双曲线的切线(全面版)

1、双曲线的切线（11）b2=1(a 0,2 本文拟讨论由坐标平面内任意点P（x。，y。），引双曲线G：笃 a b 0）（1）的切线，切线的存在性、切线的条数、切线方程及切点坐标.不妨只考察P在原点、P在坐标轴正半轴上、P在第一象限内的情形.当P在原点或P在区域I时，不存在切线；当 P在Cl或C2（不含原点）上时，仅一条切线；当P在区域n、w、V或在C3（不含A、B）上时，有两条切线.结论：原点处无切线。 点在C3上时一条切线 当P在线段AB上时，Q在Ci的右支上半支. 当P在线段AB的延长线上时，Q在Ci的左支下半支. 若点P在区域I内，过P不存在切线. 若点P在曲线Ci上（异于点A）,切点即点

2、P. 若点P在曲线C2上（异于点B）, 若P在线段OB 上, Q在Ci右支下半支.若P在线段OB的延长线上,Q在Ci右支上半支. 若点P在区域n内，Qi在Ci右支下半支，Q2在Ci右支上半支. 若点P在区域川内，Qi、Q2位于Ci同一支且在x轴同侧. 若点P在区域内，Qi在Ci的右支下半支，Q2在Ci的左支下半支. ?若点P在区域V内，Qi在Ci左支下半支，Q2在Ci的右支上半支.如图所示，记Ci的渐近线为C2 : x - y = 0，Ci的右顶点为A（a，0），直线C3 :a bx=a; C3与C2的交点为B（a，b）; G的内部（含焦点的部分）为区域I; G与C?之间的 部分，在C3左侧为

3、区域n，在 C3右侧部分为区域川；C2与y轴正半轴所夹的部分， 在C3左侧为区域W，在 C3右侧为区域V.i 若P在原点方程组x2b2无实数解,1 直线x=0不是0的切线.设过P(0, 0)的直线I的方程为y=kx，代入 消去y得(b2 - ak)x2= a2b2,当|k| -时，此方程无实根，所以|与C1无公共点；当|k| V -时，此方程有两相反 aa实根，-1与Ci有两个交点.故过P不存在Ci的切线.2若过点P存在无斜率的切线此时切线方程为x = x0，代入(1)消去x得a2y2 = b2(x2 a2)，此方程有两相等实根的充要条件是x2 a2 = 0，即|x0|= a.故点P在C3上时

4、，Ca为Ci的一条切线，切点为 A . 3若过点P存在有斜率的切线 设切线斜率为k，则切线方程为y y=k(X X。)将(2)代入(1)消去y可得(b2 a2k2)x2 2a2k(y 0 kx)x a2(y kx)2 + b2=0 方程(3)的判别式 = 4a2b2(x2 a2)k2 2xyk + (y 0 + b2) 令 f(k) = (x0 a2)k2 2x0yk+ (y0 + b2)3.1若点P在Ca上(异于点A)/ X0=a，一次方程f(k)=0的解为2 2y。b2xy(1)当y0 = b时，即P与B重合时，k =-，过P且斜率为-的直线即直线C2，不是C1的切线.aa当y。工b时，将

5、代入得切线方程为(y2 + b2)x 2xyy + x(y2 b2) = 0.设切点为Q(Qx，Qy)，将切线方程与(1)联立解之可得Qx2 2x(b y)2 2b y，Qy2 22b y2 2 .b y当P在线段AB上时,/ by0，. Qx0， Qy0，故Q在C1的右支上半支.当P在线段AB的延长线上时，/ b yo,. Qx o, Qy o,2罟i)，b = - 4(b2设3 =(a oo.3.2.1 若点P在区域I内3220.方程f(k)=0无实根，故过P不存在切线. 若点P在曲线Ci上(异于点A)此时2Xoa2b2 = i,=o,方程f(k) = o的二重根为 k =2Xoxoyo2

6、，注意到a(5)式，贝V k 二M2a yo将k值代入(2)整理得切线方程为,2 2 , 2 2 2 2 b XoX- a yoy = b Xo a yo,注意到(5)式，切线方程可化为切点即点P.3.2.3若点P在曲线C2上(异于点B)此时=1 0,k222y。 b22Xoa2 Xo 2 a2yo门,2 = o , b方程f(k) = o有两相异实根.易验证，k1=上是其一根，另一根Xo亠 yo_Xo(yji b2)Xoyo(x2a2)过点P且斜率为ki的直线即C2,不是Ci的切线.故 Ci仅有 代入(2)并注意到(6)，可得切线方程为条切线将(7)2 2X。 a2a2Xo2yob22b2y

7、 = i.设切点为Q(QX , Qy)，由(3)知，Qxa2k(y kx)b22. 2a k将(7)代入上式并注意到，则Qx22X。 a2x0，将Qx代入并注意到可得Qyy 2 b2H 故切点为2 2Q(x0 a2xoy2 b2)2y0 )./ X0 0,故Q在0的右支上. 若P在线段OB上，/ 0 y b,. Qy b, Qy0, 故Q在0右支上半支.若点P在区域n内 Qx 0,3.2.4此时2 2c x y,0 2 1，a b(8)0,方程f(k)=O有两相异实根,设为k2，且 kikiXo)b2 a2k2(11)由(10)、(11)和(9)可推得4/22、a (y。b ).2 22 2b

8、 X0 a y422 xb (xa ) 2 22 2b X0 a y0 y0,X1X2/ 0 Xo 0aabf(-)ab 2(yo xo) oa f(k) =o的两根在区间-,b之外，即|kj| -.a aa由(9)知，kk v o,a，k2故Qi在G右支下半支，Q2在Ci右支上半支. b特殊地，若P在线段OA上，由对称性知k1 = k2，由(9)得k= , 22va，代入Xo(2)得切线方程y = f 2b 2斗aXo(X Xo)；代入(10)、(11)得切点坐标为2a(,Xo).Xo3.2.5 若点P在区域川内 仿324的讨论可知，X1X2o, Q1、Q2位于G同一支且在X轴同侧.yy o

9、,二次函数f(k)的对称轴为k二丫匕，易证xo axy2a2Xo事实上，取点 M(xo, y )为C1右支上半支上的点，则2Xo2 ab2xoyo2Xo.2b xoyo.2 2b Xoa2b2.2b xoyo2a y.2b xoyo22a yoXoyo2Xoxy22Xo abf( ) (yo aa2 ob ab 2-Xo)2 oaK f(k) = o的两根在区间(一,a3.2.6 若点P在区域内即k1bk2 a此时2Xo 2 a2y。b2V 0,x工一i)的点Q的坐标为(x ,i).若Q在Ci上，则(y0 b2(i”,2整理可得(笃a2bi)入2+2(xxaYoYb2i)入+ (2X02a2誥

10、i)=0.s 0, f(k)=0有两相异实根.仿 3.2.4的讨论知：x1x2 V 0, y1y2 0且k1 V- 一 , k2 一 ,aa Qi在Ci的右支下半支，Q2在C的左支下半支.特殊地，若P在y轴正半轴上，由对称性知，ki = k2,由(9)得，k = 匹 ，代入得切线方程为y= 土 一 x+ y。,aa代入(10)、(11)得切点坐标为a”2 b2y。3.2.7 若点P在区域V内仿 3.2.5的讨论知，x1x2 V 0, y1y2 V 0,且 k1 - , k2 ,aa Qi在Ci左支下半支，Q2在Ci的右支上半支.综上所述：当P在原点或P在区域I时，不存在切线；当P在Ci或G(不含原 点)上时，仅一条切线；当 P在区域n、W、V或在 C3(不含A、B)上时，有两 条切线.当由P可引G的两条切线时，设切线上任一点为 N(x, y),则分PM所成比为入(入 yi +(X0+ x)22 2 a (i ) PN为切线，此关于入的二次方程有两重根,4(学