2值范围.12.,.、 一 r解析：由题息得x | x - a | -2 -

6、 x -1在x= (0,1上恒成立，分离变量可得 211311 1.3 1-x- a-x + 一在x =(0,1上恒成立，令g(x) = x ,h(x)= x + ,由图象特征可得,2x 2 x2 x2 x、6 ，、,6，一，一g(x)在(0,1上单调递增，h(x)在(0,上递减、在,1)上递增，g(x)的最大值为33g(1) = 1, h(x)的最小值为h(，6)=j6,从而得a 232例8 求函数f (x )= 2x-在定义域(0,1】上的最大值及最小值，并求出函数取最值时相应 x的 x值.解析：实数a应分a 0三类情形来讨论图象的特征.当a至0时，f(x )在(0,1】上递增,从而有fm

7、ax(x )= f=2a, fmin (x )不存在;当a 1可得a -2,所以，当a-2时，f(x )在(0,11上递减，从而有f min (x )= f (1) = 2 - a, fmax(x )不存在;当一2 ma 0 时，f(x)在0j上递减、在，j上递增2 2fmin (x )= f( 万)=27 -2a , fmax(x 及存在.从上述几类问题的应用可以看出，如果能够熟练掌握四类函数的基本图象及性质，在解题中便能有效地避免复杂的运算过程，把思维集中在数形结合思想的运用上，深刻理解函数图象与方程之cx d间的联系.总结而言，一般地，形如y=(a=0)的函数均可向形式转化；形如ax b2,cx dx eax by =c-一e(a c=0)或y =ta-一 (a c = 0