(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想

1、精品资源第三讲创造的基石一一观察、归纳与猜想当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的.从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史.20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性.当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情 况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方

2、法叫归纳猜想法，是创造发明的基石.例题【例1】（1）用表示实圆，用。表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下：问：前2001个圆中，有 个空心圆.（江苏省泰州市中考题）（2）古希腊数学家把数1, 3, 6, 10, 15, 21,叫做三角形数，它有一定的规律性，则 第24个三角形数与第22个三角形数的差为 .（舟山市中考题）思路点拨 （1）仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆 的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示.【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字:两条直线相交， 三条直线相交. 四条直线相交. 最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6

3、个交点像这样，10条直线相交，最多交点的个数是 （）.a . 40 个 b . 45 个 c . 50 个 d . 55 个（湖北省荆门市中考题）思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加， 从给定的图形中，探讨每增加一 条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系.是解本例的关键.【例3】化简99二9 m 99二十19919 （第18届江苏省竞赛题）n个n个n个思路点拨 先考察n=1, 2, 3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加 明确.【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有 10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有 12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的

4、12个汉字分别循环排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥从左向右数，第1列是甲子，第3列是丙寅-，问当第二次甲和子在同一列时， 该列的序号是多少？（ “希望杯”邀请赛试题）思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将 实际问题转化为数学问题求解.注：观察是解决问题的先导， 发现往往走从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径：（1）数与式的特征观察；（2）图形的结构观察；（3）通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一 般情况.归纳总是与递推联系在一起的

5、，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律嘎证明通过归蚣所猜测的规律的正确性.【例5】 图（a）、（b）、（c）、（d）都称作平面图.图顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)欢迎下载（1）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表 中（其中（a）已填好）.（2）观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？（3）现已知某一平面图有 999个顶点和999个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这 个图有多少条边？（“华杯赛”决赛试题）思路点拨 从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共

6、同规 律，这是解本例的关键.学力训练1. （1）如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是11112113311 46411 5 1010 51(第1题)（2001早浙江省绍兴市中考题）（第2甥），请用,（2）观察一列数：3, 8, 13, 18, 23, 28,依此规律，在此数列中比 2000大的最小整数是 . （2003年金华市中考题）2.如图是2002年6月份的日历.现用一矩形在日历中任意框出 一个等式表示a、b、c、d之间的关系： （安徽省中考题）3.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.=n2割=3通过观察

7、可以发现；第4个图形中火柴棒的根数是 ;（2）第n个图形中火柴棒的根数是 .（江西省中考题）4.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是8时，输出的数据是（）.输入12345输出1244525171726a. 8b. c. 8 d. （2003年重庆市中考题）616365675,在以下两个数串中：1, 3, 5, 7,，1991, 1993, 1995, 1997, 1999 和 1, 4, 7, 10,，1990, 1993,1996. 1990同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个.a. 333 b. 334 c. 335 d 336（“希望杯”邀请赛

8、试题）6.图是一个水平摆放的小正方体木块，图、是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）.a. 25 b. 66 c. 91 d. 120图图图7 . 一串数排成一行，它们的规律是这样的： 是前两个数的和，也就是 1, 1, 2, 3, 数中（包括第100个数），有多少个偶数？8 .自然数按卜表的规律排列】2510171111436111 号119 -8 71916151420125 242322 21（1）求上起第10行，左起第13列的数;（2）数127应在上起第几行、左起第几列9. （1）观察卜列各式，你会发现什么规律3x5=

9、15,而 15=42 - 1,5x7=35,而 35=62- 1,（2003考宁波市中考题）头两个数都是1,从第三个数开始，每一个数都5, 8, 13, 21, 34, 55，问：这串数的前 100个 （“华杯”赛试题）?（北京市“迎春杯”竞赛题）?11 13 = 143, 而 143=122- l将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 （2000年济南市中考题）将 1,1,-2341一一按一7e规律排成下表:6从表中可以看到第4行中，自左向右第3个数是,，第5行中从左向右第2数是，那么第199行中自左向右第8个数是 （希望杯”邀请赛试题）9,第1998行中自左向第11个数是1210.有

10、一列数4e2e3e4,a,an ,其中a =6x2+1 ；a2 =6父3+2；a3 =6父4+3；a4 =6父5+4；则第n个数an =；当an =2001时，n=.（江苏省竞赛题）.有三个同学从不同（重庆市竞赛题）11 . 一个正方体，它的每一个面上写有一个字，组成“数学奥林匹克” 的角度看到的结果依次如图所示，那么，“学”字对面的字为 （第12题）12 .用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘，正方形每边都等距离地摆n(n 3)盆花.那么所需菊花的总盆数s与n的关系可以表示为 .(“希望杯”邀请赛试题)13 .如果一个序列a。满足a1 =24+=an +2n (n为自然数)

11、，那么2100是().9900 b. 9902 c. 990410100 e. 10102 （新加坡数学竞赛题 ）14 .将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第1行246第2行 16141210第3行1820222826第5列824根据上面排列规律，则 2000应在().a.第125行，第1列 b.第125行，第2列c.第250行，第1歹ud.第250行，第2列(2001年湖北省荆州市中考题)15. (1)设n为自然数，具有下列形式11:二155二55的数是不是两个连续奇数的积，说明n个1n个5理由.(2)化简 33二3 父 33二3 十 199:二9,n个3n个3n个9并说明在结果

12、中共有多少个奇数数字16. (1)图是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图、的木块.我们知道，图的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图、中木块的顶点数、棱数、面数填人下表:图顶点数棱数面数8632观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系不同的切法，把切去一块后得(3)图是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图，棱数为，面数为到的那一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为17.怎样的两个数，它们的和等于它们的积？你大概马上就会想到 2+2=2 2 其实这样的33两个数还有很多，例如：3 3 = 3 322(1)你能再写出一些这样的两个数吗？你能从中发

13、现一些规律吗 ？(2)你能否提出一些类似的问题 ？在你提出的问题中选择一个问题进行研究.18.观察按下列规则排成的一列数：1121231234123451-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-，1213214321543216（1）在（）中，从左起第 m个数记为f（m）,当f（m）=2时，求m的值和这m个数的 2001积.（2）在（x）中，未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为 d.是否存在这样的两个数c和d,使cd =20010000,如果存在，求出 c和d;如果不存在，请说明理由。（湖北省竞赛题）参考答案团创造的基石一现察”归第与辩想i例题求解】例i提示二

14、好g个一切中实圆个融循环出现.前空心原每纲3个门+2+3+，+ 24）一门+2+3 + +1 + 建24工例2 选b 提示：每端加一条直践.母多交点的增加数与原有比蝶数相同,间腮就转牝为求+2+3 +4g的相，例3原式=12例4 提示甲”在第一行出现的位置是。刖+1.闭=0/，2子”在第二行出现的位1是12十0，|,“f 故一甲”和 “子”在同一列时应有10卅+1 = 1+1,即10m=1*第二吹甲1于”在同列时施昆便爆1口阻=】加成立的小正整 敷加和明解得m - 5 + “=-5.倒5 tllflhc）顼点数+区域数一边效= 1/3）13酊条.【学力训练jl舒加。3. 上4+ 小=（+ $一

15、14 或 u + r=a+d-w 成 +x 13,3n+ 1 肌 c5- b 提彳，同时也现在这两个效串中的数是1卜999的忸散中帔6除余1的妙.施相招4个， l c工债乱黑察已跷写出的数，发现里三个连稣城中恰科一个偶教.空前ioc1项中.第100喟是由数面强项中有学l招个偶 的一机提不：经观察可洱这个自然曲表的排列特点;第一列的每-个段整是完生平方数.并且恰好等于它所在行数的平方，即第 “行的班1个整为小;第一行第n小数是仃一 1产十h 第ft行中从第一个他至第a个数依度逐流i；闻第n列中 从第一个数至第n个班依次建通.这样可求11匕起第1。行,左屈重13列的数应是第13列的第1 0个数，即二门3 1门411 + 9=】.泰致127满足关系式i27=llr + 6=（i21）ih-14-5,i4 127在左截12列，上曷笫&行的位置一9. umefh 1”即+箫*4旧+ 1一】“八晟耳，一高41否行败的个效分别为求用第1行至笫1期行和第1 行至第17行并有事少个向幕就容易解淡.1” + 6曰&511.林i工 s = ?x4（ji-l）-5ff-2ih-2c3113. h 1j. c1乱门】提示，越.埠式=型出